Grupo medible

En matemáticas, un grupo medible es un tipo especial de grupo en la intersección entre la teoría de grupos y la teoría de la medida . Los grupos medibles se utilizan para estudiar medidas en un entorno abstracto y, a menudo, están estrechamente relacionados con los grupos topológicos .

Definición

Dejemos que un grupo con ley de grupo ${\displaystyle (G,\circ )}$

${\displaystyle \circ :G\times G\to G}$.

Sea además una σ-álgebra de subconjuntos del conjunto . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G}$

El grupo, o más formalmente el triple, se llama grupo medible si ^[1] ${\displaystyle (G,\circ ,{\mathcal {G}})}$

• la inversión se puede medir desde hasta . ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
• la ley de grupo se puede medir desde hasta ${\displaystyle (g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\circ g_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Aquí, denota la formación del producto σ-álgebra de las σ-álgebras y . ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Grupos topológicos como grupos medibles.

Cada segundo grupo topológico contable puede considerarse un grupo medible. Esto se hace equipando al grupo con el álgebra σ de Borel. ${\displaystyle (G,{\mathcal {O}})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)=\sigma ({\mathcal {O}})}$,

que es el σ-álgebra generada por la topología . Dado que, según la definición de un grupo topológico, la ley del grupo y la formación del elemento inverso son continuas, en este caso ambas operaciones también se pueden medir desde hasta y desde hasta , respectivamente. La segunda contabilización garantiza que y, por lo tanto, el grupo también es un grupo mensurable. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(G\times G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)\otimes {\mathcal {B}}(G)={\mathcal {B}}(G\times G)}$ ${\displaystyle G}$

Conceptos relacionados

Los grupos mensurables pueden verse como grupos de actuación mensurables que actúan sobre sí mismos.

Referencias

1. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 266.doi :10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3.