Plimpton 322 es una tablilla de arcilla babilónica , notable por contener un ejemplo de matemáticas babilónicas . Tiene el número 322 en la Colección GA Plimpton de la Universidad de Columbia . [1] Esta tablilla, que se cree que fue escrita alrededor de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en la escritura cuneiforme de la época.
En esta tabla se enumeran dos de los tres números que forman lo que ahora se denominan ternas pitagóricas , es decir, los números enteros a , b y c que satisfacen a 2 + b 2 = c 2 . Desde una perspectiva moderna, un método para construir dichas ternas es un logro temprano significativo, conocido mucho antes de que los matemáticos griegos e indios descubrieran soluciones a este problema.
Se ha generado un importante debate académico sobre la naturaleza y el propósito de la tablilla. Para conocer los tratamientos populares de esta tablilla, véase Robson (2002), ganador del premio Lester R. Ford por la excelencia expositiva en matemáticas, o, más brevemente, Conway & Guy (1996). Robson (2001) es un análisis más detallado y técnico de la interpretación de los números de la tablilla, con una extensa bibliografía.
Plimpton 322 está parcialmente rota, mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de grosor. El editor neoyorquino George Arthur Plimpton compró la tablilla a un comerciante de arqueología, Edgar J. Banks , alrededor de 1922, y la legó con el resto de su colección a la Universidad de Columbia a mediados de la década de 1930. Según Banks, la tablilla procedía de Senkereh, un yacimiento en el sur de Irak que corresponde a la antigua ciudad de Larsa . [2]
Se cree que la tablilla fue escrita alrededor de 1800 a. C. (usando la cronología media ), [3] basándose en parte en el estilo de escritura a mano utilizado para su escritura cuneiforme : Robson (2002) escribe que esta escritura "es típica de los documentos del sur de Irak de hace 4000-3500 años". Más específicamente, basándose en las similitudes de formato con otras tablillas de Larsa que tienen fechas explícitas escritas en ellas, Plimpton 322 bien podría ser del período 1822-1784 a. C. [4] Robson señala que Plimpton 322 fue escrita en el mismo formato que otros documentos administrativos, en lugar de matemáticos, del período. [5]
El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica . La cuarta columna es sólo un número de fila, en orden del 1 al 15. La segunda y tercera columnas son completamente visibles en la tablilla superviviente. Sin embargo, el borde de la primera columna se ha roto, y hay dos extrapolaciones consistentes sobre lo que podrían ser los dígitos faltantes; estas interpretaciones difieren sólo en si cada número comienza o no con un dígito adicional igual a 1.
Con las diferentes extrapolaciones mostradas entre paréntesis, las partes dañadas de la primera y cuarta columnas cuyo contenido se supone se muestran en cursiva y seis errores presuntos se muestran en negrita junto con las correcciones generalmente propuestas entre corchetes debajo, estos números son
Se muestran dos posibles alternativas para la corrección en la fila 15: o bien 53 en la tercera columna debe reemplazarse con el doble de su valor, 146, o bien 56 en la segunda columna debe reemplazarse con la mitad de su valor, 28.
Es posible que hubiera columnas adicionales en la parte rota de la tablilla a la izquierda de estas columnas. La notación sexagesimal babilónica no especificaba la potencia de 60 que multiplicaba cada número, lo que hace que la interpretación de estos números sea ambigua. Los números de la segunda y tercera columnas generalmente se toman como números enteros. Los números de la primera columna solo se pueden entender como fracciones, y sus valores se encuentran todos entre 1 y 2 (suponiendo que el 1 inicial esté presente; se encuentran entre 0 y 1 si está ausente).
Estas fracciones son exactas, no truncamientos ni aproximaciones redondeadas. La traducción decimal de la tablilla bajo estos supuestos se muestra a continuación. La mayoría de las fracciones sexagesimales exactas en la primera columna no tienen expansiones decimales terminales y se han redondeado a siete decimales.
