Subcontabilidad

En matemáticas constructivas , una colección es subcontable si existe una sobreyección parcial de los números naturales sobre ella. Esto puede expresarse como donde denota que es una función sobreyectiva de un sobre . La sobreyección es un miembro de y aquí se requiere que la subclase de sea un conjunto. En otras palabras, todos los elementos de una colección subcontable son funcionalmente la imagen de un conjunto indexador de números contables y, por lo tanto, el conjunto puede entenderse como dominado por el conjunto contable . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \exists (I\subseteq {\mathbb {N} }).\,\exists f.\,(f\colon I\twoheadrightarrow X),}$$ ${\displaystyle f\colon I\twoheadrightarrow X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\rightharpoonup X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Discusión

Nomenclatura

Obsérvese que la nomenclatura de las propiedades de numerabilidad y finitud varía sustancialmente, en parte porque muchas de ellas coinciden cuando se supone que existe un tercero excluido. Para reiterar, el análisis aquí se refiere a la propiedad definida en términos de sobreyecciones sobre el conjunto que se caracteriza. El lenguaje utilizado aquí es común en los textos de teoría de conjuntos constructivos , pero el nombre de subcontable también se ha dado a propiedades en términos de inyecciones fuera del conjunto que se caracteriza. ${\displaystyle X}$

El conjunto en la definición también puede abstraerse y, en términos de la noción más general, puede llamarse subcociente de . ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Ejemplo

Los casos importantes son aquellos en los que el conjunto en cuestión es una subclase de una clase mayor de funciones, como se estudia en la teoría de la computabilidad . Para contextualizar, recordemos que ser total no es una propiedad decidible de las funciones. De hecho, según el teorema de Rice sobre conjuntos de índices , la mayoría de los dominios de índices no son, de hecho, conjuntos computables .

No puede haber una sobreyección computable de sobre el conjunto de funciones computables totales , como se demuestra a través de la función de la construcción diagonal, que nunca podría estar en tal imagen de sobreyección. Sin embargo, a través de los códigos de todas las posibles funciones computables parciales , que también permiten programas no terminantes, se ve que dichos subconjuntos de funciones, como las funciones totales, son conjuntos subcontables: Las funciones totales son el rango de algún subconjunto estricto de los números naturales. Al estar dominado por un conjunto incomputable de números naturales, el nombre subcontable transmite que el conjunto no es mayor que . Al mismo tiempo, para alguna semántica constructiva restrictiva particular de los espacios de funciones, en los casos en que se demuestra que no es computablemente enumerable , entonces tampoco es contable , y lo mismo se aplica a . ${\displaystyle n\mapsto f_{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\mapsto f_{n}(n)+1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Obsérvese que en la definición de subcontabilidad no se afirma ningún mapa efectivo entre todos los números contables y el conjunto de indexación ilimitado y no finito , sino simplemente la relación de subconjunto . Una demostración de que es subcontable al mismo tiempo implica que es clásicamente (no constructivamente) formalmente contable, pero esto no refleja ninguna contabilidad efectiva. En otras palabras, el hecho de que un algoritmo que enumera todas las funciones totales en secuencia no pueda codificarse no se refleja en los axiomas clásicos sobre la existencia de conjuntos y funciones. Vemos que, dependiendo de los axiomas de una teoría, la subcontabilidad puede tener más probabilidades de ser demostrable que la contabilidad. ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$

Relación con el tercero excluido

En las lógicas constructivas y las teorías de conjuntos, la existencia de una función entre conjuntos infinitos (no finitos) se vincula a cuestiones de decidibilidad y posiblemente de efectividad . Allí, la propiedad de subcontabilidad se separa de la contabilidad y, por lo tanto, no es una noción redundante. Se puede postular que el conjunto indexador de números naturales existe, por ejemplo, como un subconjunto a través de axiomas teóricos de conjuntos como el esquema del axioma de separación . Entonces, por definición de , Pero este conjunto puede entonces no ser separable, en el sentido de que puede no ser demostrable sin asumirlo como un axioma. Uno puede no contar efectivamente el conjunto subcontable si no logra mapear los números contables en el conjunto indexador , por esta razón. Ser contable implica ser subcontable . En el contexto apropiado con el principio de Markov , el inverso es equivalente a la ley del tercio excluido , es decir, que para toda proposición se cumple . En particular, constructivamente, esta dirección inversa generalmente no se cumple. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ $${\displaystyle \forall (i\in I).(i\in {\mathbb {N} }).}$$ $${\displaystyle \forall (n\in {\mathbb {N} }).{\big (}(n\in I)\lor \neg (n\in I){\big )}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \lor \neg \phi }$

