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Habitación cuadrada

Un cuadrado de habitación , llamado así por Thomas Gerald Room , es una matriz n por n llena de n  + 1 símbolos diferentes de tal manera que:

  1. Cada celda de la matriz está vacía o contiene un par desordenado del conjunto de símbolos.
  2. Cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y columna de la matriz.
  3. Cada par de símbolos desordenados aparece exactamente en una celda de la matriz.

Un ejemplo, un cuadrado de habitación de orden siete, si el conjunto de símbolos son números enteros del 0 al 7:

Se sabe que existe un cuadrado (o cuadrados) de habitación si y sólo si n es impar pero no 3 o 5.

Historia

El cuadrado Room de orden 7 fue utilizado por Robert Richard Anstice para proporcionar soluciones adicionales al problema de la colegiala de Kirkman a mediados del siglo XIX, y Anstice también construyó una familia infinita de cuadrados Room, pero sus construcciones no atrajeron la atención. [1] Thomas Gerald Room reinventó los cuadrados Room en una nota publicada en 1955, [2] y llegaron a recibir su nombre. En su artículo original sobre el tema, Room observó que n debe ser impar y desigual a 3 o 5, pero no se demostró que estas condiciones fueran necesarias y suficientes hasta el trabajo de WD Wallis en 1973. [3]

Aplicaciones

Antes del artículo de Room, los directores de torneos de bridge duplicados habían utilizado cuadrados de Room para la construcción de los torneos. En esta aplicación se los conoce como rotaciones de Howell. Las columnas del cuadrado representan mesas, cada una de las cuales contiene un reparto de cartas que juega cada par de equipos que se reúnen en esa mesa. Las filas del cuadrado representan rondas del torneo y los números dentro de las celdas del cuadrado representan los equipos que están programados para jugar entre sí en la mesa y la ronda representadas por esa celda.

Archbold y Johnson utilizaron cuadrados de habitación para construir diseños experimentales. [4]

Existen conexiones entre los cuadrados de Room y otros objetos matemáticos, incluidos los cuasigrupos , los cuadrados latinos , las factorizaciones de gráficos y los sistemas triples de Steiner . [5]

Véase también

Referencias

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Robert Anstice", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews.
  2. ^ Room, TG (1955), "Un nuevo tipo de cuadrado mágico", The Mathematical Gazette , 39 : 307, doi :10.2307/3608578, JSTOR  3608578, S2CID  125711658
  3. ^ Hirschfeld, JWP ; Wall, GE (1987), "Thomas Gerald Room. 10 de noviembre de 1902–2 de abril de 1986", Memorias biográficas de miembros de la Royal Society , 33 : 575–601, doi :10.1098/rsbm.1987.0020, JSTOR  769963, S2CID  73328766; también publicado en Historical Records of Australian Science 7 (1): 109–122, doi :10.1071/HR9870710109; una versión abreviada está disponible en línea en el sitio web de la Academia Australiana de Ciencias
  4. ^ Archbold, JW; Johnson, NL (1958), "Una construcción para los cuadrados de Room y una aplicación en el diseño experimental", Annals of Mathematical Statistics , 29 : 219–225, doi : 10.1214/aoms/1177706719 , MR  0102156
  5. ^ Wallis, WD (1972), "Parte 2: Cuadrados de habitación", en Wallis, WD; Street, Anne Penfold ; Wallis, Jennifer Seberry (eds.), Combinatoria: Cuadrados de habitación, conjuntos sin suma, matrices de Hadamard , Lecture Notes in Mathematics , vol. 292, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 30–121, doi :10.1007/BFb0069909, ISBN 0-387-06035-9; véase en particular la pág. 33

Lectura adicional