Swap de volatilidad

Instrumento financiero derivado

En finanzas , un swap de volatilidad es un contrato a plazo sobre la volatilidad futura realizada de un activo subyacente determinado. Los swaps de volatilidad permiten a los inversores negociar la volatilidad de un activo directamente, de forma muy similar a como negociarían un índice de precios. Su pago al vencimiento es igual a

${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$es la volatilidad realizada anualizada,
• ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$es el strike de volatilidad, y
• ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$es un importe nocional acordado previamente.

es decir, el tenedor de un swap de volatilidad recibe por cada punto en el que la volatilidad realizada anualizada del subyacente excedió el precio de entrega de , y, a la inversa, paga por cada punto en el que la volatilidad realizada se queda por debajo del precio de ejercicio. ^[1] ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$ ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

El subyacente suele ser un instrumento financiero con un mercado de opciones activo o líquido , como divisas , índices bursátiles o acciones individuales. A diferencia de una inversión en opciones, cuya exposición a la volatilidad está contaminada por su dependencia del precio, estos swaps proporcionan una exposición pura a la volatilidad únicamente. Esto es realmente así solo para los swaps de volatilidad iniciales a futuro . Sin embargo, una vez que el swap tiene sus fijaciones de activos, su valor de mercado también depende del precio actual del activo. Se pueden utilizar estos instrumentos para especular sobre los niveles futuros de volatilidad, para negociar el diferencial entre la volatilidad realizada y la implícita, o para cubrir la exposición a la volatilidad de otras posiciones o negocios.

Los swaps de volatilidad se cotizan y negocian con mayor frecuencia que los swaps de varianza , muy similares pero más simples , que se pueden replicar con una combinación lineal de opciones y una posición dinámica en futuros. La diferencia entre ambos es la convexidad: la rentabilidad de un swap de varianza es lineal con la varianza, pero convexa con la volatilidad. ^[1] Esto significa que, inevitablemente, una réplica estática (una estrategia de comprar y mantener) de un swap de volatilidad es imposible. Sin embargo, utilizando el swap de varianza ( ) como instrumento de cobertura y teniendo como objetivo la volatilidad ( ), la volatilidad se puede escribir como una función de la varianza: ${\displaystyle \Sigma _{T}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{T}}$

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$

y se elige para minimizar la desviación cuadrática esperada de los dos lados : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}$

Entonces, si la probabilidad de volatilidades negativas realizadas es insignificante, se podría suponer que las volatilidades futuras son normales con media y desviación estándar : ${\displaystyle {\bar {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma _{\Sigma }}$

${\displaystyle \Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })}$

Entonces los coeficientes de cobertura son:

${\displaystyle a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{\bar {\Sigma }}}}}}$

${\displaystyle b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}}$

Definición de la volatilidad realizada

La definición de la volatilidad realizada anualizada depende del punto de vista de los operadores sobre la observación del precio subyacente, que podría ser discreta o continua en el tiempo. Para el primero, con una construcción análoga a la del swap de varianza , si hay puntos de muestreo de los precios subyacentes observados, dice, donde para a . Defina los retornos de logaritmo natural. Luego, la volatilidad realizada anualizada de muestreo discreto se define por ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},}$

que básicamente es la raíz cuadrada de la varianza realizada anualizada . Aquí, denota un factor anualizado que comúnmente se selecciona como el número del precio observado en un año, es decir, si el precio se monitorea diariamente o si se hace semanalmente. es la fecha de vencimiento del swap de volatilidad definido por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=252}$ ${\displaystyle A=52}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n/A}$

La versión continua de la volatilidad realizada anualizada se define por medio de la raíz cuadrada de la variación cuadrática del logaritmo del rendimiento del precio subyacente:

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

donde es la volatilidad instantánea del activo subyacente. Una vez que el número de observaciones de precios aumenta hasta el infinito, se puede encontrar que converge en probabilidad a ^[2] , es decir ${\displaystyle \sigma (s)}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

representando la interconexión y consistencia entre los dos enfoques.