* Como antes, una posible corrección alternativa para la fila 15 tiene 28 en la segunda columna y 53 en la tercera. Las entradas en la segunda y tercera columnas de la fila 11, a diferencia de las de todas las demás filas excepto posiblemente la fila 15, contienen un factor común. Es posible que 45 y 1 15 se entiendan como 3/4 y 5/4, lo que es consistente con la escala estándar (0,75,1,1,25) del conocido triángulo rectángulo (3,4,5) en las matemáticas babilónicas.
En cada fila, el número de la segunda columna se puede interpretar como el lado más corto de un triángulo rectángulo, y el número de la tercera columna se puede interpretar como la hipotenusa del triángulo. En todos los casos, el lado más largo también es un entero, lo que hace que y sean dos elementos de una terna pitagórica . El número de la primera columna es la fracción (si no se incluye el "1") o (si se incluye el "1"). En todos los casos, el lado largo es un número regular , es decir, un divisor entero de una potencia de 60 o, equivalentemente, un producto de potencias de 2, 3 y 5. Es por esta razón que los números de la primera columna son exactos, ya que dividir un entero por un número regular produce un número sexagesimal terminal. Por ejemplo, la línea 1 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto 119 y la hipotenusa 169, lo que implica el lado largo , que es un número regular (2 3 ·3·5). El número en la columna 1 es (169/120) 2 o (119/120) 2 .
Cada columna tiene un encabezado, escrito en el idioma acadio . Algunas palabras son logogramas sumerios , que los lectores habrían entendido como palabras acadias. Estos incluyen ÍB.SI 8 , para el acadio mithartum ("cuadrado"), MU.BI.IM, para el acadio šumšu ("su línea"), y SAG, para el acadio pūtum ("ancho"). Cada número en la cuarta columna está precedido por el sumerograma KI, que, según Neugebauer y Sachs (1945), "les da el carácter de números ordinales". En la tabla sexagesimal anterior, las palabras y partes de palabras en cursiva representan porciones del texto que son ilegibles debido a daños en la tablilla o ilegibilidad, y que han sido reconstruidas por académicos modernos. Los términos ÍB.SI 8 y takiltum se han dejado sin traducir ya que existe un debate en curso sobre su significado preciso.
Los encabezados de las columnas 2 y 3 podrían traducirse como "cuadrado del ancho" y "cuadrado de la diagonal", pero Robson (2001) (pp. 173-174) sostiene que el término ÍB.SI 8 puede referirse tanto al área del cuadrado como al lado del cuadrado, y que en este caso debería entenderse como "'lado del cuadrado' o quizás 'raíz cuadrada'". De manera similar, Britton, Proust y Shnider (2011) (p. 526) observan que el término aparece a menudo en los problemas donde completar el cuadrado se utiliza para resolver lo que ahora se entendería como ecuaciones cuadráticas, en cuyo contexto se refiere al lado del cuadrado completado, pero que también podría servir para indicar "que se refiere a una dimensión lineal o un segmento de línea". Neugebauer y Sachs (1945) (pp. 35, 39), por otro lado, exhiben casos donde el término se refiere a resultados de una amplia variedad de operaciones matemáticas diferentes y proponen la traducción "'número de resolución del ancho (o la diagonal)'". De manera similar, Friberg (1981) (p. 300) propone la traducción "raíz".
En la columna 1, las primeras partes de ambas líneas del encabezado están dañadas. Neugebauer y Sachs (1945) reconstruyeron la primera palabra como takilti (una forma de takiltum ), una lectura que ha sido aceptada por la mayoría de los investigadores posteriores. El encabezado se consideró generalmente intraducible hasta que Robson (2001) propuso insertar un 1 en la parte rota de la línea 2 y logró descifrar la palabra final ilegible, produciendo la lectura que se da en la tabla anterior. Basándose en un análisis lingüístico detallado, Robson propone traducir takiltum como "cuadrado de sujeción". [6]
Britton, Proust y Shnider (2011) analizan las relativamente pocas apariciones conocidas de la palabra en las matemáticas babilónicas antiguas. Si bien señalan que, en casi todos los casos, se refiere a la dimensión lineal del cuadrado auxiliar agregado a una figura en el proceso de completar el cuadrado, y es la cantidad restada en el último paso de la resolución de una ecuación cuadrática, coinciden con Robson en que en este caso debe entenderse como una referencia al área de un cuadrado. Friberg (2007), por otro lado, propone que en la parte rota del encabezado takiltum puede haber estado precedido por a-ša ("área"). Ahora existe un acuerdo generalizado de que el encabezado describe la relación entre los cuadrados del ancho (lado corto) y la diagonal de un rectángulo con longitud (lado largo) 1: restar ("arrancar") el área 1 del cuadrado en la diagonal deja el área del cuadrado en el ancho.
