Difracción de rendijas

Los procesos de difracción que afectan a las ondas se pueden describir y analizar cuantitativamente . Estos tratamientos se aplican a una onda que pasa a través de una o más rendijas cuyo ancho se especifica como una proporción de la longitud de onda . Se pueden utilizar aproximaciones numéricas , incluidas las aproximaciones de Fresnel y Fraunhofer .

Difracción de una onda escalar que pasa a través de una rendija de 1 longitud de onda de ancho

Difracción de una onda escalar que pasa a través de una rendija de 4 longitudes de onda de ancho

difracción general

Debido a que la difracción es el resultado de la suma de todas las ondas (de una longitud de onda dada) a lo largo de todos los caminos no obstruidos, el procedimiento habitual es considerar la contribución de una vecindad infinitamente pequeña alrededor de un cierto camino (esta contribución generalmente se llama wavelet ) y luego integrarla sobre todos los caminos (= agregar todas las ondas) desde la fuente hasta el detector (o un punto dado en una pantalla).

Así, para determinar el patrón producido por la difracción, se calcula la fase y la amplitud de cada una de las ondas. Es decir, en cada punto del espacio debemos determinar la distancia a cada una de las fuentes simples en el frente de onda entrante. Si la distancia a cada una de las fuentes simples difiere en un número entero de longitudes de onda, todas las ondas estarán en fase, lo que dará como resultado una interferencia constructiva. Si la distancia a cada fuente es un número entero más la mitad de una longitud de onda, habrá una interferencia destructiva completa. Generalmente, es suficiente determinar estos mínimos y máximos para explicar los efectos de difracción observados.

Las descripciones más simples de la difracción son aquellas en las que la situación puede reducirse a un problema bidimensional. En el caso de las ondas de agua, esto ya ocurre, ya que las ondas de agua se propagan sólo en la superficie del agua. En el caso de la luz, a menudo podemos ignorar una dimensión si el objeto difractor se extiende en esa dirección a una distancia mucho mayor que la longitud de onda. En el caso de la luz que brilla a través de pequeños agujeros circulares tendremos que tener en cuenta la naturaleza tridimensional del problema.

Se pueden hacer varias observaciones cualitativas sobre la difracción en general:

• El espaciado angular de las características en el patrón de difracción es inversamente proporcional a las dimensiones del objeto que causa la difracción. En otras palabras: cuanto más pequeño es el objeto que difracta, más amplio será el patrón de difracción resultante y viceversa. (Más precisamente, esto se aplica a los senos de los ángulos).
• Los ángulos de difracción son invariantes bajo escala; es decir, dependen únicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del objeto difractor.
• Cuando el objeto difractor tiene una estructura periódica, por ejemplo en una red de difracción, las características generalmente se vuelven más nítidas. La cuarta figura, por ejemplo, muestra una comparación de un patrón de doble rendija con un patrón formado por cinco rendijas, teniendo ambos conjuntos de rendijas el mismo espacio entre el centro de una rendija y la siguiente.

Aproximaciones

El problema de calcular cómo se ve una onda difractada es el problema de determinar la fase de cada una de las fuentes simples en el frente de onda entrante. Es matemáticamente más fácil considerar el caso de campo lejano o difracción de Fraunhofer , donde el punto de observación está lejos del de la obstrucción difractora y, como resultado, implica matemáticas menos complejas que el caso más general de campo cercano o Fresnel. difracción . Para hacer esta afirmación más cuantitativa, considere un objeto difractor en el origen que tiene un tamaño . Para ser más precisos, digamos que estamos difractando luz y estamos interesados ​​en cómo se ve la intensidad en una pantalla a una distancia del objeto. En algún punto de la pantalla, la longitud del camino hacia un lado del objeto está dada por el teorema de Pitágoras. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}}$^{[ Se necesita más explicación ]}

Si ahora consideramos la situación en la que , la longitud del camino se convierte en Esta es la aproximación de Fresnel. Para simplificar aún más las cosas: si el objeto que se difracta es mucho más pequeño que la distancia , el último término contribuirá mucho menos que una longitud de onda a la longitud del camino y entonces no cambiará la fase de manera apreciable. Eso es . El resultado es la aproximación de Fraunhofer, que sólo es válida muy lejos del objeto. Dependiendo del tamaño del objeto de difracción, la distancia al objeto y la longitud de onda de la onda, se puede utilizar la aproximación de Fresnel, la aproximación de Fraunhofer o ninguna de las dos. válido. A medida que aumenta la distancia entre el punto de difracción medido y el punto de obstrucción, los patrones de difracción o resultados predichos convergen hacia los de la difracción de Fraunhofer, que se observa con mayor frecuencia en la naturaleza debido a la longitud de onda extremadamente pequeña de la luz visible. ${\displaystyle L\gg (x+a/2)}$ $${\displaystyle S\approx \left(L+{\frac {(x+a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^{2}}{8L}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{L}}\ll \lambda }$ $${\displaystyle S\approx L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}}$$

Múltiples rendijas estrechas

Una descripción cuantitativa simple

Diagrama de un problema de difracción de dos rendijas, que muestra el ángulo hasta el primer mínimo, donde una diferencia de longitud de trayectoria de media longitud de onda causa interferencia destructiva.

