Tensión del cilindro

Distribución de tensiones rotacionalmente simétrica.

En mecánica , la tensión de un cilindro es una distribución de tensiones con simetría rotacional; es decir, que permanece sin cambios si el objeto estresado gira alrededor de algún eje fijo.

Los patrones de tensión del cilindro incluyen:

• tensión circunferencial , o tensión circular , una tensión normal en la dirección tangencial ( azimut ).
• tensión axial , una tensión normal paralela al eje de simetría cilíndrica.
• tensión radial , una tensión normal en direcciones coplanares pero perpendiculares al eje de simetría.

Estas tres tensiones principales (circular, longitudinal y radial) se pueden calcular analíticamente utilizando un sistema de tensiones triaxiales mutuamente perpendiculares. ^[1]

El ejemplo clásico (y homónimo) de tensión circular es la tensión aplicada a las bandas de hierro, o aros, de un barril de madera . En una tubería recta y cerrada , cualquier fuerza aplicada a la pared del tubo cilíndrico por un diferencial de presión dará lugar en última instancia a tensiones circulares. De manera similar, si esta tubería tiene tapas de extremo planas, cualquier fuerza que se les aplique mediante presión estática inducirá una tensión axial perpendicular en la misma pared de la tubería. Las secciones delgadas a menudo tienen tensiones radiales insignificantes , pero los modelos precisos de carcasas cilíndricas de paredes más gruesas requieren que se consideren dichas tensiones.

En recipientes a presión de paredes gruesas, se pueden utilizar técnicas de construcción que permitan patrones de tensión iniciales favorables. Estas tensiones de compresión en la superficie interior reducen la tensión circular general en cilindros presurizados. Los recipientes cilíndricos de esta naturaleza generalmente se construyen a partir de cilindros concéntricos contraídos (o expandidos) uno sobre otro, es decir, cilindros ensamblados por ajuste por contracción, pero también se pueden fabricar en cilindros singulares mediante autofretaje de cilindros gruesos. ^[2]

Definiciones

Tensión del aro

Componentes de la tensión circular

La tensión circunferencial es la fuerza sobre un área ejercida circunferencialmente (perpendicular al eje y al radio del objeto) en ambas direcciones sobre cada partícula en la pared del cilindro. Se puede describir como:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

dónde:

• F es la fuerza ejercida circunferencialmente sobre un área de la pared del cilindro que tiene como lados las siguientes dos longitudes:
• t es el espesor radial del cilindro
• l es la longitud axial del cilindro.

Una alternativa a la tensión circunferencial para describir la tensión circunferencial es la tensión de pared o tensión de pared ( T ), que generalmente se define como la fuerza circunferencial total ejercida a lo largo de todo el espesor radial: ^[3]

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

Coordenadas cilíndricas

Junto con la tensión axial y la tensión radial , la tensión circunferencial es un componente del tensor de tensión en coordenadas cilíndricas .

Suele ser útil descomponer cualquier fuerza aplicada a un objeto con simetría rotacional en componentes paralelas a las coordenadas cilíndricas r , z y θ . Estos componentes de la fuerza inducen tensiones correspondientes: tensión radial, tensión axial y tensión circular, respectivamente.

Relación con la presión interna

Suposición de paredes delgadas

Para que la suposición de paredes delgadas sea válida, el recipiente debe tener un espesor de pared de no más de aproximadamente una décima parte (a menudo citado como Diámetro / t > 20) de su radio. ^[4] Esto permite tratar la pared como una superficie y, posteriormente, utilizar la ecuación de Young-Laplace para estimar la tensión circular creada por una presión interna en un recipiente a presión cilíndrico de paredes delgadas:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ (para un cilindro)

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ (para una esfera)

dónde

• P es la presión interna
• t es el espesor de la pared
• r es el radio medio del cilindro
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$es la tensión circular.

La ecuación de la tensión circular para conchas delgadas también es aproximadamente válida para vasos esféricos, incluidas células vegetales y bacterias en las que la presión de turgencia interna puede alcanzar varias atmósferas. En aplicaciones prácticas de ingeniería para cilindros (tubos y tubos), la tensión circular a menudo se reorganiza según la presión y se denomina fórmula de Barlow .

