Un elipsoide terrestre o esferoide terrestre es una figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra , utilizada como marco de referencia para cálculos en geodesia , astronomía y geociencias . Se han utilizado varios elipsoides diferentes como aproximaciones.
Es un esferoide (un elipsoide de revolución ) cuyo eje menor (diámetro más corto), que conecta el Polo Norte y el Polo Sur geográficos , está aproximadamente alineado con el eje de rotación de la Tierra. El elipsoide está definido por el eje ecuatorial ( a ) y el eje polar ( b ); su diferencia radial es de poco más de 21 km, o el 0,335% de a (que no son exactamente 6.400 km).
Existen muchos métodos para determinar los ejes de un elipsoide terrestre, desde los arcos de meridianos hasta la moderna geodesia por satélite o el análisis y la interconexión de redes geodésicas continentales . Entre los diferentes conjuntos de datos utilizados en los estudios nacionales se encuentran varios de especial importancia: el elipsoide de Bessel de 1841, el elipsoide internacional de Hayford de 1924 y (para posicionamiento GPS ) el elipsoide WGS84 .
Hay dos tipos de elipsoide: media y referencia.
Un conjunto de datos que describe el promedio global de la curvatura de la superficie de la Tierra se llama elipsoide terrestre medio . Se refiere a una coherencia teórica entre la latitud geográfica y la curvatura meridional del geoide . Este último está cerca del nivel medio del mar y, por tanto, un elipsoide terrestre ideal tiene el mismo volumen que el geoide.
Si bien el elipsoide terrestre medio es la base ideal para la geodesia global, para las redes regionales el llamado elipsoide de referencia puede ser la mejor opción. [1] Cuando las mediciones geodésicas deben calcularse sobre una superficie de referencia matemática, esta superficie debe tener una curvatura similar a la del geoide regional; de lo contrario, la reducción de las medidas producirá pequeñas distorsiones.
Ésta es la razón de la "larga vida" de antiguos elipsoides de referencia como el elipsoide de Hayford o el de Bessel , a pesar de que sus ejes principales se desvían en varios cientos de metros de los valores modernos. Otra razón es judicial: las coordenadas de millones de mojones deberían permanecer fijas durante un largo período. Si su superficie de referencia cambia, las propias coordenadas también cambian.
Sin embargo, para las redes internacionales, el posicionamiento GPS o la astronáutica , estas razones regionales son menos relevantes. Como el conocimiento de la figura de la Tierra es cada vez más preciso, la Unión Geocientífica Internacional IUGG suele adaptar los ejes del elipsoide terrestre a los mejores datos disponibles.
En geodesia , un elipsoide de referencia es una superficie matemáticamente definida que se aproxima al geoide , que es la figura más verdadera e imperfecta de la Tierra u otro cuerpo planetario, a diferencia de una esfera perfecta, lisa e inalterada, que tiene en cuenta las ondulaciones de la gravedad de los cuerpos debido a las variaciones en la composición y densidad del interior , así como el posterior aplanamiento provocado por la fuerza centrífuga procedente de la rotación de estos objetos masivos (para los cuerpos planetarios que sí giran). Debido a su relativa simplicidad, los elipsoides de referencia se utilizan como superficie preferida en la que se realizan cálculos de redes geodésicas y se definen coordenadas de puntos como latitud , longitud y elevación .
En el contexto de la estandarización y las aplicaciones geográficas, un elipsoide de referencia geodésica es el modelo matemático utilizado como base para el sistema de referencia espacial o las definiciones de datos geodésicos .
En 1687, Isaac Newton publicó los Principia en los que incluía una prueba de que un cuerpo fluido autogravitante que gira en equilibrio toma la forma de un elipsoide de revolución aplanado ("achatado"), generado por una elipse que gira alrededor de su diámetro menor; una forma que denominó esferoide achatado . [2] [3]
En geofísica, geodesia y áreas relacionadas, se entiende que la palabra "elipsoide" significa "elipsoide achatado de revolución", y el término más antiguo "esferoide achatado" apenas se utiliza. [4] [5] Para cuerpos que no pueden aproximarse bien mediante un elipsoide de revolución, se utiliza un elipsoide triaxial (o escaleno).
La forma de un elipsoide de revolución está determinada por los parámetros de forma de esa elipse . El semieje mayor de la elipse, a , se convierte en el radio ecuatorial del elipsoide: el semieje menor de la elipse, b , se convierte en la distancia desde el centro a cualquiera de los polos. Estas dos longitudes especifican completamente la forma del elipsoide.
En las publicaciones de geodesia, sin embargo, es común especificar el semieje mayor (radio ecuatorial) a y el aplanamiento f , definido como:
Es decir, f es la cantidad de aplanamiento en cada polo, en relación con el radio en el ecuador. Esto a menudo se expresa como una fracción 1/ m ; m = 1/ f siendo entonces el "aplanamiento inverso". En geodesia se utilizan muchos otros parámetros de elipse , pero todos pueden relacionarse con uno o dos del conjunto a , b y f .
En el pasado se han utilizado muchos elipsoides para modelar la Tierra, con diferentes valores supuestos de a y b , así como diferentes posiciones supuestas del centro y diferentes orientaciones de los ejes con respecto a la Tierra sólida. A partir de finales del siglo XX, las mediciones mejoradas de las órbitas de los satélites y las posiciones de las estrellas han proporcionado determinaciones extremadamente precisas del centro de masa de la Tierra y de su eje de revolución; y esos parámetros se han adoptado también para todos los elipsoides de referencia modernos.
