Superoperador

En física, un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial de operadores lineales.

En física , un superoperador es un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial de operadores lineales . ^[1]

En ocasiones, el término se refiere más específicamente a un mapa completamente positivo que también conserva o no aumenta el rastro de su argumento . Este significado especializado se utiliza ampliamente en el campo de la computación cuántica , especialmente la programación cuántica , ya que caracteriza las asignaciones entre matrices de densidad .

El uso del prefijo super- aquí no está relacionado de ninguna manera con su otro uso en física matemática. Es decir, los superoperadores no tienen conexión con la supersimetría y la superálgebra , que son extensiones de los conceptos matemáticos habituales definidos al extender el anillo de números para incluir los números de Grassmann . Dado que los superoperadores son en sí mismos operadores, el uso del prefijo super- se utiliza para distinguirlos de los operadores sobre los que actúan.

Multiplicación izquierda/derecha

Fije una elección de base para el espacio de Hilbert subyacente . ${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i}}$

Definiendo los superoperadores de multiplicación izquierdo y derecho por y respectivamente se puede expresar el conmutador como ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A}$

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].}$

A continuación vectorizamos la matriz que es el mapeo ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\to |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,}$

donde denota un vector en el espacio de Fock-Liouville. La representación matricial de se calcula entonces utilizando la misma función ${\displaystyle |\cdot \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)}$

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

indicando que . De manera similar, se puede demostrar que . Estas representaciones nos permiten calcular cosas como valores propios asociados a superoperadores. Estos valores propios son particularmente útiles en el campo de los sistemas cuánticos abiertos, donde las partes reales de los valores propios del superoperador Lindblad indicarán si un sistema cuántico se relajará o no. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$

Ejemplo de ecuación de von Neumann

En mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger expresa la evolución temporal del vector de estado mediante la acción del hamiltoniano , que es un operador que mapea vectores de estado a vectores de estado. ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

En la formulación más general de John von Neumann , los estados estadísticos y los conjuntos se expresan mediante operadores de densidad en lugar de vectores de estado. En este contexto, la evolución temporal del operador de densidad se expresa mediante la ecuación de von Neumann , en la que el operador de densidad es afectado por un superoperador que mapea operadores a operadores. Se define tomando el conmutador con respecto al operador hamiltoniano: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}}$

Como los corchetes conmutadores se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica, esta presentación explícita del superoperador de la acción del hamiltoniano generalmente se omite.

Ejemplo de derivadas de funciones en el espacio de operadores

Al considerar una función de operadores valorada por un operador, como por ejemplo cuando definimos el hamiltoniano mecánico cuántico de una partícula como una función de los operadores de posición y momento, podemos (por la razón que sea) definir una “derivada de operador” como un superoperador que asigna un operador a un operador. ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$

Por ejemplo, si entonces su derivada del operador es el superoperador definido por: ${\displaystyle H(P)=P^{3}=PPP}$

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

Esta “derivada del operador” es simplemente la matriz jacobiana de la función (de operadores) donde uno simplemente trata la entrada y la salida del operador como vectores y expande el espacio de operadores sobre alguna base. La matriz jacobiana es entonces un operador (en un nivel superior de abstracción) que actúa sobre ese espacio vectorial (de operadores).

Véase también

Superoperador Lindblad

Referencias

1. John Preskill , Notas de clase para el curso de Computación Cuántica en Caltech , Cap. 3, [1]