En matemáticas , una superficie mínima de revolución o superficie mínima de revolución es una superficie de revolución definida a partir de dos puntos de un semiplano , cuyo límite es el eje de revolución de la superficie. Se genera mediante una curva que se encuentra en el semiplano y une los dos puntos; entre todas las superficies que se pueden generar de esta forma, es aquella que minimiza el área de la superficie . [1] Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produzca esta superficie mínima de revolución. [1]
Una superficie mínima de revolución es un subtipo de superficie mínima . [1] Una superficie mínima no se define como una superficie de área mínima, sino como una superficie con una curvatura media de 0. [2] Dado que una curvatura media de 0 es una condición necesaria de una superficie de área mínima, todas las superficies mínimas de revolución son superficies mínimas, pero no todas las superficies mínimas son superficies mínimas de revolución. Como un punto forma un círculo cuando gira alrededor de un eje , encontrar la superficie mínima de revolución es equivalente a encontrar la superficie mínima que pasa a través de dos alambres circulares . [1] Una realización física de una superficie mínima de revolución es una película de jabón estirada entre dos alambres circulares paralelos : la película de jabón naturalmente toma la forma con menor área de superficie. [3] [4]
Si el semiplano que contiene los dos puntos y el eje de revolución tiene coordenadas cartesianas , lo que convierte el eje de revolución en el eje x del sistema de coordenadas, entonces la curva que une los puntos puede interpretarse como el gráfico de una función . Si las coordenadas cartesianas de los dos puntos dados son , , entonces el área de la superficie generada por una función diferenciable no negativa puede expresarse matemáticamente como
y el problema de encontrar la superficie mínima de revolución se convierte en el de encontrar la función que minimiza esta integral, sujeta a las condiciones de contorno de que y . [5] En este caso, la curva óptima será necesariamente una catenaria . [1] [5] El eje de revolución es la directriz de la catenaria, y la superficie mínima de revolución será, por tanto, un catenoide . [1] [6] [7]
También se pueden definir soluciones basadas en funciones discontinuas. En particular, para algunas posiciones de los dos puntos, la solución óptima se genera mediante una función discontinua que no es cero en los dos puntos y cero en el resto. Esta función conduce a una superficie de revolución que consta de dos discos circulares, uno para cada punto, conectados por un segmento de línea degenerado a lo largo del eje de revolución. Esto se conoce como solución de Goldschmidt [5] [8] en honor al matemático alemán Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt [4] , quien anunció su descubrimiento en su artículo de 1831 "Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae" ("Determinación de la curva de rotación mínima de la superficie dados dos puntos unidos alrededor de un eje de origen dado"). [9]
Para continuar con la analogía física de la película de jabón dada anteriormente, estas soluciones de Goldschmidt pueden visualizarse como casos en los que la película de jabón se rompe a medida que los alambres circulares se estiran para separarlos. [4] Sin embargo, en una película de jabón física, el segmento de línea de conexión no estaría presente. Además, si una película de jabón se estira de esta manera, existe un rango de distancias dentro de las cuales la solución catenoide todavía es factible pero tiene un área mayor que la solución de Goldschmidt, por lo que la película de jabón puede estirarse en una configuración en la que el área es un mínimo local pero no un mínimo global. Para distancias mayores que este rango, la catenaria que define el catenoide cruza el eje x y conduce a una superficie que se autointersecta, por lo que solo la solución de Goldschmidt es factible. [10]
Entonces, ¿qué sucede con la película de jabón después de que se rompe [...]? Este comportamiento discontinuo se denomina
solución de Goldschmidt
, en honor al matemático alemán
CWB Goldschmidt
(1807-51), quien la descubrió (en papel) en 1831.
