En matemáticas , se denomina suma de Kummer a ciertas sumas cúbicas de Gauss para un primo módulo p , con p congruente con 1 módulo 3. Reciben su nombre en honor a Ernst Kummer , quien formuló una conjetura sobre las propiedades estadísticas de sus argumentos, como números complejos. Estas sumas eran conocidas y utilizadas antes de Kummer, en la teoría de la ciclotomía .
Una suma de Kummer es por tanto una suma finita
tomado sobre r módulo p , donde χ es un carácter de Dirichlet que toma valores en las raíces cúbicas de la unidad , y donde e ( x ) es la función exponencial exp(2π ix ). Dado p de la forma requerida, hay dos de esos caracteres, junto con el carácter trivial.
La suma exponencial cúbica K ( n , p ) definida por
Se ve fácilmente que es una combinación lineal de las sumas de Kummer. De hecho, es 3 P donde P es uno de los períodos gaussianos para el subgrupo de índice 3 en los residuos mod p , bajo multiplicación, mientras que las sumas de Gauss son combinaciones lineales de P con raíces cúbicas de la unidad como coeficientes. Sin embargo, es la suma de Gauss para la que se cumplen las propiedades algebraicas. Dichas sumas exponenciales cúbicas también se denominan ahora sumas de Kummer.
Se sabe por la teoría general de las sumas de Gauss que
De hecho, se conoce la descomposición prima de G ( χ ) en el campo ciclotómico en el que se encuentra naturalmente, lo que da una forma más fuerte. Lo que le interesaba a Kummer era el argumento
de G ( χ ). A diferencia del caso cuadrático, donde se conoce el cuadrado de la suma de Gauss y Gauss determinó la raíz cuadrada precisa, aquí el cubo de G ( χ ) se encuentra en los enteros de Eisenstein , pero su argumento está determinado por el del primo de Eisenstein que divide a p , que se divide en ese campo.
Kummer formuló una conjetura estadística sobre θ p y su distribución módulo 2π (en otras palabras, sobre el argumento de la suma de Kummer en el círculo unitario). Para que esto tenga sentido, hay que elegir entre las dos χ posibles: hay una elección distinguida, de hecho, basada en el símbolo de residuo cúbico . Kummer utilizó los datos numéricos disponibles para p hasta 500 (esto se describe en el libro de 1892 Theory of Numbers de George B. Mathews ). Sin embargo, había una "ley de los números pequeños" en funcionamiento, lo que significa que la conjetura original de Kummer, de falta de distribución uniforme, adolecía de un sesgo de números pequeños. En 1952, John von Neumann y Herman Goldstine ampliaron los cálculos de Kummer, en ENIAC . [1] Los cálculos fueron programados y codificados por Hedvig Selberg, pero su trabajo solo fue reconocido al final del artículo, de manera similar a lo que ocurrió con Mary Tsingou en el problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (anteriormente el problema de Fermi–Pasta–Ulam).
En el siglo XX, finalmente se logró avanzar en esta cuestión, que había permanecido sin respuesta durante más de 100 años. Basándose en el trabajo de Tomio Kubota , SJ Patterson y Roger Heath-Brown en 1978 refutaron la conjetura de Kummer y demostraron una forma modificada de la conjetura de Kummer. [2] De hecho, demostraron que existía equidistribución de θ p . Este trabajo involucró formas automórficas para el grupo metapléctico y el lema de Vaughan en la teoría analítica de números . En 2000, Heath-Brown logró refinamientos adicionales. [3]
JWS Cassels formuló una segunda conjetura sobre las sumas de Kummer , basándose nuevamente en ideas previas de Tomio Kubota. Se trataba de una fórmula de producto en términos de funciones elípticas con multiplicación compleja por los números enteros de Eisenstein. [4] La conjetura fue demostrada en 1978 por Charles Matthews. [5]
En 1978, Patterson conjeturó que θ p estaba equidistribuida con un término de error asintóticamente de orden en lugar de cuadrático como con las sumas de Gauss, lo que podría explicar el sesgo inicial observado por Kummer. [6] El año siguiente, su trabajo posterior con Heath-Brown refutando la conjetura de Kummer mostró que, de hecho, estaba equidistribuida, pero se desconocía si el orden de la asintótica era correcto. [7] Más de 20 años después, Heath-Brown cerró el problema, dando un nuevo método de tamiz, y conjeturó que podría mejorarse para obtener el orden predicho. [8] En 2021, el problema fue demostrado condicionalmente sobre la hipótesis generalizada de Riemann por Alexander Dunn y Maksym Radziwill , quienes también demostraron que el tamiz de Heath Brown no podía mejorarse como se esperaba. [9] [10]
