Teoría de la representación de SL2(R)

En matemáticas , los principales resultados sobre las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lie SL(2, R ) se deben a Gelfand y Naimark (1946), V. Bargmann (1947) y Harish-Chandra (1952).

Estructura del álgebra de Lie compleja

Elegimos una base H , X , Y para la complejización del álgebra de Lie de SL(2, R ) de modo que iH genere el álgebra de Lie de un subgrupo compacto de Cartan K (por lo que, en particular, las representaciones unitarias se dividen como una suma de espacios propios de H ), y { H , X , Y } es un sl ₂ -triple , lo que significa que satisfacen las relaciones

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H.}$

Una forma de hacerlo es la siguiente:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$correspondiente al subgrupo K de matrices ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle X={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle Y={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-i\\-i&-1\end{pmatrix}}}$

El operador Casimir Ω se define como

${\displaystyle \Omega =H^{2}+1+2XY+2YX.}$

Genera el centro del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie complejada de SL(2, R ). El elemento Casimir actúa sobre cualquier representación irreducible como multiplicación por algún escalar complejo μ ² . Así, en el caso del álgebra de Lie sl ₂ , el carácter infinitesimal de una representación irreducible está especificado por un número complejo.

El centro Z del grupo SL(2, R ) es un grupo cíclico { I , − I } de orden 2, que consta de la matriz identidad y su negativo. En cualquier representación irreducible, el centro actúa de manera trivial o por el carácter no trivial de Z , que representa la matriz -I multiplicada por -1 en el espacio de representación. En consecuencia, se habla del carácter central trivial o no trivial .

El carácter central y el carácter infinitesimal de una representación irreducible de cualquier grupo de Lie reductivo son invariantes importantes de la representación. En el caso de representaciones irreducibles admisibles de SL(2, R ), resulta que, genéricamente, existe exactamente una representación, hasta un isomorfismo, con los caracteres centrales e infinitesimales especificados. En los casos excepcionales se presentan dos o tres representaciones con los parámetros prescritos, todos los cuales han sido determinados.

Representaciones de dimensión finita

Para cada entero no negativo n , el grupo SL(2, R ) tiene una representación irreducible de dimensión n + 1, que es única hasta un isomorfismo. Esta representación se puede construir en el espacio de polinomios homogéneos de grado n en dos variables. El caso n = 0 corresponde a la representación trivial . Una representación irreducible de dimensión finita de un grupo de Lie simple no compacto de dimensión mayor que 1 nunca es unitaria. Así, esta construcción produce sólo una representación unitaria de SL(2, R ), la representación trivial.

La teoría de representación de dimensión finita del grupo no compacto SL(2, R ) es equivalente a la teoría de representación de SU(2) , su forma compacta, esencialmente porque sus álgebras de Lie tienen la misma complejización y están "algebraicamente simplemente conectadas". (Más precisamente, el grupo SU(2) es simplemente conexo y, aunque SL(2, R ) no lo es, no tiene extensiones centrales algebraicas no triviales.) Sin embargo, en el caso general de dimensión infinita , no hay ninguna extensión cercana. correspondencia entre las representaciones de un grupo y las representaciones de su álgebra de Lie. De hecho, del teorema de Peter-Weyl se deduce que todas las representaciones irreducibles del grupo compacto de Lie SU(2) son de dimensión finita y unitarias. La situación con SL(2, R ) es completamente diferente: posee representaciones irreducibles de dimensión infinita, algunas de las cuales son unitarias y otras no.

Principales representaciones de series.

Una técnica importante para construir representaciones de un grupo de Lie reductivo es el método de inducción parabólica . En el caso del grupo SL(2, R ), hasta la conjugación sólo existe un subgrupo parabólico propio, el subgrupo Borel de las matrices triangulares superiores del determinante 1. El parámetro inductor de una representación en serie principal inducida es a (posiblemente no unitario) carácter del grupo multiplicativo de números reales, que se especifica eligiendo ε = ± 1 y un número complejo μ. La representación de la serie principal correspondiente se denota I _ε,μ . Resulta que ε es el carácter central de la representación inducida y el número complejo μ puede identificarse con el carácter infinitesimal mediante el isomorfismo de Harish-Chandra .

La representación en serie principal I _ε,μ (o más precisamente su módulo Harish-Chandra de K -elementos finitos) admite una base que consta de elementos w _j , donde el índice j pasa por los enteros pares si ε=1 y los enteros impares si ε=-1. La acción de X , Y y H viene dada por las fórmulas

${\displaystyle H(w_{j})=jw_{j}}$

${\displaystyle X(w_{j})={\mu +j+1 \over 2}w_{j+2}}$

${\displaystyle Y(w_{j})={\mu -j+1 \over 2}w_{j-2}}$

Declaraciones admisibles

Utilizando el hecho de que es un vector propio del operador Casimir y tiene un vector propio para H , se deduce fácilmente que cualquier representación irreducible admisible es una subrepresentación de una representación parabólicamente inducida. (Esto también es válido para grupos de Lie reductivos más generales y se conoce como teorema de subrepresentación de Casselman ). Así, las representaciones irreducibles admisibles de SL(2, R ) se pueden encontrar descomponiendo las representaciones de series principales I _ε,μ en componentes irreducibles y determinando los isomorfismos. Resumimos las descomposiciones de la siguiente manera:

