Tasa de liberación de energía (mecánica de fracturas)

En mecánica de fracturas , la tasa de liberación de energía , , es la tasa a la que la energía se transforma a medida que un material sufre una fractura . Matemáticamente, la tasa de liberación de energía se expresa como la disminución de la energía potencial total por cada aumento del área de la superficie de fractura, ^{[1] [2]} y, por lo tanto, se expresa en términos de energía por unidad de área. Se pueden construir varios balances de energía que relacionen la energía liberada durante la fractura con la energía de la nueva superficie resultante, así como otros procesos disipativos como la plasticidad y la generación de calor. La tasa de liberación de energía es fundamental en el campo de la mecánica de fracturas a la hora de resolver problemas y estimar las propiedades de los materiales relacionadas con la fractura y la fatiga . ${\displaystyle G}$

Definición

Gráfica de carga vs. desplazamiento

La tasa de liberación de energía se define ^[3] como la pérdida instantánea de energía potencial total por unidad de área de crecimiento de grietas , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle G\equiv -{\frac {\partial \Pi }{\partial s}},}$

donde la energía potencial total se escribe en términos de la energía de deformación total , la tracción superficial , el desplazamiento y la fuerza del cuerpo mediante ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle \Pi =\Omega -\left\{\int _{{\mathcal {S}}_{t}}\mathbf {t} \cdot \mathbf {u} \,dS+\int _{\mathcal {V}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {u} \,dV\right\}.}$

La primera integral es sobre la superficie del material y la segunda es sobre su volumen . ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle V}$

La figura de la derecha muestra la gráfica de una fuerza externa frente al desplazamiento del punto de carga , en la que el área bajo la curva es la energía de deformación. El área blanca entre la curva y el eje se denomina energía complementaria. En el caso de un material elástico lineal , es una línea recta y la energía de deformación es igual a la energía complementaria. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(q)}$

Desplazamiento prescrito

En el caso de un desplazamiento prescrito, la energía de deformación se puede expresar en términos del desplazamiento especificado y la superficie de la grieta , y el cambio en esta energía de deformación solo se ve afectado por el cambio en el área de la superficie de la fractura: . En consecuencia, la tasa de liberación de energía en este caso se expresa como ^[3] ${\displaystyle \Omega (q,s)}$ ${\displaystyle \delta \Omega =(\partial \Omega /\partial s)\delta s}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{q}.}$

Aquí es donde uno puede referirse con precisión a la tasa de liberación de energía de tensión. ${\displaystyle G}$

Cargas prescritas

Cuando se prescribe la carga en lugar del desplazamiento, la energía de deformación debe modificarse como . La tasa de liberación de energía se calcula entonces como ^[3] ${\displaystyle \Omega (q(P,s),s)}$

${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$

Si el material es elástico linealmente, entonces y en cambio se puede escribir ${\displaystyle \Omega =Pq/2}$

${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial \Omega }{\partial s}}\right|_{P}.}$

G en casos bidimensionales

En los casos de problemas bidimensionales, el cambio en el área de crecimiento de la grieta es simplemente el cambio en la longitud de la grieta multiplicado por el espesor de la muestra. Es decir, . Por lo tanto, la ecuación para el cálculo se puede modificar para el caso 2D: ${\displaystyle \partial s=B\partial a}$ ${\displaystyle G}$

• Desplazamiento prescrito: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Carga prescrita: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(\Omega -Pq\right).}$
• Carga prescrita, elástica lineal: ${\displaystyle G=\left.{\frac {1}{B}}{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}\right|_{P}.}$

Para obtener más información, puede consultar los cálculos de ejemplo incluidos en la siguiente sección. A veces, la energía de deformación se escribe utilizando , una energía por unidad de espesor. Esto da ${\displaystyle U=\Omega /B}$

• Desplazamiento prescrito: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{q}.}$
• Carga prescrita: ${\displaystyle G=-\left.{\frac {\partial }{\partial a}}\right|_{P}\left(U-{\frac {Pq}{B}}\right).}$
• Carga prescrita, elástica lineal: ${\displaystyle G=\left.{\frac {\partial U}{\partial a}}\right|_{P}.}$

Relación con los factores de intensidad del estrés

La tasa de liberación de energía está directamente relacionada con el factor de intensidad de tensión asociado con un modo de carga bidimensional dado ( Modo I, Modo II o Modo III ) cuando la grieta crece en línea recta. ^[3] Esto es aplicable a grietas bajo tensión plana , deformación plana y cizallamiento antiplano .