Como se indica en la tabla anterior, la mayoría de los investigadores creen que la tablilla contiene seis errores y, con excepción de las dos posibles correcciones de la fila 15, existe un amplio consenso sobre cuáles deberían ser los valores correctos. Hay menos consenso sobre cómo se produjeron los errores y qué implican en relación con el método de cálculo de la tablilla. A continuación se presenta un resumen de los errores.
Los errores de la fila 2, columna 1 (no dejar espacios entre 50 y 6 para los 1 y 10 ausentes) y la fila 9, columna 2 (escribir 9 en lugar de 8) se consideran universalmente errores menores al copiar de una tablilla de trabajo (o posiblemente de una copia anterior de la tabla). El error de la fila 8, columna 1 (reemplazar los dos dígitos sexagesimales 45 14 por su suma, 59) parece no haber sido notado en algunos de los primeros documentos sobre la tablilla. A veces se ha considerado (por ejemplo, en Robson (2001)) como un simple error cometido por el escriba en el proceso de copiar de una tablilla de trabajo.
Sin embargo, como se analiza en Britton, Proust y Shnider (2011), varios investigadores han propuesto que este error se explica de manera mucho más plausible como un error en el cálculo previo al número, por ejemplo, el escriba no notó un cero intermedio (espacio en blanco que representa un dígito cero) al realizar una multiplicación. Esta explicación del error es compatible con las dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla (véase más abajo).
Los tres errores restantes tienen implicaciones para la manera en que se calculó la tablilla. El número 7 12 1 en la fila 13, columna 2, es el cuadrado del valor correcto, 2 41. Suponiendo que las longitudes en la columna 2 se calcularon tomando la raíz cuadrada del área del cuadrado correspondiente, o que la longitud y el área se calcularon juntas, este error podría explicarse ya sea por no haber tomado la raíz cuadrada o por haber copiado el número equivocado de una tablilla de trabajo. [7]
Si el error en la fila 15 se entiende como haber escrito 56 en lugar de 28 en la columna 2, entonces el error puede explicarse como resultado de la aplicación incorrecta del algoritmo de la parte final, que es necesario si la tabla se calculó mediante pares recíprocos como se describe a continuación. Este error equivale a aplicar un procedimiento iterativo para eliminar factores regulares comunes a los números de las columnas 2 y 3 un número incorrecto de veces en una de las columnas. [8]
El número de la fila 2, columna 3 no tiene una relación obvia con el número correcto, y todas las explicaciones de cómo se obtuvo este número postulan múltiples errores. Bruins (1957) observó que 3 12 01 podría haber sido una simple copia incorrecta de 3 13. Si este fuera el caso, entonces la explicación para el número incorrecto 3 13 es similar a la explicación del error en la fila 15. [9]
Una excepción al consenso general es Friberg (2007), donde, alejándose del análisis anterior del mismo autor (Friberg (1981)), se plantea la hipótesis de que los números en la fila 15 no son erróneos, sino que se escribieron como se pretendía, y que el único error en la fila 2, columna 3 fue escribir incorrectamente 3 13 como 3 12 01. Bajo esta hipótesis, es necesario reinterpretar las columnas 2 y 3 como "los núcleos factorizados del frente y la diagonal". El núcleo factorizado de un número es el número al que se le han eliminado los factores regulares cuadrados perfectos; el cálculo del núcleo factorizado era parte del proceso de cálculo de raíces cuadradas en las matemáticas de la antigua Babilonia. Según Friberg, "nunca fue la intención del autor de Plimpton 322 reducir su serie de triples diagonales normalizados (con longitud igual a 1 en cada triple) a una serie correspondiente de triples diagonales primitivos (con el frente, la longitud y la diagonal iguales a números enteros sin factores comunes)". [10]
Los investigadores aún difieren en cuanto a cómo se generaron estos números. Buck (1980) y Robson (2001) identifican dos propuestas principales para el método de construcción de la tabla: el método de generación de pares, propuesto en Neugebauer y Sachs (1945), y el método de pares recíprocos, propuesto por Bruins [11] y desarrollado por Voils [12] , Schmidt (1980) y Friberg [13] .
