En cálculo , la integración simbólica es el problema de encontrar una fórmula para la antiderivada , o integral indefinida , de una función dada f ( x ), es decir, encontrar una fórmula para una función diferenciable F ( x ) tal que
Esto también se denota
El término simbólico se utiliza para distinguir este problema del de integración numérica , donde se busca el valor de F en una entrada o conjunto de entradas particular, en lugar de una fórmula general para F.
Ambos problemas se consideraban de importancia práctica y teórica mucho antes de la época de las computadoras digitales, pero ahora se consideran generalmente dominio de la ciencia informática , ya que las computadoras se utilizan hoy en día con mayor frecuencia para abordar casos individuales.
Encontrar la derivada de una expresión es un proceso sencillo para el cual es fácil construir un algoritmo . La cuestión inversa de encontrar la integral es mucho más difícil. Muchas expresiones que son relativamente simples no tienen integrales que puedan expresarse en forma cerrada . Consulte antiderivada e integral no elemental para obtener más detalles.
Existe un procedimiento llamado algoritmo de Risch que es capaz de determinar si la integral de una función elemental (función construida a partir de un número finito de exponenciales , logaritmos , constantes y raíces n -ésimas mediante composición y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales ) es elemental y devolverla si lo es. En su forma original, el algoritmo de Risch no era adecuado para una implementación directa, y su implementación completa tomó mucho tiempo. Fue implementado por primera vez en Reduce en el caso de funciones puramente trascendentales ; el caso de funciones puramente algebraicas fue resuelto e implementado en Reduce por James H. Davenport ; el caso general fue resuelto por Manuel Bronstein, quien lo implementó casi en su totalidad en Axiom , aunque hasta la fecha no existe una implementación del algoritmo de Risch que pueda tratar todos los casos especiales y ramas en él. [1] [2]
Sin embargo, el algoritmo de Risch se aplica solo a integrales indefinidas , mientras que la mayoría de las integrales de interés para físicos, químicos teóricos e ingenieros son integrales definidas a menudo relacionadas con las transformadas de Laplace , las transformadas de Fourier y las transformadas de Mellin . A falta de un algoritmo general, los desarrolladores de sistemas de álgebra computacional han implementado heurísticas basadas en la coincidencia de patrones y la explotación de funciones especiales, en particular la función gamma incompleta . [3] Aunque este enfoque es heurístico en lugar de algorítmico, es no obstante un método eficaz para resolver muchas integrales definidas encontradas en aplicaciones prácticas de ingeniería. Los sistemas anteriores como Macsyma tenían algunas integrales definidas relacionadas con funciones especiales dentro de una tabla de búsqueda. Sin embargo, este método particular, que implica la diferenciación de funciones especiales con respecto a sus parámetros, la transformación de variables, la coincidencia de patrones y otras manipulaciones, fue iniciado por los desarrolladores del sistema Maple [4] y luego emulado por Mathematica , Axiom , MuPAD y otros sistemas.
El principal problema del enfoque clásico de la integración simbólica es que, si una función se representa en forma cerrada , entonces, en general, su antiderivada no tiene una representación similar. En otras palabras, la clase de funciones que se pueden representar en forma cerrada no es cerrada bajo antiderivación.
Las funciones holonómicas son una gran clase de funciones, que está cerrada bajo antiderivación y permite la implementación algorítmica en computadoras de integración y muchas otras operaciones de cálculo.
Más precisamente, una función holonómica es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinómicos. Las funciones holonómicas están cerradas bajo la adición y la multiplicación, la derivación y la antiderivación. Incluyen funciones algebraicas , funciones exponenciales , logaritmos , senos , coseno , funciones trigonométricas inversas y funciones hiperbólicas inversas .
También se incluyen las funciones especiales más comunes, como la función de Airy , la función de error , las funciones de Bessel y todas las funciones hipergeométricas .
Una propiedad fundamental de las funciones holonómicas es que los coeficientes de su serie de Taylor en cualquier punto satisfacen una relación de recurrencia lineal con coeficientes polinómicos, y que esta relación de recurrencia puede calcularse a partir de la ecuación diferencial que define la función. A la inversa, dada dicha relación de recurrencia entre los coeficientes de una serie de potencias , esta serie de potencias define una función holonómica cuya ecuación diferencial puede calcularse algorítmicamente. Esta relación de recurrencia permite un cálculo rápido de la serie de Taylor, y por lo tanto del valor de la función en cualquier punto, con un error certificado arbitrario pequeño.
Esto hace que la mayoría de las operaciones de cálculo , cuando se limitan a funciones holonómicas, se representen por su ecuación diferencial y condiciones iniciales, sean algorítmicas. Esto incluye el cálculo de antiderivadas e integrales definidas (esto equivale a evaluar la antiderivada en los puntos finales del intervalo de integración). Esto incluye también el cálculo del comportamiento asintótico de la función en el infinito y, por lo tanto, las integrales definidas en intervalos no acotados.
Todas estas operaciones se implementan en la biblioteca algolib para Maple . [5]
Véase también el Diccionario dinámico de funciones matemáticas. [6]
Por ejemplo:
es un resultado simbólico para una integral indefinida (aquí C es una constante de integración ),
es un resultado simbólico para una integral definida, y
es un resultado numérico para la misma integral definida.
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d149c23a7665391ebb6b7f36d0d974624c81570)