Para el Modo I, la tasa de liberación de energía está relacionada con el factor de intensidad de tensión del Modo I para un material elástico lineal mediante ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K_{I}}$

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}},}$

donde está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson dependiendo de si el material está bajo tensión plana o deformación plana: ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E'={\begin{cases}E,&\mathrm {plane~stress} ,\\\\{\dfrac {E}{1-\nu ^{2}}},&\mathrm {plane~strain} .\end{cases}}}$

Para el Modo II, la tasa de liberación de energía se escribe de manera similar como

${\displaystyle G={\frac {K_{II}^{2}}{E'}}.}$

Para el modo III (corte antiplano), la tasa de liberación de energía ahora es una función del módulo de corte , ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G={\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Para una combinación arbitraria de todos los modos de carga, estas soluciones elásticas lineales pueden superponerse como

${\displaystyle G={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Relación con la tenacidad a la fractura

El crecimiento de grietas se inicia cuando la tasa de liberación de energía supera un valor crítico , que es una propiedad del material. ${\displaystyle G_{c}}$

${\displaystyle G\geq G_{c},}$

Bajo la carga del Modo I, la tasa crítica de liberación de energía se relaciona con la tenacidad a la fractura del Modo I , otra propiedad del material, mediante ${\displaystyle G_{c}}$ ${\displaystyle K_{IC}}$

${\displaystyle G_{c}={\frac {K_{IC}^{2}}{E'}}.}$

CalculadorGRAMO

Existen diversos métodos disponibles para calcular la tasa de liberación de energía en función de las propiedades del material, la geometría de la muestra y las condiciones de carga. Algunos dependen de que se cumplan ciertos criterios, como que el material sea completamente elástico o incluso linealmente elástico, o que la grieta crezca en línea recta. El único método presentado que funciona de manera arbitraria es el que utiliza la energía potencial total. Si ambos métodos son aplicables, deberían arrojar tasas de liberación de energía idénticas.

Energía potencial total

El único método para calcular condiciones arbitrarias es calcular la energía potencial total y diferenciarla con respecto al área de la superficie de la grieta. Esto se hace normalmente de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$

• calcular el campo de tensiones resultante de la carga,
• calcular la energía de deformación en el material resultante del campo de tensión,
• Calcular el trabajo realizado por las cargas externas,

Todo en términos de la superficie de la grieta.

Método de cumplimiento

Si el material es elástico linealmente, el cálculo de su tasa de liberación de energía se puede simplificar mucho. En este caso, la curva de carga frente a desplazamiento del punto de carga es lineal con una pendiente positiva, y el desplazamiento por unidad de fuerza aplicada se define como la flexibilidad, ^[3] ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {q}{P}}.}$

La energía de deformación correspondiente (área bajo la curva) es igual a ^[3] ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}Pq={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}P^{2}C.}$

Utilizando el método de cumplimiento, se puede demostrar que la tasa de liberación de energía para ambos casos de carga y desplazamiento prescritos resulta ser ^[3]

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}P^{2}{\frac {\partial C}{\partial s}}.}$

Métodos de muestras múltiples para materiales no lineales

Ilustración gráfica de G en condiciones de desplazamiento fijo y carga fija

En el caso de un desplazamiento prescrito, manteniendo fija la longitud de la grieta, la tasa de liberación de energía se puede calcular mediante ^[3]

${\displaystyle G=-\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq,}$

mientras que en el caso de carga prescrita, ^[3]

