En geometría algebraica , una superficie cuártica de Kummer , estudiada por primera vez por Ernst Kummer (1864), es una superficie nodal irreducible de grado 4 pulgadas con el máximo número posible de 16 puntos dobles. Cualquiera de estas superficies es la variedad Kummer de la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica suave del género 2; es decir, un cociente del jacobiano por la involución de Kummer x ↦ − x . La involución de Kummer tiene 16 puntos fijos: los 16 puntos de 2 torsión de la jacobiana, y son los 16 puntos singulares de la superficie cuártica. Resolver los 16 puntos dobles del cociente de un toro (posiblemente no algebraico) mediante la involución de Kummer da una superficie K3 con 16 curvas racionales disjuntas; Estas superficies K3 también se denominan a veces superficies de Kummer.
Otras superficies estrechamente relacionadas con las superficies de Kummer incluyen las superficies de Weddle , las superficies onduladas y los tetraedros .
Sea una superficie cuártica con un punto doble ordinario p , cerca del cual K parece un cono cuadrático. Cualquier línea proyectiva que pase por p encuentra K con multiplicidad dos en p y, por lo tanto, encontrará la K cuártica en solo otros dos puntos. Identificando las líneas que pasan por el punto p con , obtenemos una doble cobertura de la ampliación de K en p a ; esta doble cobertura se da enviando q ≠ p ↦ , y cualquier recta en el cono tangente de p en K hacia sí misma. El lugar de ramificación de la doble cubierta es una curva plana C de grado 6, y todos los nodos de K que no son p se asignan a nodos de C.
Por la fórmula del grado de género , el máximo número posible de nodos en una curva sextica se obtiene cuando la curva es una unión de rectas, en cuyo caso tenemos 15 nodos. Por lo tanto, el número máximo de nodos en un cuartico es 16 y, en este caso, todos son nodos simples (para mostrar que es un proyecto simple desde otro nodo). Un cuartico que obtiene estos 16 nodos se llama Kummer Quartic, y nos concentraremos en ellos a continuación.
Como es un nodo simple, el cono tangente a este punto se asigna a una cónica debajo de la doble cubierta. De hecho, esta cónica es tangente a las seis rectas (dos pruebas). Por el contrario, dada una configuración de una cónica y seis rectas tangentes a ella en el plano, podemos definir la doble cobertura del plano ramificada sobre la unión de estas 6 rectas. Esta doble cubierta se puede asignar a , bajo un mapa que derriba la doble cubierta de la cónica especial, y es un isomorfismo en otros lugares (prueba de wo).
A partir de una curva suave del género 2, podemos identificar al jacobiano debajo del mapa . Ahora observamos dos hechos: dado que es una curva hiperelíptica, el mapa del producto simétrico a , definido por , es la reducción de la gráfica de la involución hiperelíptica a la clase de divisor canónico . Además, el mapa canónico tiene una doble portada. De ahí que obtengamos una doble cobertura .
Esta doble portada es la que ya apareció arriba: Las 6 líneas son las imágenes de los divisores theta simétricos impares en , mientras que la cónica es la imagen del 0 ampliado. La cónica es isomorfa al sistema canónico a través del isomorfismo , y cada una de las seis líneas es naturalmente isomorfa al sistema canónico dual mediante la identificación de divisores theta y traslaciones de la curva . Existe una correspondencia 1-1 entre pares de divisores theta simétricos impares y puntos de torsión 2 en el jacobiano dada por el hecho de que , donde están los puntos de Weierstrass (que son las características theta impares en este género 2). Por lo tanto, los puntos de ramificación del mapa canónico aparecen en cada una de estas copias del sistema canónico como los puntos de intersección de las líneas y los puntos de tangencia de las líneas y la cónica.
Finalmente, como sabemos que cada cuartico de Kummer es una variedad de Kummer de un jacobiano de una curva hiperelíptica, mostramos cómo reconstruir la superficie cuártica de Kummer directamente a partir del jacobiano de una curva de género 2: el jacobiano de mapas del sistema lineal completo (ver el artículo sobre las variedades abelianas ). Este mapa tiene en cuenta la variedad Kummer como un mapa de grado 4 que tiene 16 nodos en las imágenes de los 2 puntos de torsión en .
Hay varios puntos cruciales que relacionan los aspectos geométricos, algebraicos y combinatorios de la configuración de los nodos de la cuartica de Kummer:
Por tanto tenemos una configuración de cónicas en ; donde cada uno contiene 6 nodos y de manera que la intersección de cada dos es a lo largo de 2 nodos. Esta configuración se denomina configuración o configuración de Kummer .
Los 2 puntos de torsión en una variedad abeliana admiten una forma bilineal simpléctica llamada emparejamiento de Weil. En el caso de los jacobianos de curvas de género dos, cada punto de torsión 2 no trivial se expresa de forma única como una diferencia entre dos de los seis puntos de Weierstrass de la curva. El emparejamiento de Weil viene dado en este caso por . Se pueden recuperar muchas de las invariantes teóricas del grupo a través de la geometría de la configuración.
A continuación se muestra una lista de invariantes teóricas de grupos y su encarnación geométrica en la configuración 16 6 .
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Superficie Kummer", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no la GFDL .
