Técnica del diagrama de triángulos del espacio-tiempo

En física y matemáticas , la técnica del diagrama de triángulo espacio-temporal (STTD) , también conocida como método Smirnov de separación incompleta de variables , es el método directo del dominio espacio-temporal para el movimiento de ondas electromagnéticas y escalares.

Etapas básicas

1. ( Electromagnetismo ) El sistema de ecuaciones de Maxwell se reduce a una EDP de segundo orden para los componentes del campo, o potenciales, o sus derivadas.
2. Las variables espaciales se separan mediante expansiones convenientes en transformadas en serie y/o integrales, excepto una que permanece limitada por la variable tiempo, lo que da como resultado una EDP de tipo hiperbólico .
3. La ecuación diferencial parcial hiperbólica resultante y las condiciones iniciales transformadas simultáneamente componen un problema que se resuelve utilizando la fórmula integral de Riemann-Volterra. Esto produce la solución genérica expresada a través de una integral doble sobre un dominio triangular en el espacio de coordenadas acotadas (tiempo). Luego, este dominio se reemplaza por uno más complicado pero más pequeño, en el que el integrante es esencialmente distinto de cero, que se encuentra utilizando un procedimiento estrictamente formalizado que involucra diagramas triangulares de espacio-tiempo específicos (ver, por ejemplo, Refs. ^{[1] [2] [3]} ).
4. En la mayoría de los casos las soluciones obtenidas, al ser multiplicadas por funciones conocidas de las variables previamente separadas, dan como resultado expresiones de significado físico claro (modos no estacionarios). En muchos casos, sin embargo, se pueden encontrar soluciones más explícitas sumando los desarrollos o haciendo la transformada integral inversa.

Técnica de función de Green versus STTD

La técnica STTD pertenece al segundo de los dos principales métodos para el tratamiento teórico de las ondas: el dominio de la frecuencia y el dominio directo del espacio-tiempo. El método mejor establecido para las ecuaciones descriptivas no homogéneas (relacionadas con la fuente) del movimiento ondulatorio es el basado en la técnica de la función de Green. ^[4] Para las circunstancias descritas en la Sección 6.4 y el Capítulo 14 de la Electrodinámica Clásica de Jackson , ^[4] se puede reducir al cálculo del campo ondulatorio a través de potenciales retardados (en particular, los potenciales de Liénard–Wiechert ).

A pesar de ciertas similitudes entre los métodos de Green y Riemann-Volterra (en alguna literatura la función de Riemann se llama función de Riemann-Green ^[5] ), su aplicación a los problemas del movimiento ondulatorio da como resultado situaciones distintas:

• Las definiciones tanto de la función de Green como de la solución de Green correspondiente no son únicas, ya que dejan lugar a la adición de una solución arbitraria de la ecuación homogénea; en algunas circunstancias, la elección particular de la función de Green y la solución final se definen por las condiciones de contorno o la plausibilidad y admisibilidad física de las funciones de onda construidas. ^[6] La función de Riemann es una solución de la ecuación homogénea que además debe tomar un cierto valor en las características y, por lo tanto, se define de manera única.
• A diferencia del método de Green, que proporciona una solución particular de la ecuación no homogénea , el método de Riemann-Volterra está relacionado con el problema correspondiente , que comprende la EDP y las condiciones iniciales,

^{[7] [8]} y fue la representación de Riemann-Volterra la que Smirnov utilizó en su Curso de Matemáticas Superiores para demostrar la unicidad de la solución al problema anterior (ver, ^[8] ítem 143).

• En el caso general, la fórmula de Green implica la integración sobre todo el dominio de variación de coordenadas y tiempo, mientras que la integración en la solución de Riemann-Volterra se lleva a cabo dentro de una región triangular limitada, lo que asegura la acotación del soporte de la solución .
• La causalidad de la solución (única) de Riemann-Volterra se proporciona automáticamente, sin necesidad de recurrir a consideraciones adicionales, como la naturaleza retardada del argumento, la propagación de la onda en cierta dirección, la elección específica de la ruta de integración, etc. (Por lo general, las ecuaciones descriptivas, como la ecuación de onda escalar clásica, poseen la simetría T . Son las condiciones iniciales asimétricas en el tiempo las que definen la flecha del tiempo a través de la limitación del dominio de integración en la fórmula de Riemann a , consulte más en ^[2] y un ejemplo particular que se proporciona a continuación). ${\displaystyle t>0}$
• La función de Green se puede derivar fácilmente del potencial de Liénard-Wiechert de una fuente puntual en movimiento, pero el cálculo concreto de la función de onda, que inevitablemente implica el análisis del argumento retardado, puede convertirse en una tarea bastante complicada a menos que se utilicen algunas técnicas especiales, como el método paramétrico, ^[9]