${\displaystyle G=\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Como se puede ver, en ambos casos, la tasa de liberación de energía multiplicada por el cambio de superficie devuelve el área entre curvas, lo que indica la energía disipada para la nueva área de superficie como se ilustra en la figura de la derecha ^[3]. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle Gds=-ds\int _{0}^{q}{\frac {\partial P}{\partial s}}\,dq=ds\int _{0}^{P}{\frac {\partial q}{\partial s}}\,dP.}$

Cierre integral de grietas

Dado que la tasa de liberación de energía se define como la derivada negativa de la energía potencial total con respecto al crecimiento de la superficie de la grieta, la tasa de liberación de energía se puede escribir como la diferencia entre la energía potencial antes y después del crecimiento de la grieta. Después de una cuidadosa derivación, esto nos lleva a la integral de cierre de la grieta ^[3]

${\displaystyle G=\lim _{\Delta s\to 0}-{\frac {1}{\Delta s}}\int _{\Delta s}{\frac {1}{2}}\,t_{i}^{0}\left(\Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}\right)\,dS,}$

donde es la nueva área de la superficie de la fractura, son los componentes de la tracción liberada en la superficie de la fractura superior a medida que la grieta crece, son los componentes del desplazamiento de apertura de la grieta (la diferencia en los incrementos de desplazamiento entre las superficies de la grieta superior e inferior), y la integral es sobre la superficie del material . ${\displaystyle \Delta s}$ ${\displaystyle t_{i}^{0}}$ ${\displaystyle \Delta u_{i}^{+}-\Delta u_{i}^{-}}$ ${\displaystyle S}$

La integral de cierre de grietas es válida únicamente para materiales elásticos, pero sigue siendo válida para grietas que crecen en cualquier dirección. Sin embargo, para una grieta bidimensional que crece en línea recta, la integral de cierre de grietas se simplifica a ^[3]

${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{0}^{\Delta a}\sigma _{i2}(x_{1},0)u_{i}(\Delta a-x_{1},\pi )\,dx_{1},}$

donde es la nueva longitud de la grieta, y los componentes de desplazamiento se escriben como una función de las coordenadas polares y . ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle r=\Delta a-x_{1}}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

Yo-integral

En ciertas situaciones, la tasa de liberación de energía se puede calcular utilizando la integral J , es decir , utilizando ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=J}$

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{i}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma ,}$

donde es la densidad de energía de deformación elástica, es el componente del vector unitario normal a , la curva utilizada para la integral de línea, son los componentes del vector de tracción , donde es el tensor de tensión, y son los componentes del vector de desplazamiento. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Esta integral es cero sobre una trayectoria cerrada simple y es independiente de la trayectoria , lo que permite utilizar cualquier trayectoria simple que comience y termine en las caras de la grieta para calcular . Para equiparar la tasa de liberación de energía con la integral J, , se deben cumplir las siguientes condiciones: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G=J}$

• La grieta debe estar creciendo hacia adelante y
• La deformación cerca de la grieta (encerrada por ) debe ser elástica (no plástica). ${\displaystyle \Gamma }$

La integral J se puede calcular con estas condiciones violadas, pero luego . Cuando no se violan, se puede relacionar la tasa de liberación de energía y la integral J con los módulos elásticos y los factores de intensidad de tensión utilizando ^[3] ${\displaystyle G\neq J}$

${\displaystyle G=J={\frac {K_{I}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{II}^{2}}{E'}}+{\frac {K_{III}^{2}}{2\mu }}.}$

Métodos computacionales en mecánica de fracturas

Existen varios métodos para realizar cálculos con elementos finitos. Si bien es posible realizar un cálculo directo de la integral J (utilizando las deformaciones y tensiones generadas por el método de elementos finitos ), existen métodos aproximados para algunos tipos de crecimiento de grietas que brindan una precisión razonable con cálculos sencillos. En esta sección se explicarán algunos métodos relativamente simples para el análisis de fracturas utilizando simulaciones numéricas. ${\displaystyle G}$

