Hiperplano de apoyo

Un conjunto convexo (en rosa), un hiperplano de soporte (la línea discontinua) y el semiespacio de soporte delimitado por el hiperplano que contiene (en azul claro). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

En geometría , un hiperplano de soporte de un conjunto en el espacio euclidiano es un hiperplano que tiene ambas propiedades siguientes: ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle S}$está completamente contenido en uno de los dos semiespacios cerrados delimitados por el hiperplano,
• ${\displaystyle S}$tiene al menos un punto límite en el hiperplano.

Aquí, un semiespacio cerrado es el semiespacio que incluye los puntos dentro del hiperplano.

Teorema de apoyo al hiperplano

Un conjunto convexo puede tener más de un hiperplano de soporte en un punto dado de su límite.

Este teorema establece que si es un conjunto convexo en el espacio vectorial topológico y es un punto en el límite de entonces existe un hiperplano de soporte que contiene Si ( es el espacio dual de , es un funcional lineal distinto de cero) tal que para todo , entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)}$ ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}}$

define un hiperplano de soporte. ^[2]

Por el contrario, si es un conjunto cerrado con interior no vacío tal que cada punto en el límite tiene un hiperplano de soporte, entonces es un conjunto convexo, y es la intersección de todos sus semiespacios cerrados de soporte. ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

El hiperplano del teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado no es convexo, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos del límite de, como se ilustra en la tercera imagen de la derecha. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$

Los hiperplanos de soporte de los conjuntos convexos también se denominan planos tac o hiperplanos tac . ^[3]

La dirección hacia adelante se puede demostrar como un caso especial del teorema del hiperplano separador (consulte la página para obtener la prueba ). Para la dirección inversa,

Prueba

Defina como la intersección de todos sus semiespacios cerrados de apoyo. Claramente . Ahora sea , demuestre . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\subset T}$ ${\displaystyle y\not \in S}$ ${\displaystyle y\not \in T}$

Sea , y considere el segmento de línea . Sea el número más grande tal que esté contenido en . Entonces . ${\displaystyle x\in \mathrm {int} (S)}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [x,t(y-x)+x]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

Sea , entonces . Dibuje un hiperplano de soporte a través de . Sea representado como una función lineal distinta de cero tal que . Entonces , como , tenemos . Por lo tanto , por , tenemos , por lo que . ${\displaystyle b=t(y-x)+x}$ ${\displaystyle b\in \partial S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \forall a\in T,f(a)\geq f(b)}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {int} (S)}$ ${\displaystyle f(x)>f(b)}$ ${\displaystyle {\frac {f(y)-f(b)}{1-t}}={\frac {f(b)-f(x)}{t-0}}<0}$ ${\displaystyle f(y)<f(b)}$ ${\displaystyle y\not \in T}$

Véase también

Un hiperplano de soporte que contiene un punto dado en el límite de puede no existir si no es convexo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• Función de soporte
• Línea de soporte (hiperplanos de soporte en ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Notas

1. Luenberger, David G. (1969). Optimización por métodos de espacio vectorial. Nueva York: John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 978-0-471-18117-0.
2. Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Recuperado el 15 de octubre de 2011 .
3. Cassels, John WS (1997), Introducción a la geometría de los números , Springer Classics in Mathematics (reimpresión de 1959[3] y 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag.

Referencias y lecturas adicionales

• Ostaszewski, Adam (1990). Métodos matemáticos avanzados . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. pág. 129. ISBN 0-521-28964-5.

• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Cálculo de variaciones . Berlín; Nueva York: Springer. p. 57. ISBN 3-540-50625-X.

• Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización e inecuaciones variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. p. 13. ISBN. 0-415-27479-6.

• Soltan, V. (2021). Propiedades de soporte y separación de conjuntos convexos en dimensión finita . Extracta Math. Vol. 36, núm. 2, 241-278.