En matemáticas , un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones polinómicas se considera subdeterminado si hay menos ecuaciones que incógnitas [1] (en contraste con un sistema sobredeterminado , donde hay más ecuaciones que incógnitas). La terminología se puede explicar utilizando el concepto de conteo de restricciones . Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible . Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que restringe un grado de libertad.
Por lo tanto, el caso crítico (entre sobredeterminado y subdeterminado) se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que otorga un grado de libertad, existe una restricción correspondiente que elimina un grado de libertad. El caso subdeterminado , por el contrario, se produce cuando el sistema ha sido subrestringido, es decir, cuando las incógnitas superan en número a las ecuaciones.
Un sistema lineal subdeterminado no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo,
es un sistema indeterminado sin solución; cualquier sistema de ecuaciones que no tenga solución se dice que es inconsistente . Por otra parte, el sistema
es consistente y tiene una infinidad de soluciones, tales como ( x , y , z ) = (1, −2, 2) , (2, −3, 2) y (3, −4, 2) . Todas estas soluciones se pueden caracterizar restando primero la primera ecuación de la segunda, para mostrar que todas las soluciones obedecen a z = 2 ; usar esto en cualquiera de las ecuaciones muestra que cualquier valor de y es posible, con x = −1 − y .
Más concretamente, según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones lineales (subdeterminado o no) es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución; puesto que en un sistema subdeterminado este rango es necesariamente menor que el número de incógnitas, hay de hecho una infinidad de soluciones, teniendo la solución general k parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango.
Existen algoritmos para decidir si un sistema indeterminado tiene soluciones y, si las tiene, expresar todas las soluciones como funciones lineales de k de las variables (las mismas k que en el caso anterior). El más simple es la eliminación gaussiana . Consulte Sistema de ecuaciones lineales para obtener más detalles.
El sistema lineal indeterminado homogéneo (con todos los términos constantes iguales a cero) siempre tiene soluciones no triviales (además de la solución trivial donde todas las incógnitas son cero). Existe una infinidad de tales soluciones, que forman un espacio vectorial cuya dimensión es la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matriz del sistema.
La propiedad principal de los sistemas lineales subdeterminados, de no tener solución o tener infinitas, se extiende a los sistemas de ecuaciones polinómicas de la siguiente manera.
Un sistema de ecuaciones polinómicas que tiene menos ecuaciones que incógnitas se dice que está indeterminado . Tiene infinitas soluciones complejas (o, más generalmente, soluciones en un cuerpo algebraicamente cerrado ) o es inconsistente. Es inconsistente si y solo si 0 = 1 es una combinación lineal (con coeficientes polinómicos) de las ecuaciones (este es el Nullstellensatz de Hilbert ). Si un sistema indeterminado de t ecuaciones en n variables ( t < n ) tiene soluciones, entonces el conjunto de todas las soluciones complejas es un conjunto algebraico de dimensión al menos n - t . Si el sistema indeterminado se elige al azar, la dimensión es igual a n - t con probabilidad uno.
En general, un sistema indeterminado de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones, si es que las tiene. Sin embargo, en problemas de optimización sujetos a restricciones de igualdad lineal, solo una de las soluciones es relevante, es decir, la que da el valor más alto o más bajo de una función objetivo .
Algunos problemas especifican que una o más de las variables están restringidas a tomar valores enteros. Una restricción de enteros conduce a problemas de programación entera y ecuaciones diofánticas , que pueden tener solo un número finito de soluciones.
Otro tipo de restricción, que aparece en la teoría de la codificación , especialmente en los códigos de corrección de errores y en el procesamiento de señales (por ejemplo, en la detección comprimida ), consiste en un límite superior para el número de variables que pueden ser distintas de cero. En los códigos de corrección de errores, este límite corresponde al número máximo de errores que se pueden corregir simultáneamente.