Método de liberación nodal

Si la grieta crece en línea recta, la tasa de liberación de energía se puede descomponer como una suma de 3 términos asociados con la energía en cada uno de los 3 modos. Como resultado, se puede utilizar el método de liberación nodal (NR) para determinar a partir de los resultados del análisis de elementos finitos. La tasa de liberación de energía se calcula en los nodos de la malla de elementos finitos para la grieta en una longitud inicial y se extiende por una pequeña distancia . Primero, calculamos la variación del desplazamiento en el nodo de interés (antes y después de que se libere el nodo de la punta de la grieta). En segundo lugar, hacemos un seguimiento de la fuerza nodal emitida por el análisis de elementos finitos. Finalmente, podemos encontrar cada componente de utilizando las siguientes fórmulas: ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle \Delta {\vec {u}}={\vec {u}}^{(t+1)}-{\vec {u}}^{(t)}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle G}$

Figura 1: Desreducción de grietas entre dos pasos de tiempo consecutivos utilizando liberación nodal (NR)

$${\displaystyle G_{1}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{2}{\frac {\Delta u_{2}}{2}}}$$ $${\displaystyle G_{2}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{1}{\frac {\Delta u_{1}}{2}}}$$ $${\displaystyle G_{3}^{\text{NR}}={\frac {1}{\Delta a}}F_{3}{\frac {\Delta u_{3}}{2}}}$$Donde es el ancho del elemento que delimita la punta de la grieta. La precisión del método depende en gran medida del refinamiento de la malla, tanto porque el desplazamiento y las fuerzas dependen de él, como porque . Tenga en cuenta que las ecuaciones anteriores se derivan utilizando la integral de cierre de grietas. ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{NR}}}$

Si la tasa de liberación de energía excede un valor crítico, la grieta crecerá. En este caso, se realiza una nueva simulación FEA (para el siguiente paso de tiempo) donde se libera el nodo en la punta de la grieta. Para un sustrato acotado, simplemente podemos dejar de aplicar condiciones de contorno de Dirichlet fijas en el nodo de la punta de la grieta del paso de tiempo anterior (es decir, los desplazamientos ya no están restringidos). Para una grieta simétrica, necesitaríamos actualizar la geometría del dominio con una abertura de grieta más larga (y, por lo tanto, generar una nueva malla ^[5] ).

Integral de cierre de grietas modificado

Similar al método de liberación nodal, la integral de cierre de grietas modificada (MCCI) es un método para calcular la tasa de liberación de energía utilizando desplazamientos y fuerzas nodales de FEA . ^{[6] [7]} Donde representa la dirección correspondiente a los vectores de base cartesianos con origen en la punta de la grieta, y representa el índice nodal. MCCI es computacionalmente más eficiente que el método de liberación nodal porque solo requiere un análisis para cada incremento de crecimiento de la grieta. ${\displaystyle (u_{i}^{j})}$ ${\displaystyle (F_{i}^{j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Una condición necesaria para el método MCCI es la longitud uniforme del elemento a lo largo de la cara de la grieta en la dirección. Además, este método requiere una discretización suficiente para que, a lo largo de la longitud de un elemento, los campos de tensión sean autosimilares . Esto implica que, a medida que la grieta se propaga, se produzcan los siguientes ejemplos del método MCCI con dos tipos de elementos finitos comunes. ${\displaystyle (\Delta a)}$ ${\displaystyle x_{1}-}$ ${\displaystyle K(a+\Delta a)\approx K(a)}$

Elementos de 4 nodos

Figura 2: Esquema del proceso MCCI para elementos rectangulares lineales de 4 nodos.

