En cinemática , la teoría de Burmester comprende técnicas geométricas para la síntesis de enlaces . [1] Fue introducido a finales del siglo XIX por Ludwig Burmester (1840-1927). Su enfoque consistió en calcular las restricciones geométricas del vínculo directamente a partir del movimiento deseado por el inventor para un vínculo flotante. Desde este punto de vista, un eslabón de cuatro barras es un eslabón flotante que tiene dos puntos obligados a estar en dos círculos.
Burmester comenzó con un conjunto de ubicaciones, a menudo llamadas poses , para el eslabón flotante, que se ven como instantáneas del movimiento restringido de este eslabón flotante en el dispositivo que se va a diseñar. El diseño de una manivela para el varillaje ahora se convierte en encontrar un punto en el eslabón flotante en movimiento que, cuando se ve en cada una de estas posiciones especificadas, tenga una trayectoria que se encuentre en un círculo. La dimensión de la manivela es la distancia desde el punto del eslabón flotante, llamado punto circular, hasta el centro del círculo que recorre, llamado punto central. [2] Dos manivelas diseñadas de este modo forman el sistema de cuatro barras deseado.
Esta formulación de la síntesis matemática de un eslabón de cuatro barras y la solución de las ecuaciones resultantes se conoce como Teoría de Burmester. [3] [4] [5] El enfoque se ha generalizado a la síntesis de mecanismos esféricos y espaciales. [6]
La teoría de Burmester busca puntos en un cuerpo en movimiento que tengan trayectorias que se encuentren en un círculo llamado puntos circulares. El diseñador aproxima el movimiento deseado con un número finito de posiciones de tarea; y Burmester demostró que existen puntos circulares para hasta cinco puestos de trabajo. Encontrar estos puntos circulares requiere resolver cinco ecuaciones cuadráticas con cinco incógnitas, lo que hizo utilizando técnicas de geometría descriptiva. Las construcciones gráficas de Burmester todavía aparecen en los libros de texto de teoría de máquinas hasta el día de hoy.
Dos posiciones: como ejemplo, considere una tarea definida por dos posiciones del enlace del acoplador, como se muestra en la figura. Elija dos puntos A y B en el cuerpo, de modo que sus dos posiciones definan los segmentos A 1 B 1 y A 2 B 2 . Es fácil ver que A es un punto circular con centro en la mediatriz del segmento A 1 A 2 . De manera similar, B es un punto circular cuyo centro es cualquier punto de la bisectriz perpendicular de B 1 B 2 . Se puede construir un varillaje de cuatro barras desde cualquier punto de las dos bisectrices perpendiculares como pivotes fijos y A y B como pivotes móviles. El punto P es claramente especial, porque es una bisagra que permite el movimiento rotacional puro de A 1 B 1 a A 2 B 2 . Se le llama polo de desplazamiento relativo o también centro instantáneo de rotación .
Tres posiciones: si el diseñador especifica tres posiciones de tarea, entonces los puntos A y B en el cuerpo en movimiento son puntos circulares, cada uno con un punto central único. El punto central de A es el centro del círculo que pasa por A 1 , A 2 y A 3 en las tres posiciones. De manera similar, el punto central de B es el centro del círculo que pasa por B 1 , B 2 y B 3 . Así, para tres posiciones de tarea, se obtiene un varillaje de cuatro barras para cada par de puntos A y B elegidos como pivotes móviles.
Cuatro posiciones: La solución gráfica al problema de síntesis se vuelve más interesante en el caso de cuatro posiciones de tarea, porque no todos los puntos del cuerpo son puntos circulares. Cuatro posiciones de tarea producen seis polos de desplazamiento relativo, y Burmester seleccionó cuatro para formar el cuadrilátero de polos opuestos, que luego utilizó para generar gráficamente la curva del punto circular ( Kreispunktcurven ). Burmester también demostró que la curva del punto circular era una curva cúbica circular en el cuerpo en movimiento.
Cinco posiciones: para alcanzar cinco posiciones de tarea, Burmester intersecta la curva del punto circular generada por el cuadrilátero del polo opuesto para un conjunto de cuatro de las cinco posiciones de tarea, con la curva del punto circular generada por el cuadrilátero del polo opuesto para un conjunto diferente de cuatro posiciones de tarea . Cinco poses implican diez polos de desplazamiento relativo, lo que produce cuatro cuadriláteros de polos opuestos diferentes, cada uno con su propia curva de punto circular. Burmester muestra que estas curvas se cruzarán en hasta cuatro puntos, llamados puntos de Burmester , cada uno de los cuales trazará cinco puntos en un círculo alrededor de un punto central. Debido a que dos puntos circulares definen un vínculo de cuatro barras, estos cuatro puntos pueden producir hasta seis vínculos de cuatro barras que guían el vínculo del acoplador a través de las cinco posiciones de tarea especificadas.
