Distribución de probabilidad simétrica

Distribución simétrica para distribución de probabilidad continua, específicamente distribución normal estándar, que muestra su perfecta simetría respecto a la media (0).

Una distribución discreta simétrica, específicamente una distribución binomial con 10 ensayos y una probabilidad de éxito de 0,5.

En estadística , una distribución de probabilidad simétrica es una distribución de probabilidad —una asignación de probabilidades a posibles ocurrencias— que no cambia cuando su función de densidad de probabilidad (para distribuciones de probabilidad continuas) o función de masa de probabilidad (para variables aleatorias discretas) se refleja alrededor de una línea vertical en algún valor de la variable aleatoria representada por la distribución. Esta línea vertical es la línea de simetría de la distribución. Por lo tanto, la probabilidad de estar a cualquier distancia dada en un lado del valor sobre el cual ocurre la simetría es la misma que la probabilidad de estar a la misma distancia en el otro lado de ese valor.

Definición formal

Se dice que una distribución de probabilidad es simétrica si y solo si existe un valor tal que ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$para todos los números reales ${\displaystyle \delta ,}$

donde f es la función de densidad de probabilidad si la distribución es continua o la función de masa de probabilidad si la distribución es discreta .

Distribuciones multivariadas

El grado de simetría, en el sentido de simetría especular, puede evaluarse cuantitativamente para distribuciones multivariadas con el índice quiral, que toma valores en el intervalo [0;1], y que es nulo si y solo si la distribución es simétrica especular. ^[1] Por lo tanto, una distribución d-variada se define como simétrica especular cuando su índice quiral es nulo. La distribución puede ser discreta o continua, y no se requiere la existencia de una densidad, pero la inercia debe ser finita y no nula. En el caso univariante, este índice se propuso como una prueba no paramétrica de simetría. ^[2]

Para la distribución esférica simétrica continua, Mir M. Ali dio la siguiente definición. Sea la clase de distribuciones esféricamente simétricas del tipo absolutamente continuo en el espacio euclidiano n-dimensional que tienen una densidad conjunta de la forma dentro de una esfera con centro en el origen con un radio prescrito que puede ser finito o infinito y cero en el resto del espacio. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$

Propiedades

• La mediana y la media (si existe) de una distribución simétrica se encuentran ambas en el punto alrededor del cual se produce la simetría. ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$
• Si una distribución simétrica es unimodal , la moda coincide con la mediana y la media.
• Todos los momentos centrales impares de una distribución simétrica son iguales a cero (si existen), porque en el cálculo de tales momentos los términos negativos que surgen de desviaciones negativas de equilibran exactamente los términos positivos que surgen de desviaciones positivas iguales de . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Toda medida de asimetría es igual a cero para una distribución simétrica.

Caso unimodal

Lista parcial de ejemplos

Las siguientes distribuciones son simétricas para todas las parametrizaciones. (Muchas otras distribuciones son simétricas para una parametrización particular).

Referencias

1. Petitjean, M. (2002). "Mezclas quirales" (PDF) . Revista de Física Matemática . 43 (8): 4147–4157. doi :10.1063/1.1484559.
2. Petitjean, M (2020). "Tablas de cuantiles de la distribución del índice quiral empírico en el caso de la ley uniforme y en el caso de la ley normal". arXiv : 2005.09960 [stat.ME].
3. Ali, Mir M. (1980). "Caracterización de la distribución normal entre la clase esférica simétrica continua". Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 42 (2): 162–164. doi :10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR  2984955.
4. Dekking, FM; Kraaikamp, ​​C.; Lopuhaä, HP; Meester, LE (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: entender por qué y cómo . Springer-Verlag Londres. pág. 68. ISBN 978-1-84628-168-6.