Para utilizar la terminología moderna, si p y q son números naturales tales que p > q entonces ( p 2 − q 2 , 2 pq , p 2 + q 2 ) forma una terna pitagórica. La terna es primitiva, es decir, los tres lados del triángulo no tienen ningún factor común, si p y q son coprimos y no ambos impares. Neugebauer y Sachs proponen que la tablilla se generó eligiendo p y q como números regulares coprimos (pero ambos pueden ser impares, ver Fila 15) y calculando d = p 2 + q 2 , s = p 2 − q 2 y l = 2 pq (de modo que l también es un número regular).
Por ejemplo, la línea 1 se generaría estableciendo p = 12 y q = 5. Buck y Robson señalan que la presencia de la Columna 1 es misteriosa en esta propuesta, ya que no desempeña ningún papel en la construcción, y que la propuesta no explica por qué las filas de la tabla están ordenadas como están, en lugar de, digamos, de acuerdo con el valor de o , que, bajo esta hipótesis, podrían haber estado enumerados en las columnas a la izquierda en la parte rota de la tablilla. Robson también argumenta que la propuesta no explica cómo los errores en la tabla podrían haber surgido de manera plausible y no está en consonancia con la cultura matemática de la época.
En la propuesta del par recíproco, el punto de partida es una única fracción sexagesimal regular x junto con su recíproco, 1/ x . "Fracción sexagesimal regular" significa que x es un producto de potencias (posiblemente negativas) de 2, 3 y 5. Las cantidades ( x −1/ x )/2, 1 y ( x +1/ x )/2 forman entonces lo que ahora se llamaría una terna pitagórica racional. Además, los tres lados tienen representaciones sexagesimales finitas.
Los defensores de esta propuesta señalan que los pares recíprocos regulares ( x ,1/ x ) aparecen en un problema diferente de aproximadamente el mismo tiempo y lugar que Plimpton 322, a saber, el problema de encontrar los lados de un rectángulo de área 1 cuyo lado largo excede a su lado corto por una longitud dada c (que hoy en día podría calcularse como las soluciones de la ecuación cuadrática ). Robson (2002) analiza la tablilla, YBC 6967, en la que se resuelve dicho problema calculando una secuencia de valores intermedios v 1 = c /2, v 2 = v 1 2 , v 3 = 1 + v 2 , y v 4 = v 3 1/2 , a partir de los cuales se puede calcular x = v 4 + v 1 y 1/ x = v 4 − v 1 .
Si bien la necesidad de calcular la raíz cuadrada de v 3 dará como resultado, en general, respuestas que no tienen representaciones sexagesimales finitas, el problema en YBC 6967 fue planteado (es decir, el valor de c fue elegido adecuadamente) para dar una buena respuesta. Este es, de hecho, el origen de la especificación anterior de que x sea una fracción sexagesimal regular: elegir x de esta manera asegura que tanto x como 1/ x tengan representaciones sexagesimales finitas. Para diseñar un problema con una buena respuesta, el planteador del problema simplemente necesitaría elegir una x de ese tipo y dejar que el dato inicial c sea igual a x − 1/ x . Como efecto secundario, esto produce una terna pitagórica racional, con catetos v 1 y 1 e hipotenusa v 4 .
Cabe señalar que el problema de YBC 6967 resuelve en realidad la ecuación , lo que implica reemplazar la expresión para v 3 anterior por v 3 = 60 + v 2 . El efecto secundario de obtener un triple racional se pierde, ya que los lados se convierten en v 1 , y v 4 . En esta propuesta debe asumirse que los babilonios estaban familiarizados con ambas variantes del problema.