Las disposiciones de múltiples rendijas pueden considerarse matemáticamente como múltiples fuentes de ondas simples, si las rendijas son lo suficientemente estrechas. Para la luz, una rendija es una abertura que se extiende infinitamente en una dimensión, y esto tiene el efecto de reducir un problema de ondas en el espacio 3D a un problema más simple en el espacio 2D. El caso más sencillo es el de dos rendijas estrechas, espaciadas una distancia entre sí. Para determinar los máximos y mínimos en la amplitud debemos determinar la diferencia de camino hacia la primera rendija y hacia la segunda. En la aproximación de Fraunhofer, con el observador lejos de las rendijas, se puede ver en la imagen que la diferencia en la longitud del camino hacia las dos rendijas es máxima en la intensidad que se produce si esta diferencia en la longitud del camino es un número entero de longitudes de onda. ${\displaystyle \ a}$ $${\displaystyle \Delta S={a}\sin \theta }$$

$${\displaystyle a\sin \theta =n\lambda }$$dónde

• ${\displaystyle n}$es un número entero que etiqueta el orden de cada máximo,
• ${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda,
• ${\displaystyle a}$es la distancia entre las rendijas, y
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo en el que se produce la interferencia constructiva.

Los mínimos correspondientes están en diferencias de trayectoria de un número entero más la mitad de la longitud de onda: $${\displaystyle a\sin \theta =\lambda (n+1/2)\,.}$$

Para una serie de rendijas, las posiciones de los mínimos y máximos no cambian, pero las franjas visibles en una pantalla se vuelven más nítidas, como se puede ver en la imagen.

Difracción de luz láser roja de 2 y 5 rendijas

Descripción matemática

Para calcular este patrón de intensidad, es necesario introducir algunos métodos más sofisticados. La representación matemática de una onda radial viene dada por donde , es la longitud de onda, es la frecuencia de la onda y es la fase de la onda en las rendijas en el tiempo t = 0. La onda en una pantalla a cierta distancia del plano de la rendijas viene dada por la suma de las ondas que emanan de cada una de las rendijas. Para facilitar un poco este problema, introducimos la onda compleja , cuya parte real es igual a El valor absoluto de esta función da la amplitud de la onda, y la fase compleja de la función corresponde a la fase de la onda. se conoce como amplitud compleja. Con rendijas, la onda total en el punto de la pantalla es $${\displaystyle E(r)=A\cos(kr-\omega t+\phi )/r}$$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \Psi (r)=Ae^{i(kr-\omega t+\phi )}/r}$$ $${\displaystyle E(r)=\operatorname {Re} (\Psi (r))}$$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ x}$ $${\displaystyle \Psi _{\text{total}}=Ae^{i(-\omega t+\phi )}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {e^{ik{\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}}}{\sqrt {\left(x-na\right)^{2}+L^{2}}}}.}$$

Dado que por el momento sólo estamos interesados ​​en la amplitud y la fase relativa, podemos ignorar cualquier factor de fase general que no dependa de o . Nos aproximamos . En el límite de Fraunhofer podemos ignorar los términos de orden en la exponencial y cualquier término que incluya o en el denominador. La suma se convierte ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}\approx L+(x-na)^{2}/2L}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2L}}}$ ${\displaystyle a/L}$ ${\displaystyle x/L}$ $${\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}}$$

La suma tiene la forma de una suma geométrica y se puede evaluar para dar $${\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}-(N-1)ax}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}}$$

La intensidad viene dada por el valor absoluto de la amplitud compleja al cuadrado donde denota el conjugado complejo de . $${\displaystyle I(x)=\Psi \Psi ^{*}=|\Psi |^{2}=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle \Psi ^{*}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Rendija única

Aproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de ancho igual a la longitud de onda de una onda plana incidente en visualización azul 3D

Aproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de cuatro longitudes de onda de ancho con una onda plana incidente. El haz central principal, los nulos y las inversiones de fase son evidentes.

