Superselección

Norma que prohíbe la coherencia de determinados estados.

En mecánica cuántica , la superselección amplía el concepto de reglas de selección .

Las reglas de superselección son reglas postuladas que prohíben la preparación de estados cuánticos que exhiban coherencia entre estados propios de ciertos observables . ^[1] Fue introducido originalmente por Gian Carlo Wick , Arthur Wightman y Eugene Wigner para imponer restricciones adicionales a la teoría cuántica más allá de las reglas de selección .

Matemáticamente hablando, dos estados cuánticos y están separados por una regla de selección para el hamiltoniano dado , mientras que están separados por una regla de superselección para todos los observables físicos . Porque ningún observable se conecta y no se pueden poner en una superposición cuántica , y/o una superposición cuántica no se puede distinguir de una mezcla clásica de los dos estados. También implica que existe una cantidad clásicamente conservada que difiere entre los dos estados. ^[2] ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$

Un sector de superselección es un concepto utilizado en mecánica cuántica cuando una representación de un *-álgebra se descompone en componentes irreducibles . Formaliza la idea de que no todos los operadores autoadjuntos son observables porque la fase relativa de una superposición de estados distintos de cero de diferentes componentes irreducibles no es observable (los valores esperados de los observables no pueden distinguir entre ellos).

Formulación

Supongamos que A es un álgebra unital * y O es una subálgebra unital * cuyos elementos autoadjuntos corresponden a observables. Una representación unitaria de O puede descomponerse como la suma directa de representaciones unitarias irreducibles de O. Cada componente isotípico de esta descomposición se denomina sector de superselección . Los observables preservan los sectores de superselección.

Relación con la simetría

Las simetrías a menudo dan lugar a sectores de superselección (aunque no es la única forma en que ocurren). Supongamos que un grupo G actúa sobre A , y que H es una representación unitaria de A y G que es equivariante en el sentido de que para todo g en G , a en A y ψ en H ,

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

Supongamos que O es una subálgebra invariante de A bajo G (todos los observables son invariantes bajo G , pero no todos los operadores autoadjuntos invariantes bajo G son necesariamente observables). H se descompone en sectores de superselección, cada uno de los cuales es el producto tensorial de una representación irreducible de G con una representación de O.

Esto se puede generalizar suponiendo que H es sólo una representación de una extensión o cobertura K de G. (Por ejemplo, G podría ser el grupo de Lorentz y K la doble cubierta de espín correspondiente ). Alternativamente, se puede reemplazar G por un álgebra de Lie , una superálgebra de Lie o un álgebra de Hopf .

Ejemplos

Consideremos una partícula de mecánica cuántica confinada a un circuito cerrado (es decir, una línea periódica de período L ). Los sectores de superselección están etiquetados por un ángulo θ entre 0 y 2π. Todas las funciones de onda dentro de un único sector de superselección satisfacen

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

Sectores de superselección

Un gran sistema físico con infinitos grados de libertad no siempre visita todos los estados posibles, incluso si tiene suficiente energía. Si un imán se magnetiza en una determinada dirección, cada giro fluctuará a cualquier temperatura, pero la magnetización neta nunca cambiará. La razón es que es infinitamente improbable que todos los infinitos espines en cada posición diferente fluctúen juntos de la misma manera.

Un sistema grande suele tener sectores de superselección. En un sólido, diferentes rotaciones y traslaciones que no son simetrías reticulares definen sectores de superselección. En general, una regla de superselección es una cantidad que nunca puede cambiar debido a fluctuaciones locales. Además de los parámetros de orden , como la magnetización de un imán, también existen magnitudes topológicas, como el número de devanado. Si se enrolla una cuerda alrededor de un alambre circular, el número total de veces que se enrolla nunca cambia bajo las fluctuaciones locales. Esta es una ley de conservación ordinaria. Si el cable es una línea infinita, en condiciones en las que el vacío no tiene fluctuaciones en el número de devanados que sean coherentes en todo el sistema, la ley de conservación es una regla de superselección: la probabilidad de que el devanado se desenrolle es cero.

Hay fluctuaciones cuánticas, superposiciones que surgen de diferentes configuraciones de una integral de trayectoria de tipo fase y fluctuaciones estadísticas de una integral de trayectoria de tipo Boltzmann. Ambas integrales de trayectoria tienen la propiedad de que grandes cambios en un sistema efectivamente infinito requieren una conspiración improbable entre las fluctuaciones. Por tanto, existen reglas de superselección tanto de la mecánica estadística como de la mecánica cuántica.