El enfoque de Riemann-Volterra presenta las mismas o incluso más serias dificultades, especialmente cuando se trata de fuentes de soporte acotado: aquí los límites reales de integración deben definirse a partir del sistema de desigualdades que involucran las variables espacio-temporales y los parámetros del término fuente. Sin embargo, esta definición puede formalizarse estrictamente utilizando los diagramas de triángulos espacio-temporales. Al desempeñar el mismo papel que los diagramas de Feynman en física de partículas, los STTD proporcionan un procedimiento estricto e ilustrativo para la definición de áreas con la misma representación analítica del dominio de integración en el espacio 2D abarcado por la variable espacial no separada y el tiempo.

Desventajas del método

• El método sólo se puede aplicar a problemas que poseen la función de Riemann conocida.
• La aplicación del método y el análisis de los resultados obtenidos requieren un conocimiento más profundo de las funciones especiales de la física matemática (por ejemplo, operar con funciones generalizadas , funciones de Mathieu de diferentes tipos y funciones de Lommel de dos variables) que el método de las funciones de Green.
• En algunos casos las integrales finales requieren consideración especial en los dominios de oscilación rápida de la función de Riemann.

Concretizaciones más importantes

Consideraciones generales

Borisov analizó varios métodos eficientes para escalar problemas electromagnéticos en coordenadas ortogonales en la referencia ^[10] . Las condiciones más importantes de su aplicabilidad son y , donde son los coeficientes métricos (de Lamé) (de modo que el elemento de longitud al cuadrado es ). Cabe destacar que esta condición se cumple para la mayoría de los sistemas de coordenadas prácticamente importantes, incluidos los cartesianos, los cilíndricos de tipo general y los esféricos. ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle h_{3}=1}$ ${\displaystyle \partial _{3}(h_{1}/h_{2})=0}$ ${\displaystyle h_{i},i=1,2,3}$ ${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}dx_{1}^{2}+h_{2}^{2}dx_{2}^{2}+h_{3}^{2}dx_{3}^{2}}$

Para los problemas de movimiento ondulatorio en espacio libre, el método básico de separación de variables espaciales es la aplicación de transformadas integrales, mientras que para los problemas de generación y propagación de ondas en los sistemas guía las variables se separan usualmente utilizando expansiones en términos de las funciones básicas (modos) que cumplen las condiciones de contorno requeridas en la superficie del sistema guía.

Coordenadas cartesianas y cilíndricas

En las coordenadas cilíndricas cartesianas y de tipo general, la separación de las variables espaciales da como resultado el problema de valor inicial para una EDP hiperbólica conocida como ecuación de Klein-Gordon 1D (EGK). ${\displaystyle \left\{x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}=x_{1}(x,y),\;x_{2}=x_{2}(x,y),\;x_{3}=z\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{z}^{2}+k^{2}\right)\psi (\tau ,z)=f(\tau ,z)\\&\psi (\tau ,z)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}$

Aquí la variable tiempo expresada en unidades de longitud utilizando alguna velocidad característica (por ejemplo, la velocidad de la luz o del sonido), es una constante originada a partir de la separación de variables y representa una parte del término fuente en la ecuación de onda inicial que permanece después de la aplicación de los procedimientos de separación de variables (un coeficiente de serie o un resultado de una transformación integral). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(\tau ,z)}$

El problema anterior posee una función de Riemann conocida

${\displaystyle R_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right),}$

donde es la función de Bessel de primer tipo de orden cero. ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$

La STTD más simple que representa un dominio de integración triangular resultó de la fórmula integral de Riemann-Volterra.