Los elementos lineales cuadrados de 4 nodos que se ven en la Figura 2 tienen una distancia entre nodos e igual a Considere una grieta con su punta ubicada en el nodo De manera similar al método de liberación nodal, si la grieta se propagara una longitud de elemento a lo largo de la línea de simetría (paralela al eje -), el desplazamiento de apertura de la grieta sería el desplazamiento en la punta de la grieta anterior, es decir y la fuerza en la nueva punta de la grieta sería Dado que se supone que el crecimiento de la grieta es autosimilar, el desplazamiento en el nodo después de que la grieta se propaga es igual al desplazamiento en el nodo antes de que la grieta se propague. Este mismo concepto se puede aplicar a las fuerzas en el nodo y Utilizando el mismo método que se muestra en la sección de liberación nodal, recuperamos las siguientes ecuaciones para la tasa de liberación de energía: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \Delta a.}$ ${\displaystyle j.}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u^{j}}}}$ ${\displaystyle (j+1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{j+1}.}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j-1}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle j.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-1}}}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-1}}}$

Donde (desplazamiento por encima y por debajo de la cara de la grieta respectivamente). Debido a que tenemos una línea de simetría paralela a la grieta, podemos suponer ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=u_{i}^{(+)j-1}-u_{i}^{(-)j-1}}$ ${\displaystyle u_{i}^{(+)j-1}=-u_{i}^{(-)j-1}.}$

De este modo, ${\displaystyle \Delta u_{i}^{j-1}=2u_{i}^{(+)j-1}.}$

Elementos de 8 nodos

Figura 3: Esquema del proceso MCCI para elementos rectangulares cuadráticos de 9 nodos.

Los elementos rectangulares de 8 nodos que se ven en la Figura 3 tienen funciones de base cuadráticas . El proceso para calcular G es el mismo que para los elementos de 4 nodos, con la excepción de que (el crecimiento de la grieta sobre un elemento) ahora es la distancia desde el nodo hasta Una vez más, haciendo la suposición de un crecimiento de grietas rectas autosimilares, la tasa de liberación de energía se puede calcular utilizando las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+2.}$

${\displaystyle G_{1}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{2}^{j}{\Delta u_{2}^{j-2}}+F_{2}^{j+1}{\Delta u_{2}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{2}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{1}^{j}{\Delta u_{1}^{j-2}}+F_{1}^{j+1}{\Delta u_{1}^{j-1}}\right)}$

${\displaystyle G_{3}^{\text{MCCI}}={\frac {1}{2\Delta a}}\left(F_{3}^{j}{\Delta u_{3}^{j-2}}+F_{3}^{j+1}{\Delta u_{3}^{j-1}}\right)}$

Al igual que con el método de liberación nodal, la precisión de MCCI depende en gran medida del nivel de discretización a lo largo de la punta de la grieta, es decir, la precisión también depende de la elección del elemento. Una malla de elementos cuadráticos de 8 nodos puede producir resultados más precisos que una malla de elementos lineales de 4 nodos con el mismo número de grados de libertad ^[8] en la malla. ${\displaystyle G=\lim _{\Delta a\to 0}G^{\text{MCCI}}.}$

Enfoque de integralidad de dominio para J

Figura 4: Integral del dominio del contorno para la integral J

La J-integral se puede calcular directamente utilizando la malla de elementos finitos y las funciones de forma. ^[9] Consideramos un contorno de dominio como se muestra en la figura 4 y elegimos una función suave arbitraria tal que en y en . ${\displaystyle {\tilde {q}}(x_{1},x_{2})=\sum _{i}N_{i}(x_{1},x_{2}){\tilde {q}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {q}}=1}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {q}}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$

En el caso de grietas elásticas lineales que crecen en línea recta, la tasa de liberación de energía se puede calcular entonces sobre el área delimitada por el contorno utilizando una fórmula actualizada: ${\displaystyle G=J}$ ${\displaystyle J=\int _{\mathcal {A}}(\sigma _{ij}u_{i,1}{\tilde {q}}_{,j}-W{\tilde {q}}_{,1})d{\mathcal {A}}}$

La fórmula anterior se puede aplicar a cualquier área anular que rodee la punta de la grieta (en particular, se puede utilizar un conjunto de elementos vecinos). Este método es muy preciso, incluso con una malla gruesa alrededor de la punta de la grieta (se puede elegir un dominio de integración ubicado lejos, con tensiones y desplazamientos menos sensibles al refinamiento de la malla).

