subderivada

Generalización de derivadas a funciones de valor real.

Una función convexa (azul) y "líneas subtangentes" en (rojo). ${\displaystyle x_{0}}$

En matemáticas , subderivadas (o subgradiente) generaliza la derivada a funciones convexas que no son necesariamente diferenciables . El conjunto de subderivadas en un punto se llama subdiferencial en ese punto. ^[1] Las subderivadas surgen en el análisis convexo , el estudio de funciones convexas , a menudo en conexión con la optimización convexa .

Sea una función convexa de valor real definida en un intervalo abierto de la recta real. No es necesario que una función de este tipo sea diferenciable en todos los puntos: por ejemplo, la función de valor absoluto no es diferenciable cuando . Sin embargo, como se ve en el gráfico de la derecha (donde en azul tiene puntos no diferenciables similares a la función de valor absoluto), para cualquiera en el dominio de la función se puede dibujar una línea que pase por el punto y que esté en todas partes. tocando o debajo de la gráfica de f . La pendiente de dicha recta se llama subderivada . ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$

Definición

Rigurosamente, una subderivada de una función convexa en un punto del intervalo abierto es un número real tal que ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$

teorema del valor medioconjuntointervalo cerrado no vacíolímites unilaterales ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$

$${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$

intervalosubdiferencial^[2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$

Ejemplo

Considere la función que es convexa. Entonces, el subdiferencial en el origen es el intervalo . El subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton , mientras que el subdiferencial en cualquier punto es el conjunto singleton . Esto es similar a la función de signo , pero no tiene un solo valor en , sino que incluye todas las subderivadas posibles. ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x_{0}<0}$ ${\displaystyle \{-1\}}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades

• Una función convexa es diferenciable en si y sólo si el subdiferencial es un conjunto singleton, que es . ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{f'(x_{0})\}}$
• Un punto es un mínimo global de una función convexa si y sólo si cero está contenido en el subdiferencial. Por ejemplo, en la figura anterior, se puede dibujar una "línea subtangente" horizontal a la gráfica de at . Esta última propiedad es una generalización del hecho de que la derivada de una función derivable en un mínimo local es cero. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$
• Si y son funciones convexas con subdiferenciales y siendo el punto interior de una de las funciones, entonces la subdiferencial de es (donde el operador de suma denota la suma de Minkowski ). Esto se lee como "el subdiferencial de una suma es la suma de los subdiferenciales". ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial f(x)}$ ${\displaystyle \partial g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$

El subgradiente

Los conceptos de subderivada y subdiferencial se pueden generalizar a funciones de varias variables. Si es una función convexa de valor real definida en un conjunto abierto convexo en el espacio euclidiano , un vector en ese espacio se llama subgradiente en si cualquiera tiene eso ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),}$

donde el punto denota el producto escalar . El conjunto de todos los subgradientes en se llama subdiferencial en y se denota . El subdiferencial es siempre un conjunto compacto convexo no vacío . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$

Estos conceptos se generalizan aún más a funciones convexas en un conjunto convexo en un espacio localmente convexo . Un funcional en el espacio dual se llama subgradiente en si para todos , ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

El conjunto de todos los subgradientes en se llama subdiferencial en y nuevamente se denota . El subdiferencial es siempre un conjunto cerrado convexo . Puede ser un conjunto vacío; Considere, por ejemplo, un operador ilimitado , que es convexo, pero no tiene subgradiente. Si es continuo, el subdiferencial no está vacío. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$

Historia

El subdiferencial de funciones convexas fue introducido por Jean Jacques Moreau y R. Tyrrell Rockafellar a principios de los años 1960. El subdiferencial generalizado para funciones no convexas fue introducido por FH Clarke y RT Rockafellar a principios de los años 1980. ^[4]

Ver también

• derivada débil
• Método de subgradiente

Referencias

1. Bubeck, S. (2014). Teoría de la optimización convexa para el aprendizaje automático. ArXiv, abs/1405.4980.
2. Rockafellar, RT (1970). Análisis convexo . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 242 [Teorema 25.1]. ISBN 0-691-08069-0.
3. Lemaréchal, Claude; Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (2001). Fundamentos del análisis convexo . Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pag. 183.ISBN​ 978-3-642-56468-0.
4. Clarke, Frank H. (1983). Optimización y análisis no fluido . Nueva York: John Wiley & Sons . págs. xiii+308. ISBN  0-471-87504-X. SEÑOR  0709590.

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrián S. (2010). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo . Saltador. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . World Scientific Publishing Co., Inc. págs. xx+367. ISBN 981-238-067-1. SEÑOR  1921556.

enlaces externos

• "Usos de lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h {\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh )}{2h}}} ". Intercambio de pila . 18 de septiembre de 2011.