Pasando a las variables canónicas se obtiene el diagrama STTD más simple que refleja la aplicación directa del método de Riemann-Volterra, ^{[7] [8]} con el dominio de integración fundamental representado por el triángulo espacio-temporal MPQ (en gris oscuro). ${\displaystyle z,\tau \to \xi ,\eta }$

La rotación del STTD 45° en sentido antihorario produce una forma más común de STTD en el espacio-tiempo convencional . ${\displaystyle z,\tau }$

Para las condiciones iniciales homogéneas la solución (única ^[8] ) del problema viene dada por la fórmula de Riemann

${\displaystyle \psi (\tau ,z)={\frac {1}{2}}\iint \limits _{\triangle MPQ}\,d\tau '\,dz'R(\tau ,z;\tau ',z')f(\tau ',z').}$

La evolución del proceso de onda se puede rastrear utilizando un punto de observación fijo ( ) aumentando sucesivamente la altura del triángulo ( ) o, alternativamente, tomando una "fotografía momentánea" de la función de onda desplazando el triángulo espacio-temporal a lo largo del eje ( ). ${\displaystyle z={\text{const}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tau ={\text{const}}}$

Los STTD más útiles y sofisticados corresponden a fuentes pulsadas cuyo soporte está limitado en el espacio-tiempo. Cada limitación produce modificaciones específicas en el STTD, lo que da como resultado dominios de integración más pequeños y más complicados en los que el integrando es esencialmente distinto de cero. A continuación se ilustran ejemplos de las modificaciones más comunes y sus acciones combinadas.

Limitaciones estáticas del área fuente ^[10]

Acción combinada de limitaciones de diferentes tipos, véanse las referencias ^{[1] [10] [11] [12] [13]} para obtener detalles y ejemplos más complicados .

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas —que en vista de las consideraciones generales debe representarse en la secuencia , asegurando— se pueden escalar problemas para las ondas transversales eléctricas (TE) o transversales magnéticas (TM) utilizando las funciones de Borgnis, los potenciales de Debye o los vectores de Hertz. Separación posterior de las variables angulares mediante la expansión de la función de onda inicial y la fuente ${\displaystyle \left\{x_{1}=\theta ,\;x_{2}=\varphi ,\;x_{3}=r\right\}}$ ${\displaystyle h_{3}=1}$ ${\displaystyle \theta ,\varphi }$ ${\displaystyle \psi \left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$

${\displaystyle \;f\left(\tau ,\theta ,\varphi ,r\right)}$en términos de

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sin m\varphi \\\cos m\varphi \end{array}}\right)P_{n}^{(m)}(\cos \theta ),}$

donde es el polinomio de Legendre asociado de grado y orden , da como resultado el problema de valor inicial para la ecuación hiperbólica de Euler-Poisson-Darboux ^{[3] [10]} ${\displaystyle P_{n}^{(m)}\!\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\partial _{\tau }^{2}-\partial _{r}^{2}+{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\psi _{nm}(\tau ,r)=f_{nm}(\tau ,r)\\&\psi _{nm}(\tau ,r)=0{\text{ for }}\tau <0\end{aligned}}}$

Se sabe que tiene la función de Riemann.

${\displaystyle R(\tau ,r;\tau ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^{2}+{r'}^{2}-(\tau -\tau ')^{2}}{2rr'}}\right),}$

donde es el polinomio de Legendre (ordinario) de grado . ${\displaystyle P_{n}\!\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$

Equivalencia de las soluciones de la función STTD (Riemann) y de la función de Green

La técnica STTD representa una alternativa al método clásico de la función de Green. Debido a la unicidad de la solución al problema de valor inicial en cuestión, ^[8] en el caso particular de condiciones iniciales cero la solución de Riemann proporcionada por la técnica STTD debe coincidir con la convolución de la función de Green causal y el término fuente.

Los dos métodos proporcionan descripciones aparentemente diferentes de la función de onda: por ejemplo, la función de Riemann para el problema de Klein–Gordon es una función de Bessel (que debe integrarse, junto con el término fuente, sobre el área restringida representada por el triángulo fundamental MPQ ) mientras que la función de Green retardada para la ecuación de Klein–Gordon es una transformada de Fourier del término exponencial imaginario (que debe integrarse sobre todo el plano , véase, por ejemplo, la Sec. 3.1. de la Ref. ^[14] ) reducible a ${\displaystyle z',\tau '}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,{\rm {e}}^{ip(z-z')}\int \limits _{-\infty }^{\infty }d\Omega \,{\frac {{\rm {e}}^{i\Omega (\tau -\tau ')}}{\Omega ^{2}-p^{2}-k^{2}}}.}$

Extendiendo la integración con respecto al dominio complejo, utilizando el teorema del residuo ( con los polos elegidos para satisfacer las condiciones de causalidad ) se obtiene ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{1,2}}$ ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\pm {\sqrt {p^{2}+k^{2}+i\varepsilon }}\right)}$