Robson sostiene que las columnas de Plimpton 322 pueden interpretarse como:
En esta interpretación, x y 1/ x (o posiblemente v 1 y v 4 ) habrían aparecido en la tablilla en la porción rota a la izquierda de la primera columna. La presencia de la Columna 1 se explica por lo tanto como un paso intermedio en el cálculo, y el orden de las filas se realiza por valores descendentes de x (o v 1 ). El multiplicador a utilizado para calcular los valores en las columnas 2 y 3, que puede considerarse como un reescalamiento de las longitudes de los lados, surge de la aplicación del "algoritmo de la parte final", en el que ambos valores se multiplican repetidamente por el recíproco de cualquier factor regular común a los últimos dígitos sexagesimales de ambos, hasta que no quede ningún factor común. [14]
Como se ha comentado anteriormente, todos los errores de la tabla tienen explicaciones naturales en la propuesta de pares recíprocos. Por otra parte, Robson señala que el papel de las columnas 2 y 3 y la necesidad del multiplicador a siguen sin explicarse en esta propuesta, y sugiere que el objetivo del autor de la tabla era proporcionar parámetros no para problemas cuadráticos del tipo resuelto en YBC 6967, sino más bien "para algún tipo de problemas de triángulos rectángulos". También señala que el método utilizado para generar la tabla y el uso para el que estaba destinada no tienen por qué ser los mismos. [15]
Un fuerte respaldo adicional a la idea de que los números de la tablilla se generaron utilizando pares recíprocos proviene de dos tablillas, MS 3052 y MS 3971, de la Colección Schøyen . Jöran Friberg tradujo y analizó las dos tablillas y descubrió que ambas contienen ejemplos del cálculo de las longitudes de la diagonal y los lados de un rectángulo utilizando pares recíprocos como punto de partida. Las dos tablillas son babilónicas antiguas, de aproximadamente la misma edad que Plimpton 322, y se cree que ambas provienen de Uruk, cerca de Larsa. [16]
En Britton, Proust y Shnider (2011) se realizó un análisis más detallado de las dos tablillas. El MS 3971 contiene una lista de cinco problemas, el tercero de los cuales comienza con "Para que puedas ver cinco diagonales" y concluye con "cinco diagonales". Los datos dados para cada una de las cinco partes del problema consisten en un par recíproco. Para cada parte se calculan las longitudes tanto de la diagonal como del ancho (lado corto) de un rectángulo. La longitud (lado largo) no se indica, pero el cálculo implica que se toma como 1. En términos modernos, el cálculo se realiza de la siguiente manera: dados x y 1/ x , primero se calcula ( x +1/ x )/2, la diagonal. Luego se calcula
el ancho. Debido a que la parte de la tablilla que contiene la primera de las cinco partes está dañada, se ha perdido el enunciado del problema para esta parte, aparte de los rastros de los datos iniciales, y la solución. Las otras cuatro partes están, en su mayor parte, intactas y todas contienen un texto muy similar. La razón para tomar la diagonal como la mitad de la suma del par recíproco no se indica en el texto intacto. El cálculo del ancho es equivalente a ( x −1/ x )/2, pero no se ha utilizado este método de cálculo más directo, habiéndose preferido la regla que relaciona el cuadrado de la diagonal con la suma de los cuadrados de los lados.
El texto del segundo problema de MS 3052 también ha sido muy dañado, pero lo que queda está estructurado de manera similar a las cinco partes de MS 3971, Problema 3. El problema contiene una figura que, según Friberg, es probablemente un "rectángulo sin diagonales". [17] Britton, Proust y Shnider (2011) enfatizan que las partes preservadas del texto establecen explícitamente que la longitud es 1 y calculan explícitamente el 1 que se resta del cuadrado de la diagonal en el proceso de calcular el ancho como el cuadrado de la longitud. Los datos iniciales y el ancho y la diagonal calculados para los seis problemas en las dos tablillas se dan en la tabla siguiente.