El enfoque de Burmester para la síntesis de un enlace de cuatro barras se puede formular matemáticamente introduciendo transformaciones de coordenadas [ T i ] = [ A i , d i ], i = 1, ..., 5, donde [ A ] es un 2× 2 matriz de rotación y d es un vector de traslación de 2 × 1, que define las posiciones de tarea de un marco móvil M especificado por el diseñador. [6]
El objetivo del procedimiento de síntesis es calcular las coordenadas w = ( w x , w y ) de un pivote móvil unido al marco móvil M y las coordenadas de un pivote fijo G = ( u , v ) en el marco fijo F que tienen la propiedad de que w viaja en un círculo de radio R alrededor de G. La trayectoria de w está definida por las cinco posiciones de tarea, de modo que
Por tanto, las coordenadas w y G deben satisfacer las cinco ecuaciones,
Elimina el radio desconocido R restando la primera ecuación del resto para obtener las cuatro ecuaciones cuadráticas con cuatro incógnitas,
Estas ecuaciones de síntesis se pueden resolver numéricamente para obtener las coordenadas w = ( w x , w y ) y G = ( u , v ) que ubican los pivotes fijo y móvil de una manivela que puede usarse como parte de un varillaje de cuatro barras. . Burmester demostró que hay como máximo cuatro de estas manivelas, que se pueden combinar para producir como máximo seis varillajes de cuatro barras que guían el acoplador a través de las cinco posiciones de tarea especificadas.
Es útil notar que las ecuaciones de síntesis se pueden manipular en la forma,
que es el equivalente algebraico de la condición de que el pivote fijo G se encuentre en las bisectrices perpendiculares de cada uno de los cuatro segmentos W i − W 1 , i = 2, ..., 5.
Una de las aplicaciones más comunes de un varillaje de cuatro barras aparece como una varilla que conecta dos palancas , de modo que la rotación de la primera palanca impulsa la rotación de la segunda palanca. Las palancas están articuladas a un marco de tierra y se denominan manivelas de entrada y salida , y la biela se llama eslabón acoplador . El enfoque de Burmester para el diseño de un varillaje de cuatro barras se puede utilizar para ubicar el acoplador de manera que cinco ángulos específicos de la manivela de entrada den como resultado cinco ángulos específicos de la manivela de salida.
Sean θ i , i = 1, ..., 5 las posiciones angulares de la manivela de entrada, y sean ψ i , i = 1, ..., 5 los ángulos correspondientes de la manivela de salida. Por conveniencia, ubique el pivote fijo de la manivela de entrada en el origen del marco fijo, O = (0, 0), y deje que el pivote fijo de la manivela de salida esté ubicado en C = ( c x , c y ), que es elegido por el diseñador. Las incógnitas en este problema de síntesis son las coordenadas g = ( g x , g y ) del acoplador a la manivela de entrada y las coordenadas w = ( w x , w y ) del acoplador a la manivela de salida, medidas en sus respectivos marcos de referencia.
Si bien no se conocen las coordenadas de w y g , sus trayectorias en el marco fijo están dadas por,
donde [A(•)] denota la rotación según el ángulo dado.
Las coordenadas de w y g deben satisfacer las cinco ecuaciones de restricción,
Elimine la longitud desconocida del acoplador R restando la primera ecuación del resto para obtener las cuatro ecuaciones cuadráticas con cuatro incógnitas,
Estas ecuaciones de síntesis se pueden resolver numéricamente para obtener las coordenadas w = ( w x , w y ) y g = ( g x , g y ) que ubican el acoplador del varillaje de cuatro barras.
Esta formulación de la síntesis entrada-salida de un varillaje de cuatro barras es una inversión de la síntesis de posiciones finitas, donde el movimiento de la manivela de salida en relación con la manivela de entrada lo especifica el diseñador. Desde este punto de vista, el enlace de tierra OC es una manivela que satisface las posiciones finitas especificadas del movimiento de la manivela de salida con respecto a la manivela de entrada, y los resultados de Burmester muestran que su existencia garantiza la presencia de al menos un eslabón acoplador. Además, los resultados de Burmester muestran que puede haber hasta tres de estos enlaces acopladores que proporcionen la relación entrada-salida deseada. [6]
![{\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i =1,\lpuntos,5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12dccfe147e313f9b0e8e6742ce79eef612fe239)
![{\displaystyle \mathbf {G} ^{i}=[A(\theta _ {i})]\mathbf {g} ,\quad \mathbf {W} ^{i}=[A(\psi _ {i })]\mathbf {w} +\mathbf {C} ,\quad i=1,\ldots ,5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e485c646c39a2e8a8b83960a74fb1e7368c9db92)