En matemáticas clásicas

Si se afirman todas las leyes de la lógica clásica, la propiedad disyuntiva de la que se habló anteriormente se cumple para todos los conjuntos. Entonces, para un conjunto no vacío , las propiedades numerable (que aquí significa que se inyecta en ), contable ( tiene como rango), subcontable (un subconjunto de los suprayectos en ) y también no -productiva (una propiedad de contabilidad definida esencialmente en términos de subconjuntos de ) son todas equivalentes y expresan que un conjunto es finito o infinito contable . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$

Afirmaciones no clásicas

Sin la ley del tercero excluido, puede ser coherente afirmar la subcontabilidad de conjuntos que, clásicamente (es decir, de manera no constructiva) exceden la cardinalidad de los números naturales. Obsérvese que, en un contexto constructivo, una afirmación de contabilidad sobre el espacio de funciones a partir del conjunto completo , como en , puede ser refutada. Pero la subcontabilidad de un conjunto incontable por un conjunto que no es efectivamente separable de , puede ser permitida. ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\twoheadrightarrow {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I\twoheadrightarrow {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Una prueba constructiva también es válida desde el punto de vista clásico. Si se demuestra que un conjunto es incontable de manera constructiva, entonces, en un contexto clásico, es demostrable que no es subcontable. Como esto se aplica a , el marco clásico con su gran espacio de funciones es incompatible con la tesis constructiva de Church , un axioma del constructivismo ruso. ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$

Subcontable y ω-productivo son mutuamente excluyentes

Un conjunto se llamará - productivo si, siempre que cualquiera de sus subconjuntos sea el rango de alguna función parcial en , siempre existe un elemento que permanece en el complemento de ese rango. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle W\subset X}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d\in X\setminus W}$

Si existe alguna sobreyección sobre algún , entonces su complemento correspondiente como se describe sería igual al conjunto vacío , y por lo tanto un conjunto subcontable nunca es -productivo. Como se definió anteriormente, la propiedad de ser -productivo asocia el rango de cualquier función parcial a un valor particular que no está en el rango de la función, . De esta manera, un conjunto que es -productivo habla de lo difícil que es generar todos los elementos del mismo: no se pueden generar a partir de los naturales utilizando una sola función. La propiedad de -productividad constituye un obstáculo a la subcontabilidad. Como esto también implica incontabilidad, los argumentos diagonales a menudo involucran esta noción, explícitamente desde fines de los años setenta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle d\in X}$ ${\displaystyle d\notin W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Se puede establecer la imposibilidad de enumerabilidad computable de considerando solo los subconjuntos computablemente enumerables y se puede requerir que el conjunto de todos los obstructores sea la imagen de una función de producción recursiva total. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathbb {N} }\rightharpoonup X}$denota el espacio que contiene exactamente todas las funciones parciales en que tienen, como su rango, solo subconjuntos de . En la teoría de conjuntos, las funciones se modelan como una colección de pares. Siempre que sea un conjunto, el conjunto de conjuntos de pares puede usarse para caracterizar el espacio de funciones parciales en . Para un conjunto -productivo se encuentra ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \cup _{I\subseteq {\mathbb {N} }}X^{I}}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \forall (w\in ({\mathbb {N} }\rightharpoonup X)).\exists (d\in X).\forall (n\in {\mathbb {N} }).w(n)\neq d.}$

Leída de manera constructiva, esta propiedad asocia cualquier función parcial con un elemento que no se encuentra en el rango de esa función. Esta propiedad enfatiza la incompatibilidad de un conjunto -productivo con cualquier función sobreyectiva (posiblemente parcial). A continuación, se aplica esto en el estudio de los supuestos de subcontabilidad. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$