En una teoría donde el vacío es invariante bajo una simetría, la carga conservada conduce a sectores de superselección en el caso de que la carga se conserve. La carga eléctrica se conserva en nuestro universo, por lo que al principio parece un ejemplo trivial. Pero cuando un superconductor llena el espacio, o equivalentemente en una fase de Higgs, la carga eléctrica todavía se conserva globalmente pero ya no define los sectores de superselección. El chapoteo del superconductor puede generar cargas en cualquier volumen a muy bajo costo. En este caso, los sectores de superselección del vacío están etiquetados por la dirección del campo de Higgs. Dado que las diferentes direcciones del Higgs están relacionadas por una simetría exacta, todas son exactamente equivalentes. Esto sugiere una relación profunda entre las direcciones de ruptura de simetría y las cargas conservadas.

simetría discreta

En el modelo 2D de Ising , a bajas temperaturas , hay dos estados puros distintos, uno con el espín medio apuntando hacia arriba y el otro con el espín medio apuntando hacia abajo. Esta es la fase ordenada. A altas temperaturas, sólo hay un estado puro con un espín medio de cero. Esta es la fase desordenada. En la transición de fase entre los dos, se rompe la simetría entre el giro hacia arriba y hacia abajo.

Por debajo de la temperatura de transición de fase, un modelo de formación infinita puede estar en la configuración mayoritariamente positiva o mayoritariamente negativa. Si comienza en la fase mayoritariamente positiva, nunca llegará a la fase mayoritariamente negativa, aunque al invertir todos los giros se obtendrá la misma energía. Al cambiar la temperatura, el sistema adquirió una nueva regla de superselección: el espín medio. Hay dos sectores de superselección: mayoritariamente negativos y mayoritariamente positivos.

También hay otros sectores de superselección; por ejemplo, estados donde la mitad izquierda del avión es mayoritariamente positiva y la mitad derecha del avión es mayoritariamente negativa.

Cuando aparece una nueva regla de superselección, el sistema ha ordenado espontáneamente. Por encima de la temperatura crítica, el modelo ising está desordenado. En principio, podría visitar todos los estados. Debajo de la transición, el sistema elige una de dos posibilidades al azar y nunca cambia de opinión.

Para cualquier sistema finito, la superselección es imperfecta. Un modelo de Ising en una red finita eventualmente fluctuará desde mayoritariamente positivo a mayoritariamente negativo a cualquier temperatura distinta de cero, pero lleva mucho tiempo. La cantidad de tiempo es exponencialmente pequeña en el tamaño del sistema medido en longitudes de correlación , por lo que, a todos los efectos prácticos, el cambio nunca ocurre, incluso en sistemas solo unas pocas veces mayores que la longitud de correlación.

Simetrías continuas

Si un campo estadístico o cuántico tiene tres campos escalares de valor real , y la energía o acción solo depende de combinaciones que son simétricas bajo rotaciones de estos componentes entre sí, las contribuciones con la dimensión más baja son ( convención de suma ): ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}}$

${\displaystyle |\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,}$

y definir la acción en un contexto de campo cuántico o energía libre en el contexto estadístico. Hay dos fases. Cuando t es grande, el potencial tiende a llevar el promedio a cero. Para t grande y negativo, el potencial cuadrático empuja hacia afuera, pero el potencial cuártico evita que se vuelva infinito. Si esto se hace en una integral de trayectoria cuántica, se trata de una transición de fase cuántica ; en una función de partición clásica, una transición de fase clásica. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Entonces, a medida que t se mueve hacia valores más negativos en cualquier contexto, el campo tiene que elegir alguna dirección hacia la cual apuntar. Una vez que hace esto, no puede cambiar de opinión. El sistema ha ordenado . En la fase ordenada, todavía hay un poco de simetría: rotaciones alrededor del eje de ruptura. El campo puede apuntar en cualquier dirección marcada por todos los puntos de una esfera unitaria en el espacio, que es el espacio lateral del subgrupo ininterrumpido SO(2) en el grupo de simetría completa SO(3). ${\displaystyle \phi }$

En la fase desordenada, los sectores de superselección se describen mediante la representación de SO (3) bajo la cual una configuración determinada se transforma globalmente. Debido a que el SO(3) no está roto, las diferentes representaciones no se mezclarán entre sí. Ninguna fluctuación local traerá jamás configuraciones SO(3) no triviales desde el infinito. Una configuración local está completamente definida por su representación.

Existe una brecha de masa, o una longitud de correlación, que separa las configuraciones con transformaciones SO (3) no triviales del vacío rotacionalmente invariante. Esto es cierto hasta el punto crítico en t donde la brecha de masa desaparece y la longitud de correlación es infinita. La desaparición de la brecha es una señal de que las fluctuaciones en el campo SO(3) están a punto de condensarse.