${\displaystyle G_{k}(\tau ,z;\tau ',z')={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }dp\,{\frac {\sin \left((\tau -\tau '){\sqrt {p^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}\cos(p(z-z')).}$

Usando la fórmula 3.876-1 de Gradshteyn y Ryzhik , ^[15]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }dx\,{\frac {\sin(p{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\cos(bx)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\pi }{2}}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}}})&{\text{ for }}&0<b<p\\&0&{\text{ for }}&b>p>0\end{aligned}}\right.\qquad (a>0),}$

La última representación de la función de Green se reduce a la expresión ^[16]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}}\right)h(\tau -\tau '-|z-z'|),}$

en donde 1/2 es el factor de escala de la fórmula de Riemann y la función de Riemann, mientras que la función escalón de Heaviside reduce, para , el área de integración al triángulo fundamental MPQ , haciendo que la solución de la función de Green sea igual a la proporcionada por la técnica STTD. ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot )}$ ${\displaystyle \tau >0}$

Referencias y notas

1. AB Utkin, Ondas localizadas emitidas por fuentes pulsadas: el enfoque de Riemann-Volterra . En: Hugo E. Hernández-Figueroa, Erasmo Recami y Michel Zamboni-Rached (eds.) Ondas no difractantes. Wiley-VCH: Berlín, ISBN  978-3-527-41195-5 , págs. 287–306 (2013)
2. AB Utkin, La técnica de dominio temporal de Riemann-Volterra para guías de ondas: un estudio de caso para geometría elíptica. Wave Motion 49 (2), 347–363 (2012), doi: 10.1016/j.wavemoti.2011.12.001
3. VV Borisov, AV Manankova, AB Utkin, Representación armónica esférica del campo electromagnético producido por un pulso móvil de densidad de corriente, Journal of Physics A: Mathematical and General 29 (15), 4493–4514 (1996), doi: 10.1088/0305-4470/29/15/020
4. JD Jackson, Electrodinámica clásica, 3.ª ed., Wiley, Nueva York (1999)
5. Véase, por ejemplo, GA Korn y TM Korn , Manual matemático para científicos e ingenieros , Courier Dover Publications, Nueva York (2000)
6. Se puede encontrar un análisis exhaustivo de este tema en H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 5.ª ed., World Scientific, Singapur (2009)
7. R. Courant y D. Hilbert, Métodos de física matemática, vol. 2, Wiley, Nueva York (1989)
8. VI Smirnov, Un curso de matemáticas superiores, vol. 4: ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales parciales, Pergamon Press, Oxford (1964)
9. CJ Chapman, La función espiral de Green en acústica y electromagnetismo, Proc. Roy. Soc. A 431 (1881), 157–167 (1990), doi: 10.1098/rspa.1990.0124
10. VV Borisov, Campos electromagnéticos de corrientes transitorias . Editorial de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1996, en ruso)
11. VV Borisov y AB Utkin, El campo electromagnético transitorio producido por un pulso móvil de corriente de línea, Journal of Physics D: Applied Physics 28 (4), 614-622 (1995), doi: 10.1088/0022-3727/28/4/003
12. AB Utkin, Ondas con forma de gota: análogos casuales de soporte finito de ondas con forma de X, J. Opt. Soc. Am. A 29 (4), 457-462 (2012), doi: 10.1364/JOSAA.29.000457
13. AB Utkin, Onda en forma de gota producida por un pulso de corriente macroscópico lineal de longitud finita, IEEE Xplore DD-2013 , ISBN 978-1-4799-1037-3 , 145–150 (2013), doi: 10.1109/DD.2013.6712820 
14. W. Geyi, Una teoría del dominio del tiempo de la guía de ondas, Progress in Electromagnetics Research 59 , 267–297 (2006), doi: 10.2528/PIER05102102
15. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.876." En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8ª ed.). Prensa académica, Inc. pág. 486.ISBN​ 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.
16. Aparentemente, este resultado fue publicado por primera vez por Geyi (2006: 275), simplemente como una forma de simplificar la solución de Green y reducir el dominio de integración.

• VV Borisov, NM Reutova, AB Utkin, Ondas electromagnéticas producidas por un pulso de corriente viajera con relleno de alta frecuencia. Journal of Physics A: Mathematical and General , 38 (10), 2225–2240 (2005), doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012
• V. V. Borisov, Ondas electromagnéticas no estacionarias . Leningrado: Editorial de la Universidad Estatal de Leningrado: Leningrado (1987, en ruso)