Teorías de conjuntos

Argumentos cantorianos sobre subconjuntos de los naturales

Como teoría de referencia, nos fijamos en la teoría de conjuntos constructivos CZF, que tiene Reemplazo , Separación Acotada , Infinito fuerte , es agnóstica respecto de la existencia de conjuntos potencia , pero incluye el axioma que afirma que cualquier espacio de funciones es un conjunto, dado que también lo son los conjuntos. En esta teoría, además, es coherente afirmar que todo conjunto es subcontable. En esta sección se analiza la compatibilidad de varios axiomas adicionales mediante posibles sobreyecciones sobre un conjunto infinito de números contables . Aquí denotaremos un modelo de los números naturales estándar. ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Recuerde que para las funciones , por definición de funcionalidad total, existe un valor de retorno único para todos los valores del dominio, ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \exists !(y\in Y).g(x)=y,}$

y para un conjunto subcontable, la sobreyección sigue siendo total en un subconjunto de . Constructivamente, se podrán demostrar menos afirmaciones existenciales de este tipo que de manera clásica. ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Las situaciones que se analizan a continuación (clases de potencia sobrepuestas frente a espacios de funciones sobrepuestas) son diferentes entre sí: a diferencia de los predicados de definición de subclases generales y sus valores de verdad (no necesariamente demostrablemente verdaderos y falsos), una función (que en términos de programación es terminal) sí hace accesible la información sobre los datos para todos sus subdominios (subconjuntos de ). Cuando como funciones características para sus subconjuntos, las funciones, a través de sus valores de retorno, deciden la pertenencia al subconjunto. Como la pertenencia a un conjunto definido de forma general no es necesariamente decidible, las funciones (totales) no están automáticamente en biyección con todos los subconjuntos de . Así que, de forma constructiva, los subconjuntos son un concepto más elaborado que las funciones características. De hecho, en el contexto de algunos axiomas no clásicos sobre CZF, incluso la clase de potencia de un singleton, por ejemplo, la clase de todos los subconjuntos de , se muestra como una clase propia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Sobre las clases de poder

A continuación se utiliza el hecho de que el caso especial de la ley de introducción de la negación implica que es contradictorio. ${\displaystyle (P\to \neg P)\to \neg P}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow \neg P}$

Para simplificar el argumento, supongamos que es un conjunto. Luego, consideremos un subconjunto y una función . Además, como en el teorema de Cantor sobre conjuntos potencia, defina ^[2] donde, Esta es una subclase de definida en dependencia de y también puede escribirse Existe como subconjunto a través de Separación. Ahora, suponiendo que existe un número con implica la contradicción Entonces, como un conjunto, uno encuentra que es -productiva en el sentido de que podemos definir una obstrucción para cualquier sobreyección dada. Observe también que la existencia de una sobreyección se convertiría automáticamente en un conjunto, a través del Reemplazo en CZF, y por lo tanto la existencia de esta función es incondicionalmente imposible. ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle w\colon I\to {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ $${\displaystyle d=\{k\in {\mathbb {N} }\mid k\in I\land D(k)\}}$$ $${\displaystyle D(k)=\neg (k\in w(k)).}$$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle w}$ $${\displaystyle d=\{k\in I\mid \neg (k\in w(k))\}.}$$ ${\displaystyle n\in I}$ ${\displaystyle w(n)=d}$ $${\displaystyle n\in d\,\leftrightarrow \,\neg (n\in d).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\colon I\twoheadrightarrow {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$

Concluimos que el axioma de subcontabilidad, que afirma que todos los conjuntos son subcontables, es incompatible con ser un conjunto, como lo implica, por ejemplo, el axioma del conjunto potencia. ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$

La prueba anterior deja claro que no podemos mapear en ninguno de los dos. La separación acotada implica, de hecho, que ningún conjunto se mapea en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$

De manera similar, para cualquier función , un análisis similar que utilice el subconjunto de su rango muestra que no puede ser una inyección. La situación es más complicada para los espacios de funciones. ^[3] ${\displaystyle h\colon {\mathcal {P}}Y\to Y}$ ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists (S\in {\mathcal {P}}Y).y=h(S)\land y\notin S\}}$ ${\displaystyle h}$

En la ZFC clásica sin Powerset o cualquiera de sus equivalentes, también es consistente que todas las subclases de los números reales que son conjuntos son subcontables. En ese contexto, esto se traduce en la afirmación de que todos los conjuntos de números reales son contables. ^[4] Por supuesto, esa teoría no tiene el conjunto del espacio de funciones . ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$