Elementos singulares de la punta de la grieta en 2D

Los métodos mencionados anteriormente para calcular la tasa de liberación de energía se acercan asintóticamente a la solución real con una mayor discretización, pero no logran capturar por completo la singularidad de la punta de la grieta. Se pueden realizar simulaciones más precisas utilizando elementos de un cuarto de punto alrededor de la punta de la grieta. ^[10] Estos elementos tienen una singularidad incorporada que produce con mayor precisión campos de tensión alrededor de la punta de la grieta. La ventaja del método de un cuarto de punto es que permite mallas de elementos finitos más gruesas y reduce en gran medida el costo computacional. Además, estos elementos se derivan de pequeñas modificaciones a elementos finitos comunes sin requerir programas computacionales especiales para el análisis. Para los fines de esta sección, se examinarán los materiales elásticos, aunque este método se puede extender a la mecánica de fractura elasto- plástica . ^{[11] [12] [13] [14]} Suponiendo una elasticidad perfecta, los campos de tensión experimentarán una singularidad en la punta de la grieta. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

Elemento isoparamétrico de 8 nodos

Figura 5: Elemento mapeado y primario del elemento finito isoparamétrico de 8 nodos. Observe la ubicación del punto de cuarto de los nodos en el elemento mapeado.

El elemento cuadrático de 8 nodos se describe en la Figura 5 tanto en el espacio padre con coordenadas locales como por el elemento mapeado en el espacio físico/global por y El elemento padre se mapea desde el espacio local al espacio físico por las funciones de forma y las coordenadas de grado de libertad La punta de la grieta se encuentra en o ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i}).}$ ${\displaystyle \xi =-1,\eta =-1}$ ${\displaystyle x=0,y=0.}$

${\displaystyle x(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )x_{i}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )y_{i}}$

De manera similar, los desplazamientos (definidos como ) también se pueden mapear. ${\displaystyle u\equiv u_{1},v\equiv u_{2}}$

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )u_{i}}$

${\displaystyle v(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{8}N_{i}(\xi ,\eta )v_{i}}$

Una propiedad de las funciones de forma en el método de elementos finitos es el soporte compacto , específicamente la propiedad delta de Kronecker (es decir , en el nodo y cero en todos los demás nodos). Esto da como resultado las siguientes funciones de forma para los elementos cuadráticos de 8 nodos: ^[8] ${\displaystyle N_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle N_{1}={\frac {-(\xi -1)(\eta -1)(1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{2}={\frac {(\xi +1)(\eta -1)(1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{3}={\frac {(\xi +1)(\eta +1)(-1+\eta +\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{4}={\frac {-(\xi -1)(\eta +1)(-1+\eta -\xi )}{4}}}$

${\displaystyle N_{5}={\frac {(1-\xi ^{2})(1-\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{6}={\frac {(1+\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

${\displaystyle N_{7}={\frac {(1-\xi ^{2})(1+\eta )}{2}}}$

${\displaystyle N_{8}={\frac {(1-\xi )(1-\eta ^{2})}{2}}}$

Al considerar una línea frente a la grieta que es colineal con el eje - (es decir, ), todas las funciones base son cero excepto ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{i}(\xi ,\eta =-1)}$ ${\displaystyle N_{1,2,5}.}$

${\displaystyle N_{1}(\xi ,-1)=-{\frac {\xi (1-\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{2}(\xi ,-1)={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}}$

${\displaystyle N_{5}(\xi ,-1)=(1-\xi ^{2})}$

Para calcular la deformación normal se utiliza la regla de la cadena para tomar la derivada del desplazamiento con respecto a ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum _{i=1,2,5}{\frac {\partial N_{i}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}u_{i}}$

Figura 6: Elemento triangular mapeado a partir de un elemento rectangular de 8 nodos.