El elipsoide WGS-84 , ampliamente utilizado para cartografía y navegación por satélite , tiene una f cercana a 1/300 (más precisamente, 1/298.257223563, por definición), correspondiendo a una diferencia entre los semiejes mayor y menor de aproximadamente 21 km (13 millas) (más precisamente, 21,3846857548205 km). En comparación, la Luna de la Tierra es aún menos elíptica, con un aplanamiento de menos de 1/825, mientras que Júpiter es visiblemente achatado en aproximadamente 1/15 y una de las lunas triaxiales de Saturno , Telesto , está muy aplanada, con f entre 1/3 y 1/2 (lo que significa que el diámetro polar está entre el 50% y el 67% del ecuatorial.
La medición del arco es el método histórico para determinar el elipsoide. Dos mediciones de arco meridiano permitirán derivar dos parámetros necesarios para especificar un elipsoide de referencia . Por ejemplo, si hipotéticamente las mediciones se realizaran exactamente sobre el plano del ecuador y cualquiera de los polos geográficos, los radios de curvatura así obtenidos estarían relacionados con el radio ecuatorial y el radio polar, respectivamente a y b (ver: Radio polar y ecuatorial de la Tierra). curvatura ). Entonces, el aplanamiento se desprendería fácilmente de su definición:
Para dos mediciones de arco, cada una en latitudes promedio arbitrarias , la solución comienza con una aproximación inicial para el radio ecuatorial y para el aplanamiento . El radio de curvatura meridional teórico de la Tierra se puede calcular en la latitud de cada medida de arco como:
dónde . [6] Entonces las discrepancias entre los valores empíricos y teóricos del radio de curvatura se pueden formar como . Finalmente, las correcciones para el radio ecuatorial inicial y el aplanamiento se pueden resolver mediante un sistema de ecuaciones lineales formulado mediante linealización de : [7]
donde las derivadas parciales son: [7]
Los arcos más largos con múltiples determinaciones de latitudes intermedias pueden determinar completamente el elipsoide que mejor se ajuste a la región estudiada. En la práctica, se utilizan múltiples mediciones de arco para determinar los parámetros del elipsoide mediante el método de ajuste de mínimos cuadrados . Los parámetros determinados suelen ser el semieje mayor, y cualquiera de los semieje menor, el aplanamiento o la excentricidad.
Los efectos sistemáticos a escala regional observados en las mediciones del radio de curvatura reflejan la ondulación del geoide y la desviación de la vertical , como se explora en la nivelación astrogeodésica .
La gravimetría es otra técnica para determinar el aplanamiento de la Tierra, según el teorema de Clairaut .
La geodesia moderna ya no utiliza simples arcos de meridianos ni redes de triangulación terrestre, sino los métodos de la geodesia por satélite , especialmente la gravimetría por satélite .
Las coordenadas geodésicas son un tipo de sistema de coordenadas ortogonales curvilíneas utilizadas en geodesia a partir de un elipsoide de referencia . Incluyen la latitud geodésica (norte/sur) ϕ , la longitud (este/oeste) λ y la altura elipsoidal h (también conocida como altura geodésica [8] ).
La tríada también se conoce como coordenadas elipsoidales de la Tierra [9] (no confundir con coordenadas elipsoidales-armónicas o coordenadas elipsoidales ).
Los modelos de elipsoides de referencia que se enumeran a continuación han tenido utilidad en trabajos geodésicos y muchos todavía están en uso. Los elipsoides más antiguos reciben el nombre del individuo que los obtuvo y se indica el año de desarrollo. En 1887, el topógrafo inglés coronel Alexander Ross Clarke CB FRS RE recibió la Medalla de Oro de la Royal Society por su trabajo en la determinación de la figura de la Tierra. El elipsoide internacional fue desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que lo recomendó para uso internacional.
En la reunión de 1967 de la IUGG celebrada en Lucerna, Suiza, se recomendó la adopción del elipsoide denominado GRS-67 ( Sistema de Referencia Geodésica de 1967). No se recomendó el nuevo elipsoide para reemplazar al Elipsoide Internacional (1924), pero se recomendó su uso cuando se requiere un mayor grado de precisión. Pasó a formar parte del GRS-67, que fue aprobado y adoptado en la reunión de 1971 de la IUGG celebrada en Moscú. Se utiliza en Australia para el Datum geodésico australiano y en el Datum sudamericano de 1969.
El GRS-80 (Sistema de Referencia Geodésica de 1980), aprobado y adoptado por la IUGG en su reunión de Canberra, Australia, de 1979, se basa en el radio ecuatorial (semieje mayor del elipsoide de la Tierra) , la masa total , el factor de forma dinámica y la velocidad angular. de rotación , haciendo del aplanamiento inverso una cantidad derivada. La mínima diferencia que se ve entre GRS-80 y WGS-84 resulta de un truncamiento involuntario en las constantes definitorias de este último: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherirse estrechamente al GRS-80, incidentalmente el aplanamiento derivado del WGS-84 resultó ser difieren ligeramente del aplanamiento GRS-80 porque el coeficiente gravitacional armónico zonal de segundo grado normalizado, que se derivó del valor GRS-80 para , se truncó a ocho dígitos significativos en el proceso de normalización. [10]
Un modelo elipsoidal describe sólo la geometría del elipsoide y una fórmula de campo de gravedad normal que la acompaña. Comúnmente un modelo elipsoidal es parte de un datum geodésico más amplio . Por ejemplo, el antiguo ED-50 ( European Datum 1950 ) está basado en el Elipsoide Internacional o de Hayford . WGS-84 es peculiar porque se utiliza el mismo nombre tanto para el sistema de referencia geodésico completo como para su modelo elipsoidal componente. Sin embargo, los dos conceptos (modelo elipsoidal y sistema de referencia geodésico) siguen siendo distintos.
Tenga en cuenta que el mismo elipsoide puede recibir diferentes nombres. Es mejor mencionar las constantes definitorias para una identificación inequívoca.