Las unidades del sistema pulgada-libra-segundo (IPS) para P son libras-fuerza por pulgada cuadrada (psi). Las unidades para t y d son pulgadas (pulg). Las unidades del SI para P son pascales (Pa), mientras que t y d =2 r están en metros (m).

Cuando el recipiente tiene extremos cerrados, la presión interna actúa sobre ellos para desarrollar una fuerza a lo largo del eje del cilindro. Esto se conoce como tensión axial y suele ser menor que la tensión circunferencial.

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }$

Aunque esto puede aproximarse a

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

También existe una tensión radial que se desarrolla perpendicular a la superficie y puede estimarse en cilindros de paredes delgadas como: ${\displaystyle \sigma _{r}\ }$

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

En el supuesto de paredes delgadas, la relación es grande, por lo que en la mayoría de los casos este componente se considera insignificante en comparación con las tensiones circunferencial y axial. ^[5] ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

Vasos de paredes gruesas

Cuando el cilindro a estudiar tiene una relación menor que 10 (a menudo citado como ), las ecuaciones del cilindro de paredes delgadas ya no se cumplen, ya que las tensiones varían significativamente entre las superficies interior y exterior y la tensión cortante a través de la sección transversal ya no se puede despreciar. ${\displaystyle {\text{radius}}/{\text{thickness}}}$ ${\displaystyle {\text{diameter}}/{\text{thickness}}<20}$

Estas tensiones y deformaciones se pueden calcular utilizando las ecuaciones de Lamé , ^[6] un conjunto de ecuaciones desarrolladas por el matemático francés Gabriel Lamé .

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

dónde:

${\displaystyle A}$y son constantes de integración, que pueden encontrarse a partir de las condiciones de frontera, ${\displaystyle B}$

${\displaystyle r}$es el radio en el punto de interés (por ejemplo, en las paredes interiores o exteriores).

Para cilindro con condiciones de contorno:

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$(es decir, presión interna en la superficie interior), ${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$(es decir, presión externa en la superficie exterior), ${\displaystyle P_{b}}$

se obtienen las siguientes constantes:

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$,

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$.

Usando estas constantes, se obtiene la siguiente ecuación para la tensión circunferencial:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$

Para un cilindro sólido: entonces y un cilindro sólido no puede tener una presión interna entonces . ${\displaystyle R_{i}=0}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle A=P_{o}}$

Dado que para cilindros de paredes gruesas la relación es inferior a 10, la tensión radial, en proporción a las otras tensiones, se vuelve no despreciable (es decir, P ya no es mucho, mucho menos que Pr/t y Pr/2t), y así el espesor de la pared se convierte en una consideración importante para el diseño (Harvey, 1974, pp. 57). ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

En la teoría de los recipientes a presión, cualquier elemento dado de la pared se evalúa en un sistema de tensiones triaxiales, siendo las tres tensiones principales la circunferencial, la longitudinal y la radial. Por lo tanto, por definición, no existen esfuerzos cortantes en los planos transversal, tangencial o radial. ^[1]

En cilindros de paredes gruesas, el esfuerzo cortante máximo en cualquier punto viene dado por la mitad de la diferencia algebraica entre los esfuerzos máximo y mínimo, que es, por lo tanto, igual a la mitad de la diferencia entre los esfuerzos circulares y radiales. El esfuerzo cortante alcanza un máximo en la superficie interior, lo cual es significativo porque sirve como criterio de falla ya que se correlaciona bien con las pruebas de ruptura reales de cilindros gruesos (Harvey, 1974, p. 57).

Efectos prácticos

Ingeniería

La fractura se rige por la tensión circunferencial en ausencia de otras cargas externas, ya que es la tensión principal más grande. Tenga en cuenta que un aro experimenta la mayor tensión en su interior (el exterior y el interior experimentan la misma tensión total, que se distribuye en diferentes circunferencias); por lo tanto, en teoría, las grietas en las tuberías deberían comenzar desde el interior de la tubería. Esta es la razón por la que las inspecciones de tuberías después de un terremoto generalmente implican enviar una cámara dentro de la tubería para inspeccionar si hay grietas. La fluencia se rige por una tensión equivalente que incluye la tensión circunferencial y la tensión longitudinal o radial cuando está ausente.

