Conteo de restricciones

En matemáticas , el conteo de restricciones es contar el número de restricciones para compararlo con el número de variables , parámetros , etc. que son libres de ser determinados, siendo la idea que en la mayoría de los casos el número de elecciones independientes que se pueden hacer es el exceso de estas últimas sobre las primeras.

Por ejemplo, en álgebra lineal , si el número de restricciones (ecuaciones independientes) en un sistema de ecuaciones lineales es igual al número de incógnitas, entonces existe exactamente una solución; si hay menos ecuaciones independientes que incógnitas, existe un número infinito de soluciones; y si el número de ecuaciones independientes excede el número de incógnitas, entonces no existen soluciones.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales , el conteo de restricciones es una forma básica pero a menudo útil de contar la cantidad de funciones libres necesarias para especificar una solución a una ecuación diferencial parcial .

Ecuaciones diferenciales parciales

Consideremos una ecuación diferencial parcial de segundo orden en tres variables, como la ecuación de onda bidimensional .

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy}.}$

A menudo resulta beneficioso pensar en una ecuación de este tipo como una regla de reescritura que nos permite reescribir derivadas parciales arbitrarias de la función utilizando menos derivadas parciales de las que serían necesarias para una función arbitraria. Por ejemplo, si satisface la ecuación de onda, podemos reescribir ${\displaystyle u(t,x,y)}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{tyt}=u_{tty}=u_{xxy}+u_{yyy}}$

donde en la primera igualdad, apelamos al hecho de que las derivadas parciales conmutan .

Ecuaciones lineales

Para responder a esta pregunta en el importante caso especial de una ecuación diferencial parcial lineal , Einstein preguntó: ¿cuántas de las derivadas parciales de una solución pueden ser linealmente independientes ? Es conveniente registrar su respuesta utilizando una función generadora ordinaria.

${\displaystyle s(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\xi ^{k}}$

donde es un número natural que cuenta el número de derivadas parciales linealmente independientes (de orden k) de una función arbitraria en el espacio solución de la ecuación en cuestión. ${\displaystyle s_{k}}$

Siempre que una función satisface alguna ecuación diferencial parcial, podemos usar la regla de reescritura correspondiente para eliminar algunas de ellas, porque las ecuaciones diferenciales mixtas posteriores se han vuelto necesariamente linealmente dependientes . Específicamente, la serie de potencias que cuenta la variedad de funciones arbitrarias de tres variables (sin restricciones) es

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{(1-\xi )^{3}}}=1+3\xi +6\xi ^{2}+10\xi ^{3}+\dots }$

pero la serie de potencias que cuenta aquellas en el espacio de soluciones de alguna ecuación diferencial parcial de segundo orden es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}=1+2\xi +5\xi ^{2}+7\xi ^{3}+\dots }$

que registra que podemos eliminar un parcial de segundo orden , tres parciales de tercer orden , y así sucesivamente. ${\displaystyle u_{tt}}$ ${\displaystyle u_{ttt},\,u_{ttx},\,u_{tty}}$

De manera más general, la función general de probabilidad para una función arbitraria de n variables es

${\displaystyle s[n](\xi )=1/(1-\xi )^{n}=1+n\,\xi +\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)\,\xi ^{2}+\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)\,\xi ^{3}+\dots }$

donde los coeficientes de la serie de potencias infinitas de la función generadora se construyen utilizando una secuencia infinita apropiada de coeficientes binomiales , y la serie de potencias para una función requerida para satisfacer una ecuación lineal de orden m es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{m}}{(1-\xi )^{n}}}}$

Próximo,

${\displaystyle {\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}={\frac {1+\xi }{(1-\xi )^{2}}}}$

lo cual puede interpretarse para predecir que una solución de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en tres variables se puede expresar mediante dos funciones libremente elegidas de dos variables, una de las cuales se utiliza inmediatamente y la segunda, solo después de tomar una primera derivada , para expresar la solución.

Solución general del problema del valor inicial

Para verificar esta predicción, recuerde la solución del problema del valor inicial.

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},\;u(0,x,y)=p(x,y),\;u_{t}(0,x,y)=q(x,y)}$

Aplicando la transformada de Laplace obtenemos ${\displaystyle u(t,x,y)\mapsto [Lu](\omega ,x,y)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[Lu]+\omega \,p(x,y)+q(x,y)+[Lu]_{x}+[Lu]_{y}}$

Aplicando la transformada de Fourier a las dos variables espaciales se obtiene ${\displaystyle [Lu](\omega ,x,y)\mapsto [FLU](\omega ,m,n)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[FLu]+\omega \,[Fp]+[Fq]-(m^{2}+n^{2})\,[FLu]}$

o

${\displaystyle [FLu](\omega ,m,n)={\frac {\omega \,[Fp](m,n)+[Fq](m,n)}{\omega ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos

${\displaystyle [Fu](t,m,n)=[Fp](m,n)\,\cos({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)+{\frac {[Fq](m,n)\,\sin({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}$

Aplicando la transformada de Fourier inversa se obtiene

${\displaystyle u(t,x,y)=Q(t,x,y)+P_{t}(t,x,y)}$

dónde

${\displaystyle P(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}<t^{2}}{\frac {p(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(x-x')^{2}-(y-y')^{2}\right]^{1/2}}}}$

${\displaystyle Q(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}<t^{2}}{\frac {q(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(x-x')^{2}-(y-y')^{2}\right]^{1/2}}}}$

Aquí, p,q son funciones arbitrarias (suficientemente suaves) de dos variables, por lo que (debido a su modesta dependencia del tiempo) las integrales P,Q también cuentan como funciones "libremente elegidas" de dos variables; como se prometió, una de ellas se diferencia una vez antes de sumarse a la otra para expresar la solución general del problema de valor inicial para la ecuación de onda bidimensional.

Ecuaciones cuasilineales

En el caso de una ecuación no lineal, rara vez será posible obtener la solución general en forma cerrada. Sin embargo, si la ecuación es cuasilineal (lineal en las derivadas de orden más alto), entonces aún podemos obtener información aproximada similar a la anterior: especificar un miembro del espacio de solución será "módulo de nimiedades no lineales" equivalente a especificar un cierto número de funciones en un número menor de variables. El número de estas funciones es la fuerza de Einstein de la ecuación en derivada parcial. En el ejemplo simple anterior, la fuerza es dos, aunque en este caso pudimos obtener información más precisa.

Referencias

• Siklos, STC (1996). "Conteo de soluciones de la ecuación de Einstein". Clase. Quantum Grav . 13 (7): 1931–1948. Bibcode :1996CQGra..13.1931S. doi :10.1088/0264-9381/13/7/021. S2CID  250815723. Aplicación del conteo de restricciones a la geometría de Riemann y a la relatividad general.