Precios y valoración

En general, para un activo subyacente específico, el objetivo principal de la fijación de precios de los swaps es encontrar un precio de ejercicio justo, ya que no hay ningún costo para celebrar el contrato. Uno de los enfoques más populares para lograr esa equidad es explotar el método de fijación de precios Martingala , que es el método para encontrar el valor actual esperado de un título derivado determinado con respecto a alguna medida de probabilidad neutral al riesgo (o medida Martingala). Y la forma en que se elige dicha medida depende del modelo utilizado para describir la evolución del precio.

Matemáticamente hablando, si suponemos que el proceso de precios sigue el modelo de Black-Scholes bajo la medida de martingala , entonces resuelve la siguiente SDE: ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

dónde:

• ${\displaystyle T}$representa la fecha de vencimiento del contrato de swap,
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$es una tasa de interés libre de riesgo (dependiente del tiempo),
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$es la volatilidad de los precios (dependiente del tiempo), y
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$es un movimiento browniano bajo el espacio de probabilidad filtrado donde es la filtración natural de . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle W}$

Como sabemos que es el pago del swap de volatilidad al vencimiento en el caso de muestreo discreto (que se cambia a para el caso continuo), entonces su valor esperado en el momento , denotado por es ${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}},}$

Lo cual da

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$

Debido al precio cero del swap, se define el valor de un strike de volatilidad justo. La solución se puede descubrir de varias maneras. Por ejemplo, obtenemos la fórmula de fijación de precios en forma cerrada una vez que se conoce la función de distribución de probabilidad de o , o la calculamos numéricamente mediante el método de Monte Carlo . Alternativamente, con ciertas restricciones, se puede utilizar el valor de las opciones europeas para aproximar la solución. ^[3] ${\displaystyle \sigma }_{\text{realized}}$ ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$

Swap de volatilidad de precios con muestreo continuo

Con respecto al argumento de Carr y Lee (2009), ^[3] en el caso de la volatilidad realizada de muestreo continuo, si asumimos que el contrato comienza en el momento , es determinista y es arbitrario (determinista o un proceso estocástico) pero independiente del movimiento del precio, es decir, no hay correlación entre y , y denota por la fórmula de Black-Scholes para la opción de compra europea escrita en con el precio de ejercicio en el momento con fecha de vencimiento , entonces por la auxiliaridad de la opción de compra elegida para estar en el dinero, es decir , el precio de ejercicio de la volatilidad se puede aproximar por la función ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \sigma (t)}$ ${\displaystyle \sigma (t)}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle C_{t}(K,T)}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t,\;0\leq t\leq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K=S_{0}}$ ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[{\tilde {\sigma }}_{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{T}}}{\frac {C_{0}(S_{0},T)}{S_{0}}}-2r(T)}$

que resulta de aplicar la serie de Taylor a las partes de distribución normal de la fórmula de Black-Scholes .

Véase también

• Swap de varianza
• Volatilidad (finanzas)
• Volatilidad a futuro
• Opción sobre la varianza realizada

Referencias

1. Derman, Emanuel; Dmeterfi, Kresimir; Kamal, Michael; Zou, Joseph. "Más de lo que alguna vez quiso saber sobre swaps de volatilidad" (PDF) . Notas de investigación de Quantitative Strategis . Goldman Sachs . Consultado el 16 de diciembre de 2019 .
2. Barndorff-Nielsen, Ole E. ; Shephard, Neil (mayo de 2002). "Análisis econométrico de la volatilidad realizada y su uso en la estimación de modelos de volatilidad estocástica". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B . 64 (2): 253–280. doi : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID  122716443.
3. Carr, Peter; Lee, Roger (5 de diciembre de 2009). "Derivados de volatilidad". Revisión anual de economía financiera . 1 (1): 319-339. doi :10.1146/annurev.financial.050808.114304.

Enlaces externos

• Apuestas de volatilidad preempaquetadas