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Subderivada

Una función convexa (azul) y "líneas subtangentes" en (rojo).

En matemáticas , las subderivadas (o subgradientes) generalizan la derivada a funciones convexas que no son necesariamente diferenciables . El conjunto de subderivadas en un punto se denomina subdiferencial en ese punto. [1] Las subderivadas surgen en el análisis convexo , el estudio de funciones convexas , a menudo en conexión con la optimización convexa .

Sea una función convexa de valor real definida en un intervalo abierto de la recta real. Una función de este tipo no necesita ser diferenciable en todos los puntos: por ejemplo, la función de valor absoluto no es diferenciable cuando . Sin embargo, como se ve en el gráfico de la derecha (donde en azul tiene puntos de inflexión no diferenciables similares a la función de valor absoluto), para cualquier punto del dominio de la función se puede trazar una recta que pase por el punto y que esté en todas partes tocando o por debajo del gráfico de f . La pendiente de dicha recta se llama subderivada .

Definición

Rigurosamente, una subderivada de una función convexa en un punto del intervalo abierto es un número real tal que para todo . Por el inverso del teorema del valor medio , el conjunto de subderivadas en para una función convexa es un intervalo cerrado no vacío , donde y son los límites unilaterales El intervalo de todas las subderivadas se denomina subdiferencial de la función en , denotado por . Si es convexo, entonces su subdiferencial en cualquier punto no es vacío. Además, si su subdiferencial en contiene exactamente una subderivada, entonces es diferenciable en y . [2]

Ejemplo

Consideremos la función que es convexa. Entonces, el subdiferencial en el origen es el intervalo . El subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton , mientras que el subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton . Esto es similar a la función de signo , pero no es univaluada en , sino que incluye todas las subderivadas posibles.

Propiedades

El subgradiente

Los conceptos de subderivada y subdiferencial se pueden generalizar a funciones de varias variables. Si es una función convexa de valor real definida en un conjunto abierto convexo en el espacio euclidiano , un vector en ese espacio se llama subgradiente en si para cualquier uno tiene que

donde el punto denota el producto escalar . El conjunto de todos los subgradientes en se denomina subdiferencial en y se denota . El subdiferencial es siempre un conjunto compacto convexo no vacío .

Estos conceptos se generalizan aún más a funciones convexas en un conjunto convexo en un espacio localmente convexo . Una función en el espacio dual se denomina subgradiente en si para todo ,

El conjunto de todos los subgradientes en se denomina subdiferencial en y se denota nuevamente como . El subdiferencial es siempre un conjunto cerrado convexo . Puede ser un conjunto vacío; considere por ejemplo un operador ilimitado , que es convexo, pero no tiene subgradiente. Si es continuo, el subdiferencial no está vacío.

Historia

El subdiferencial sobre funciones convexas fue introducido por Jean Jacques Moreau y R. Tyrrell Rockafellar a principios de la década de 1960. El subdiferencial generalizado para funciones no convexas fue introducido por FH Clarke y RT Rockafellar a principios de la década de 1980. [4]

Véase también

Referencias

  1. ^ Bubeck, S. (2014). Teoría de la optimización convexa para el aprendizaje automático. ArXiv, abs/1405.4980.
  2. ^ Rockafellar, RT (1970). Análisis convexo . Princeton University Press. pág. 242 [Teorema 25.1]. ISBN 0-691-08069-0.
  3. ^ Lemaréchal, Claude; Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (2001). Fundamentos del análisis convexo . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pag. 183.ISBN 978-3-642-56468-0.
  4. ^ Clarke, Frank H. (1983). Optimización y análisis no suave . Nueva York: John Wiley & Sons . págs. xiii+308. ISBN.  0-471-87504-X.Sr. 0709590  .

Enlaces externos