Gráfico e imagen de difracción de rendija simple.

Como ejemplo, ahora se puede derivar una ecuación exacta para la intensidad del patrón de difracción en función del ángulo en el caso de difracción de rendija simple.

Se puede utilizar una representación matemática del principio de Huygens para iniciar una ecuación.

Considere una onda plana compleja monocromática de longitud de onda λ que incide en una rendija de ancho a . ${\displaystyle \Psi ^{\prime }}$

Si la rendija se encuentra en el plano x′-y′, con su centro en el origen, entonces se puede suponer que la difracción genera una onda compleja ψ, que viaja radialmente en la dirección r alejándose de la rendija, y esto viene dado por: $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

Sea ( x ′, y ′, 0) un punto dentro de la rendija sobre la que se está integrando. Si ( x , 0, z ) es la ubicación en la que se calcula la intensidad del patrón de difracción, la rendija se extiende desde hasta y desde hasta . ${\displaystyle x'=-a/2}$ ${\displaystyle +a/2\,}$ ${\displaystyle y'=-\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

La distancia r desde la ranura es: $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}}}$$ $${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Asumiendo la difracción de Fraunhofer se llegará a la conclusión . En otras palabras, la distancia al objetivo es mucho mayor que el ancho de difracción en el objetivo. Según la regla de expansión binomial , ignorando los términos cuadráticos y superiores, se puede estimar que la cantidad de la derecha es: ${\displaystyle z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}}$

$${\displaystyle r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}}$$

Se puede ver que 1/ r delante de la ecuación no es oscilatorio, es decir, su contribución a la magnitud de la intensidad es pequeña en comparación con nuestros factores exponenciales. Por lo tanto, perderemos poca precisión si lo aproximamos como 1/ z .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}}$$

Para hacer las cosas más claras, se utiliza un marcador de posición C para indicar constantes en la ecuación. Es importante tener en cuenta que C puede contener números imaginarios, por lo que la función de onda será compleja. Sin embargo, al final, el ψ estará entre corchetes, lo que eliminará cualquier componente imaginario.

Ahora, en la difracción de Fraunhofer, es pequeña, por lo tanto (tenga en cuenta que participa en esta exponencial y se está integrando). ${\displaystyle kx^{\prime 2}/z}$ ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$

En cambio, el término se puede eliminar de la ecuación, ya que cuando está entre corchetes da 1. ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}}$ $${\displaystyle \left\langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}|e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}$$

(Por el mismo motivo también hemos eliminado el término ) ${\displaystyle e^{-ikz}}$

Tomando resultados en: ${\displaystyle C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}}$ $${\displaystyle \Psi =C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }=C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}}$$

Se puede observar a través de la fórmula de Euler y sus derivadas que y . ${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$ ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {x}{z}}}$

$${\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]}$$donde la función sinc (no normalizada) está definida por . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin(x)}{x}}}$

Ahora, sustituyendo en , la intensidad (amplitud al cuadrado) de las ondas difractadas en un ángulo θ viene dada por: ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}$$

Múltiples rendijas

Difracción de doble rendija de luz láser roja

Difracción de 2 y 5 rendijas

Empecemos nuevamente con la representación matemática del principio de Huygens . $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

Considere rendijas en el plano principal de igual tamaño y espaciadas a lo largo del eje. Como arriba, la distancia desde la rendija 1 es: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Para generalizar esto a las rendijas, hacemos la observación de que mientras y permanecen constantes, se desplaza ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ $${\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd}$$

Por tanto , la suma de todas las contribuciones a la función de onda es: $${\displaystyle r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$$

Nuevamente observando que es pequeño, entonces tenemos: ${\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}}$ ${\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{aligned}}}$$

Ahora, podemos usar la siguiente identidad. $${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.}$$

Sustituyendo en nuestra ecuación encontramos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}}$$

Ahora hacemos nuestra sustitución como antes y representamos todas las constantes no oscilantes mediante la variable como en la difracción de 1 rendija y ponemos entre paréntesis el resultado. Recuerda eso ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I_{0}}$ $${\displaystyle \left\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\right\rangle =e^{0}=1}$$

Esto nos permite descartar el exponente de cola y tenemos nuestra respuesta: $${\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}$$

Caso general para campo lejano

En el campo lejano, donde r es esencialmente constante, entonces la ecuación: es equivalente a hacer una transformada de Fourier en los espacios en la barrera. ^[1] $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

Ver también

• Rejilla de difracción
• Sobre (ondas)
• análisis de Fourier
• Interferómetro de rendija N
• Radiotelescopios

Referencias

1. JM Rodenburg, La transformada de Fourier