En la región ordenada, existen configuraciones de campo que pueden llevar carga topológica. Estos están etiquetados por elementos del segundo grupo de homotopía . Cada uno de ellos describe una configuración de campo diferente que, a grandes distancias del origen, es una configuración sinuosa. Aunque cada una de estas configuraciones aisladas tiene energía infinita, etiqueta sectores de superselección donde la diferencia de energía entre dos estados es finita. Además, al acercarse a la transición desde abajo, se pueden generar abundantemente pares de configuraciones de devanados con carga topológica opuesta. ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z} }$

Cuando el número de devanado es cero, de modo que el campo apunta en todas partes en la misma dirección, hay una infinidad adicional de sectores de superselección, cada uno etiquetado por un valor diferente de la carga ininterrumpida de SO(2).

En el estado ordenado, existe una brecha de masa para los sectores de superselección etiquetados por un número entero distinto de cero, porque los solitones topológicos son masivos, incluso infinitamente masivos. Pero no existe una brecha de masa para todos los sectores de superselección etiquetados con cero porque hay bosones de Goldstone sin masa que describen fluctuaciones en la dirección del condensado.

Si los valores de los campos se identifican bajo una reflexión Z ₂ (que corresponde a invertir el signo de todos los campos), los sectores de superselección están etiquetados por un número entero no negativo (el valor absoluto de la carga topológica). ${\displaystyle \phi }$

Las cargas O(3) sólo tienen sentido en la fase desordenada y no tienen ningún sentido en la fase ordenada. Esto se debe a que cuando se rompe la simetría hay un condensado que se carga, el cual no es invariante bajo el grupo de simetría. Por el contrario, la carga topológica sólo tiene sentido en la fase ordenada y no en la fase desordenada, porque de alguna manera hay un "condensado topológico" en la fase desordenada que aleatoriza el campo de un punto a otro. Se puede considerar que la aleatorización cruza muchos límites topológicos sinuosos condensados.

La cuestión misma de qué cargos son significativos depende en gran medida de la fase. Al acercarse a la transición de fase desde el lado desordenado, la masa de las partículas cargadas se acerca a cero. Acercándolo desde el lado ordenado, la brecha de masa asociada con las fluctuaciones de los solitones topológicos se acerca a cero.

Ejemplos en física de partículas

Mecanismo de Higgs

En el modelo estándar de física de partículas, en el sector electrodébil, el modelo de baja energía es SU(2) y U(1) descompuestos en U(1) por un doblete de Higgs. La única regla de superselección que determina la configuración es la carga eléctrica total. Si hay monopolos, entonces se debe incluir la carga monopolar.

Si el parámetro t de Higgs se varía de modo que no adquiera un valor esperado de vacío, el universo ahora es simétrico bajo un grupo de calibre ininterrumpido SU(2) y U(1). Si SU(2) tiene acoplamientos infinitamente débiles, de modo que sólo se limita a distancias enormes, entonces la representación del grupo SU(2) y la carga U(1) son reglas de superselección. Pero si SU(2) tiene un acoplamiento distinto de cero, entonces los sectores de superselección están separados por una masa infinita porque la masa de cualquier estado en una representación no trivial es infinita.

Al cambiar la temperatura, las fluctuaciones de Higgs pueden poner a cero el valor esperado a una temperatura finita. Por encima de esta temperatura, los números cuánticos SU(2) y U(1) describen los sectores de superselección. Debajo de la transición de fase, sólo la carga eléctrica define el sector de superselección.

Condensado de quarks quiral

Considere la simetría de sabor global de QCD en el límite quiral donde las masas de los quarks son cero. Éste no es exactamente el universo en el que vivimos, donde los quarks arriba y abajo tienen una masa diminuta pero distinta de cero, pero es una muy buena aproximación, en la medida en que se conserva el isospin.

Por debajo de cierta temperatura, que es la temperatura de restauración de la simetría, se ordena la fase. Se forma el condensado quiral y se producen piones de pequeña masa. Las cargas SU(N _f ), Isospin , Hypercharge y SU(3), tienen sentido. Por encima de la temperatura de QCD se encuentra una fase desordenada donde las cargas SU(N _f )×SU(N _f ) y de color SU(3) tienen sentido.

Queda abierta la cuestión de si la temperatura de desconfinamiento del QCD es también la temperatura a la que se funde el condensado quiral.

Notas

1. Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry ; Spekkens, Robert W. (abril-junio de 2007). "Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica". Reseñas de Física Moderna . 79 (2): 555–606. arXiv : quant-ph/0610030 . Código Bib : 2007RvMP...79..555B. doi :10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID  118880279.
2. Giulini, Domenico (2007). "Reglas de superselección". arXiv : 0710.1516 [cuántico-ph].

Referencias

• Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introducción a la teoría algebraica de campos cuánticos , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
• Moretti, Valter (2017), Teoría espectral y mecánica cuántica: fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1.
• Moretti, Valter (2019), Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-030-18345-5.
• Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). "Teoría algebraica de campos cuánticos". arXiv : math-ph/0602036 .