• I _ε,μ es reducible si y sólo si μ es un número entero y ε=−(−1) ^μ . Si I _ε,μ es irreducible, entonces es isomorfo a I _ε,−μ .
• I _{−1, 0} se divide como la suma directa I _ε,0 = D ₊₀ + D ₋₀ de dos representaciones irreducibles, llamadas límite de representaciones de series discretas. D ₊₀ tiene una base w _j para j ≥1, y D ₋₀ tiene una base w _j para j ≤ −1,
• Si I _ε,μ es reducible con μ>0 (entonces ε=−(−1) ^μ ), entonces tiene un cociente irreducible único que tiene dimensión finita μ, y el núcleo es la suma de dos representaciones de series discretas D _+μ + D _−μ . La representación D _μ tiene una base w _{μ+ j} para j ≥1, y D _−μ tiene una base w _{−μ− j} para j ≤−1.
• Si I _ε,μ es reducible con μ<0 (entonces ε=−(−1) ^μ ), entonces tiene una subrepresentación irreducible única, que tiene dimensión finita -μ, y el cociente es la suma de dos representaciones de series discretas D _{+ μ} + D _{− μ} .

Esto da la siguiente lista de representaciones irreductibles admisibles:

• Una representación de dimensión finita de la dimensión μ para cada entero positivo μ, con carácter central −(−1) ^μ .
• Dos límites de representaciones de series discretas D ₊₀ , D ₋₀ , con μ=0 y carácter central no trivial.
• Representaciones de series discretas D _μ para μ un número entero distinto de cero, con carácter central −(−1) ^μ . ^{[ dudoso ]}
• Dos familias de representaciones de series principales irreducibles I _ε,μ para ε≠−(−1) ^μ (donde I _ε,μ es isomorfa a I _ε,−μ ).

Relación con la clasificación de Langlands

Según la clasificación de Langlands , las representaciones admisibles irreductibles están parametrizadas por ciertas representaciones templadas de los subgrupos M de Levi de los subgrupos parabólicos P = MAN . Esto funciona de la siguiente manera:

• Las representaciones de series discretas, límites de series discretas y series principales unitarias I _ε,μ con μ imaginarias ya están atenuadas, por lo que en estos casos el subgrupo parabólico P es el propio SL(2, R ).
• Las representaciones de dimensión finita y las representaciones I _ε,μ para ℜμ>0, μ no es un número entero o ε≠−(−1) ^μ son los cocientes irreducibles de las representaciones de series principales I _ε,μ para ℜμ>0, que son inducido a partir de representaciones templadas del subgrupo parabólico P = MAN de matrices triangulares superiores, con A las matrices diagonales positivas y M el centro de orden 2. Para μ un entero positivo y ε=−(−1) ^μ la representación de la serie principal tiene una representación de dimensión finita como su cociente irreducible, y de lo contrario ya es irreducible.

Representaciones unitarias

Las representaciones unitarias irreducibles se pueden encontrar comprobando cuáles de las representaciones irreducibles admisibles admiten una forma hermitiana invariante positivamente definida. Esto da como resultado la siguiente lista de representaciones unitarias de SL(2, R ):

• La representación trivial (la única representación de dimensión finita en esta lista).
• Los dos límites de representaciones de series discretas D _{+ 0} , D _{− 0} .
• Las representaciones de series discretas D _k , indexadas por números enteros distintos de cero k . Todos ellos son distintos.
• Las dos familias de representación de series principales irreducibles , que consisten en la serie principal esférica I _{+, i μ} indexada por los números reales μ, y la serie principal unitaria no esférica I _{−, i μ} indexada por los números reales distintos de cero μ. La representación con parámetro μ es isomorfa a la que tiene parámetro −μ, y no existen más isomorfismos entre ellas.
• Las representaciones de series complementarias I _+,μ para 0<|μ|<1. La representación con parámetro μ es isomorfa a la que tiene parámetro −μ, y no existen más isomorfismos entre ellas.

De estos, los dos límites de representaciones de series discretas, las representaciones de series discretas y las dos familias de representaciones de series principales están atenuadas , mientras que las representaciones de series triviales y complementarias no están atenuadas.

Referencias

• Bargmann, V. (1947), "Representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 48 (3): 568–640, doi :10.2307/1969129, JSTOR  1969129, MR  0021942
• Gelfand, I.; Neumark, M. (1946), "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz", Acad. Ciencia. URSS. J. Física. , 10 : 93–94, SEÑOR  0017282.
• Harish-Chandra (1952), "Fórmula de Plancherel para el grupo unimodular real 2 × 2", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073/pnas.38.4 .337 , JSTOR  88737, SEÑOR  0047055, PMC  1063558 , PMID  16589101.
• Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Análisis armónico nobeliano: aplicaciones de SL(2, R ), Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4613-9200-2, ISBN 0-387-97768-6, SEÑOR  1151617.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples: una descripción general basada en ejemplos (reimpresión del original de 1986) , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0, señor  1880691.
• Kunze, RA ; Stein, EM (1960), "Representaciones uniformemente acotadas y análisis armónico del grupo unimodular real 2 × 2", American Journal of Mathematics , 82 : 1–62, doi :10.2307/2372876, JSTOR  2372876, MR  0163988.
• Vogan, David A. Jr. (1981), Representaciones de grupos de Lie reductivos reales , Progress in Mathematics, vol. 15, Boston, Massachusetts: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3037-6, señor  0632407.
• Wallach, Nolan R. (1988), Grupos reductivos reales. I, Matemática Pura y Aplicada, vol. 132, Boston, MA: Academic Press, Inc., pág. xx+412, ISBN 0-12-732960-9, señor  0929683.

Ver también

• Girar (física)
• Teoría de la representación de SU(2)
• Grupo de rotación SO (3) # Una nota sobre el álgebra de Lie