Si los nodos están espaciados uniformemente en el elemento rectangular, la deformación no contendrá la singularidad. Al mover los nodos 5 y 8 a una cuarta parte de la longitud del elemento más cerca de la punta de la grieta, como se ve en la figura 5, la correspondencia se convierte en: ${\displaystyle ({\tfrac {L}{4}})}$ ${\displaystyle \xi \rightarrow x}$

${\displaystyle x(\xi )={\frac {\xi (1+\xi )}{2}}L+(1-\xi ^{2}){\frac {L}{4}}}$

Resolviendo y tomando la derivada obtenemos: ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (x)=-1+2{\sqrt {\frac {x}{L}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}}$

Introduciendo este resultado en la ecuación de la deformación se obtiene el resultado final:

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {4}{L}}\left({\frac {u_{2}}{2}}-u_{5}\right)+{\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left(2u_{5}-{\frac {u_{2}}{5}}\right)}$

Al mover los nodos intermedios a una posición de un cuarto se obtiene la singularidad correcta de la punta de la grieta. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$

Otros tipos de elementos

Figura 7: Elemento del triángulo natural

El método de elementos rectangulares no permite que los elementos singulares se engranen fácilmente alrededor de la punta de la grieta. Esto impide la capacidad de capturar la dependencia angular de los campos de tensión, que es fundamental para determinar la trayectoria de la grieta. Además, excepto a lo largo de los bordes del elemento, la singularidad existe en una región muy pequeña cerca de la punta de la grieta. La Figura 6 muestra otro método de un cuarto de punto para modelar esta singularidad. El elemento rectangular de 8 nodos se puede mapear en un triángulo. ^[15] Esto se hace colapsando los nodos en la línea a la ubicación del nodo medio y desplazando los nodos medios a la ubicación del cuarto de punto. El rectángulo colapsado puede rodear más fácilmente la punta de la grieta, pero requiere que los bordes del elemento sean rectos o se reducirá la precisión del cálculo del factor de intensidad de tensión. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ ${\displaystyle \xi =-1}$ ${\displaystyle \eta =\pm 1}$

Un candidato mejor para el método de un cuarto de punto es el triángulo natural, como se ve en la Figura 7. La geometría del elemento permite rodear fácilmente la punta de la grieta y simplificar el mallado. Siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente, el campo de desplazamiento y deformación para los elementos triangulares son:

${\displaystyle u=u_{3}+{\sqrt {\frac {x}{L}}}\left[4u_{6}-3u_{3}-u_{1}\right]+{\frac {x}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

${\displaystyle \gamma _{xx}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {1}{\sqrt {xL}}}\left[-{\frac {u_{1}}{2}}-{\frac {3u_{3}}{2}}+2u_{6}\right]+{\frac {1}{L}}\left[2u_{1}+2u_{3}-4u_{6}\right]}$

Este método reproduce los dos primeros términos de las soluciones de Williams ^[16] con un término constante y singular.

Una ventaja del método de un cuarto de punto es que se puede generalizar fácilmente a modelos tridimensionales. Esto puede reducir en gran medida el cálculo en comparación con otros métodos tridimensionales, pero puede dar lugar a errores si la punta de la grieta se propaga con un alto grado de curvatura. ^[17]

Véase también

• Mecánica de fracturas
• Factor de intensidad del estrés
• Tenacidad a la fractura
• J-integral

Referencias

1. Li, FZ; Shih, CF; Needleman, A. (1985). "Una comparación de métodos para calcular las tasas de liberación de energía". Mecánica de fracturas en ingeniería . 21 (2): 405–421. doi :10.1016/0013-7944(85)90029-3. ISSN  0013-7944.
2. Rice, JR; Budiansky, B. (1973). "Leyes de conservación y tasas de liberación de energía". Journal of Applied Mechanics . 40 (1): 201–3. Bibcode :1973JAM....40..201B. doi :10.1115/1.3422926. S2CID  13910502.
3. Alan Zehnder (2012). Mecánica de fracturas . Londres; Nueva York: Springer Science+Business Media. ISBN 9789400725942.
4. Soboyejo, WO (2003). "11.6.5 Equivalencia de G y K". Propiedades mecánicas de materiales de ingeniería. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8900-8 . OCLC 300921090. 
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Enlaces externos

• Notas sobre mecánica de fracturas no lineales del profesor John Hutchinson (de la Universidad de Harvard)
• Tasa de liberación de energía de deformación de Griffith en www.fracturemechanics.org