Medicamento

En la patología de las paredes vasculares o gastrointestinales , la tensión parietal representa la tensión muscular en la pared del vaso. Como resultado de la Ley de Laplace , si se forma un aneurisma en la pared de un vaso sanguíneo, el radio del vaso ha aumentado. Esto significa que la fuerza hacia adentro sobre el vaso disminuye y, por lo tanto, el aneurisma continuará expandiéndose hasta que se rompa. Una lógica similar se aplica a la formación de divertículos en el intestino . ^[7]

Desarrollo de la teoría

Pilar de hierro fundido del puente ferroviario de Chepstow , 1852. Los aros de hierro forjado articulados con pasadores (más fuertes en tensión que el hierro fundido) resisten las tensiones del aro. ^[8]

El primer análisis teórico de la tensión en cilindros fue desarrollado por el ingeniero William Fairbairn de mediados del siglo XIX , asistido por su analista matemático Eaton Hodgkinson . Su primer interés fue estudiar el diseño y fallos de las calderas de vapor . ^[9] Fairbairn se dio cuenta de que la tensión circular era el doble de la tensión longitudinal, un factor importante en el ensamblaje de carcasas de calderas a partir de láminas laminadas unidas mediante remachado . Los trabajos posteriores se aplicaron a la construcción de puentes y a la invención de la viga cajón . En el puente ferroviario de Chepstow , los pilares de hierro fundido están reforzados por bandas externas de hierro forjado . La fuerza vertical y longitudinal es una fuerza de compresión que el hierro fundido puede resistir bien. La tensión circular es de tracción, por lo que se añade hierro forjado, un material con mejor resistencia a la tracción que el hierro fundido.

Ver también

• Puede ser causado por la tensión del cilindro:
  • Desastre de la melaza de Boston
  • explosión de caldera
  • Explosión de vapor en expansión de líquido hirviendo
• Temas de ingeniería relacionados:
  • Concentración de estrés
  • Examen HIDROSTATICO
  • Pandeo
  • Presión arterial#Relation_to_wall_tension
  • Tubería#Análisis_de_estrés
• Diseños muy afectados por este estrés:
  • Recipiente a presión
    • motor de cohete
  • Volante
  • La cúpula de la catedral de Florencia

Referencias

1. "Análisis estructural avanzado" (PDF) . Universidad de Swansea. 2020. pág. 8. Archivado desde el original (PDF) el 19 de agosto de 2019.
2. Harvey, John F. (1974). "Teoría y diseño de recipientes a presión modernos". Van Nostrand Reinhold. págs. 60–61.
3. Tensión en las paredes arteriales Por R Nave. Departamento de Física y Astronomía, Universidad Estatal de Georgia. Consultado en junio de 2011.
4. "Calculadora y ecuación de recipiente a presión, aro de pared delgada y tensiones longitudinales - Engineers Edge".
5. "Recipientes a presión" (PDF) . web.mit.edu . Consultado el 12 de junio de 2020 .
6. "Mecánica de materiales - Parte 35 (Cilindro grueso - Ecuación de Lame)". youtube.com . Consultado el 23 de octubre de 2022 .
7. E. Goljan, Patología, 2ª ed. Mosby Elsevier, Serie de revisión rápida.
8. Jones, Stephen K. (2009). Brunel en el sur de Gales . vol. II: Comunicaciones y Carbón. Stroud: la prensa histórica. pag. 247.ISBN​ 9780752449128.
9. Fairbairn, William (1851). "La Construcción de Calderas". Dos Conferencias: Construcción de Calderas y Sobre Explosiones de Calderas, con los medios de prevención. pag. 6.

• Recipientes a presión de paredes delgadas. 19 de junio de 2008. {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )