El Proyecto Cunningham es un esfuerzo colaborativo iniciado en 1925 para factorizar números de la forma b n ± 1 para b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 y n grande . El proyecto lleva el nombre de Allan Joseph Champneys Cunningham , quien publicó la primera versión de la tabla junto con Herbert J. Woodall . [1] Hay tres versiones impresas de la tabla, la más reciente publicada en 2002, [2] así como una versión en línea de Samuel Wagstaff . [3]
Los límites actuales de los exponentes son:
A partir de un número de Cunningham se pueden derivar dos tipos de factores sin tener que utilizar un algoritmo de factorización : factores algebraicos de números binomiales (por ejemplo, diferencia de dos cuadrados y suma de dos cubos ), que dependen del exponente, y factores aurifeuilleanos , que dependen de tanto la base como el exponente.
Del álgebra elemental,
para todo k , y
para k impar . Además, b 2 n − 1 = ( b n − 1)( b n + 1). Así, cuando m divide a n , b m − 1 y b m + 1 son factores de b n − 1 si el cociente de n sobre m es par ; sólo el primer número es factor si el cociente es impar. b m + 1 es un factor de b n − 1, si m divide a n y el cociente es impar.
De hecho,
y
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Cuando el número tiene una forma particular (la expresión exacta varía según la base), se puede utilizar la factorización aurifeuilleana, que da un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores aurifeuilleanos para las bases del proyecto Cunningham como producto de F , L y M : [4]
Sea b = s 2 × k con k cuadrado libre , si se cumple una de las condiciones, entonces tenga la factorización aurifeuilleana.
Una vez que se eliminan los factores algebraicos y aurifeuilleanos, los otros factores de b n ± 1 son siempre de la forma 2 kn + 1, ya que los factores de b n − 1 son todos factores de , y los factores de b n + 1 son todos factores de . Cuando n es primo , los factores algebraicos y aurifeuilleanos no son posibles, excepto los factores triviales ( b − 1 para b n − 1 y b + 1 para b n + 1). Para los números de Mersenne , los factores triviales no son posibles para n primo , por lo que todos los factores son de la forma 2 kn + 1. En general, todos los factores de ( b n − 1) /( b − 1) son de la forma 2 kn + 1, donde b ≥ 2 y n es primo, excepto cuando n divide b − 1, en cuyo caso ( b n − 1)/( b − 1) es divisible por n mismo.
Los números de Cunningham de la forma b n − 1 sólo pueden ser primos si b = 2 y n es primo, suponiendo que n ≥ 2; Estos son los números de Mersenne. Los números de la forma b n + 1 sólo pueden ser primos si b es par y n es una potencia de 2 , suponiendo nuevamente que n ≥ 2; estos son los números de Fermat generalizados, que son números de Fermat cuando b = 2. Cualquier factor de un número de Fermat 2 2 n + 1 tiene la forma k 2 n +2 + 1.
b n − 1 se denota como b , n −. De manera similar, b n + 1 se denota como b , n +. Cuando se trata de números de la forma requerida para la factorización aurifeuilleana, b , n L y b , n M se utilizan para denotar L y M en los productos anteriores . [5] Las referencias a b , n − y b , n + se refieren al número al que se han eliminado todos los factores algebraicos y aurifeuilleanos. Por ejemplo, los números de Mersenne son de la forma 2, n − y los números de Fermat son de la forma 2,2 n +; el número que Aurifeuille factorizó en 1871 fue el producto de 2,58L y 2,58M.