Los parámetros del § 3a del manuscrito 3971 son inciertos debido a daños en la tablilla. Los parámetros del problema del manuscrito 3052 corresponden a un reescalamiento del triángulo rectángulo estándar (3,4,5), que aparece como la fila 11 de Plimpton 322. Ninguno de los parámetros de los problemas del manuscrito 3971 coincide con ninguna de las filas de Plimpton 322. Como se analiza a continuación, todas las filas de Plimpton 322 tienen x ≥9/5, mientras que todos los problemas del manuscrito 3971 tienen x <9/5. Sin embargo, los parámetros del manuscrito 3971 corresponden a las filas de la extensión propuesta por De Solla Price de la tabla de Plimpton 322, que también se analiza a continuación.
Cabe destacar que el papel del par recíproco es diferente en el problema de YBC 6967 que en MS 3052 y MS 3971 (y por extensión, en Plimpton 322). En el problema de YBC 6967, los miembros del par recíproco son las longitudes de los lados de un rectángulo de área 1. El significado geométrico de x y 1/ x no se indica en el texto sobreviviente de los problemas de MS 3052 y MS 3971. El objetivo parece haber sido aplicar un procedimiento conocido para producir rectángulos con un ancho y una diagonal sexagesimales finitos. [18] También debe señalarse que el algoritmo del punto final no se utilizó para reescalar las longitudes de los lados en estos problemas.
La cantidad x en la propuesta del par recíproco corresponde a la relación p / q en la propuesta del par generador. De hecho, si bien las dos propuestas difieren en el método de cálculo, hay poca diferencia matemática entre los resultados, ya que ambas producen los mismos triples, aparte de un factor general de 2 en el caso en que p y q sean impares. (Desafortunadamente, el único lugar donde esto ocurre en la tableta es en la fila 15, que contiene un error y, por lo tanto, no se puede usar para distinguir entre las propuestas). Los defensores de la propuesta del par recíproco difieren en si x se calculó a partir de un p y q subyacente , pero solo con las combinaciones p / q y q / p utilizadas en los cálculos de la tableta [19] o si x se obtuvo directamente de otras fuentes, como tablas recíprocas. [20]
Una dificultad con la última hipótesis es que algunos de los valores necesarios de x o 1/ x son números sexagesimales de cuatro cifras, y no se conocen tablas recíprocas de cuatro cifras. De hecho, Neugebauer y Sachs habían señalado la posibilidad de utilizar pares recíprocos en su trabajo original, y la rechazaron por esta razón. Robson, sin embargo, sostiene que las fuentes conocidas y los métodos computacionales del período babilónico antiguo pueden explicar todos los valores de x utilizados.
Neugebauer y Sachs señalan que las dimensiones de los triángulos en la tablilla varían desde las de un triángulo rectángulo casi isósceles (con un cateto corto, 119, casi igual al cateto largo, 120) hasta las de un triángulo rectángulo con ángulos agudos cercanos a 30° y 60°, y que el ángulo disminuye de manera bastante uniforme en pasos de aproximadamente 1°. Sugieren que los pares p , q fueron elegidos deliberadamente con este objetivo en mente.
De Solla Price (1964) observó, trabajando dentro del marco de pares generadores, que cada fila de la tabla está generada por un q que satisface 1 ≤ q <60, es decir, que q es siempre un número sexagesimal de un solo dígito. La razón p / q toma su valor más grande, 12/5=2,4, en la fila 1 de la tabla, y por lo tanto siempre es menor que , una condición que garantiza que p 2 − q 2 sea el cateto largo y 2 pq sea el cateto corto del triángulo y que, en términos modernos, implica que el ángulo opuesto al cateto de longitud p 2 − q 2 sea menor que 45°.
La proporción es mínima en la fila 15, donde p / q = 9/5 para un ángulo de aproximadamente 31,9°. Además, hay exactamente 15 proporciones regulares entre 9/5 y 12/5 inclusive para las que q es un número sexagesimal de un solo dígito, y estas se corresponden de forma unívoca con las filas de la tablilla. También señala que el espaciado uniforme de los números podría no haber sido intencional: también podría haber surgido simplemente de la densidad de proporciones de números regulares en el rango de números considerados en la tabla.
