Grupo de actuación medible

En matemáticas , un grupo de actuación medible es un grupo especial que actúa en algún espacio de una manera compatible con las estructuras de la teoría de la medida . Los grupos de actuación medible se encuentran en la intersección de la teoría de la medida y la teoría de grupos , dos subdisciplinas de las matemáticas. Los grupos de actuación medible son la base para el estudio de medidas invariantes en entornos abstractos, la más famosa de las cuales es la medida de Haar , y el estudio de medidas aleatorias estacionarias .

Definición

Sea un grupo medible , donde denota el álgebra de y la ley de grupo . Sea además un espacio medible y sea el álgebra del producto de las álgebras y . ${\displaystyle (G,{\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Actuemos con la acción grupal ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Phi \colon G\times S\to S}$

Si es una función medible de a , entonces se denomina acción grupal medible . En este caso, se dice que el grupo actúa de manera medible sobre . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplo: Grupos medibles como grupos de actuación medibles

Un caso especial de grupos de acción mensurables son los propios grupos mensurables. Si , y la acción del grupo es la ley del grupo, entonces un grupo mensurable es un grupo que actúa de manera mensurable sobre . ${\displaystyle S=G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Referencias

• Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.