De Solla Price sostuvo que el límite inferior natural para la relación sería 1, que corresponde a un ángulo de 0°. Encontró que, manteniendo el requisito de que q sea un número sexagesimal de un solo dígito, hay 23 pares además de los representados por la tablilla, para un total de 38 pares. Señala que la puntuación vertical entre las columnas de la tablilla se ha continuado en la parte posterior, lo que sugiere que el escriba podría haber tenido la intención de extender la tabla. Afirma que el espacio disponible acomodaría correctamente 23 filas adicionales. Los defensores de la propuesta de pares recíprocos también han defendido este esquema. [21]
Robson (2001) no aborda directamente esta propuesta, pero sí está de acuerdo en que la tabla no estaba "completa". Señala que en la propuesta de pares recíprocos, cada x representada en la tablilla es, como máximo, un número sexagesimal de cuatro cifras con, como máximo, un recíproco de cuatro cifras, y que el número total de cifras en x y 1/ x juntos nunca es mayor que 7. Si se toman estas propiedades como requisitos, hay exactamente tres valores de x "que faltan" en la tablilla, que, según ella, podrían haberse omitido porque son poco atractivos en varios sentidos. Admite la naturaleza "sorprendentemente ad hoc " de este esquema, que sirve principalmente como un recurso retórico para criticar todos los intentos de adivinar los criterios de selección del autor de la tablilla. [22]
Otto E. Neugebauer (1957) defendió una interpretación basada en la teoría de números , pero también creía que las entradas de la tabla eran el resultado de un proceso de selección deliberado destinado a lograr una disminución bastante regular de los valores de la Columna 1 dentro de algunos límites específicos.
Buck (1980) y Robson (2002) mencionan la existencia de una explicación trigonométrica , que Robson atribuye a los autores de varias historias generales y obras inéditas, pero que puede derivar de la observación de Neugebauer y Sachs (1945) de que los valores de la primera columna se pueden interpretar como la secante o tangente al cuadrado (dependiendo del dígito faltante) del ángulo opuesto al lado corto del triángulo rectángulo descrito por cada fila, y las filas se ordenan por estos ángulos en incrementos de aproximadamente un grado. [23]
En otras palabras, si tomamos el número de la primera columna, descontando el (1), y derivamos su raíz cuadrada, y luego lo dividimos por el número de la segunda columna, el resultado será la longitud del lado largo del triángulo. En consecuencia, la raíz cuadrada del número (menos el uno) de la primera columna es lo que hoy llamaríamos la tangente del ángulo opuesto al lado corto. Si se incluye el (1), la raíz cuadrada de ese número es la secante .
En contraposición con estas explicaciones anteriores de la tablilla, Robson (2002) afirma que la evidencia histórica, cultural y lingüística revela que es más probable que la tablilla se haya construido a partir de "una lista de pares recíprocos regulares ". [24] Robson argumenta sobre bases lingüísticas que la teoría trigonométrica es "conceptualmente anacrónica": depende de demasiadas otras ideas que no están presentes en el registro de las matemáticas babilónicas de esa época. En 2003, la MAA le otorgó a Robson el premio Lester R. Ford por su trabajo, afirmando que es "poco probable que el autor de Plimpton 322 fuera un matemático profesional o aficionado. Es más probable que haya sido un profesor y Plimpton 322 un conjunto de ejercicios". [25] Robson adopta un enfoque que en términos modernos se caracterizaría como algebraico , aunque lo describe en términos geométricos concretos y argumenta que los babilonios también habrían interpretado este enfoque geométricamente.
Por lo tanto, la tablilla puede interpretarse como una secuencia de ejercicios resueltos. Utiliza métodos matemáticos típicos de las escuelas de escribas de la época y está escrita en un formato de documento utilizado por los administradores de ese período. [26] Por lo tanto, Robson sostiene que el autor probablemente era un escriba, un burócrata de Larsa. [27] La configuración matemática repetitiva de la tablilla y de tablillas similares como la BM 80209 habría sido útil para permitir que un profesor planteara problemas en el mismo formato pero con datos diferentes.
![{\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d3b25ad6aaaf2f3ed5d6e9805646cd8f0d5954)