Sobre espacios funcionales

Por definición de espacios funcionales, el conjunto contiene aquellos subconjuntos del conjunto que son demostrablemente totales y funcionales. Afirmar la subcontabilidad permitida de todos los conjuntos convierte, en particular, en un conjunto subcontable. ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$

Así que aquí consideramos una función sobreyectiva y el subconjunto de separados como ^[5] con el predicado diagonalizante definido como que también podemos expresar sin las negaciones como Este conjunto es clásicamente demostrable una función en , diseñada para tomar el valor para entradas particulares . Y puede usarse clásicamente para probar que la existencia de como una sobreyección es realmente contradictoria. Sin embargo, de manera constructiva, a menos que la proposición en su definición sea decidible de modo que el conjunto realmente defina una asignación funcional, no podemos probar que este conjunto sea un miembro del espacio de funciones. Y entonces simplemente no podemos sacar la conclusión clásica. ${\displaystyle f\colon I\twoheadrightarrow {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }}$ $${\displaystyle {\Big \{}\langle n,y\rangle \in {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }\mid {\big (}n\in I\land D(n,y){\big )}\lor {\big (}\neg (n\in I)\land y=1{\big )}{\Big \}}}$$ $${\displaystyle D(n,y)={\big (}\neg (f(n)(n)\geq 1)\land y=1{\big )}\lor {\big (}\neg (f(n)(n)=0)\land y=0{\big )}}$$ $${\displaystyle D(n,y)={\big (}f(n)(n)=0\land y=1{\big )}\lor {\big (}f(n)(n)\geq 1\land y=0{\big )}.}$$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\in I}$

De esta manera, se permite la subcontabilidad de y, de hecho, existen modelos de la teoría. Sin embargo, también en el caso de CZF, la existencia de una sobreyección completa , con dominio , es de hecho contradictoria. La pertenencia decidible de hace que el conjunto tampoco sea contable, es decir, incontable. ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\twoheadrightarrow {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I={\mathbb {N} }}$

Más allá de estas observaciones, observe también que para cualquier número distinto de cero , las funciones en que involucran la sobreyección no pueden extenderse a todos los de mediante un argumento de contradicción similar. Esto puede expresarse diciendo que hay entonces funciones parciales que no pueden extenderse a funciones completas en . Observe que cuando se da un , no se puede decidir necesariamente si , y por lo tanto ni siquiera se puede decidir si el valor de una extensión de función potencial en ya está determinado para la sobreyección caracterizada previamente . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i\mapsto f(i)(i)+a}$ ${\displaystyle I\to {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\to {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

El axioma de subcontabilidad, que afirma que todos los conjuntos son subcontables, es incompatible con cualquier nuevo axioma que los haga contables, incluido el LEM. ${\displaystyle I}$

Modelos

El análisis anterior afecta las propiedades formales de las codificaciones de . Se han construido modelos para la extensión no clásica de la teoría CZF mediante postulados de subcontabilidad. ^[6] Dichos axiomas no constructivos pueden verse como principios de elección que, sin embargo, no tienden a aumentar mucho la fortaleza teórica de las teorías. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Existen modelos de IZF en los que todos los conjuntos con relaciones de separación son subcontables. ^[7]
• CZF tiene un modelo en, por ejemplo, la teoría de tipos de Martin-Löf . En esta teoría de conjuntos constructiva con espacios de funciones clásicamente incontables, es de hecho consistente afirmar el Axioma de Subcontabilidad , diciendo que todo conjunto es subcontable. Como se ha discutido, la teoría resultante está en contradicción con el axioma del conjunto potencia y con la ley del medio excluido . ${\displaystyle {\mathsf {ML_{1}V}}}$
• Más fuertes aún, algunos modelos de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek , una teoría sin el postulado del espacio funcional, incluso validan que todos los conjuntos son contables.

La noción de tamaño

La subcontabilidad como juicio de tamaño pequeño no debe confundirse con la definición matemática estándar de las relaciones de cardinalidad definidas por Cantor, en la que la cardinalidad menor se define en términos de inyecciones y la igualdad de cardinalidades se define en términos de biyecciones. Constructivamente, el preorden " " en la clase de conjuntos no es decidible y antisimétrico. El espacio de funciones (y también ) en una teoría de conjuntos moderadamente rica siempre resulta no ser finito ni estar en biyección con , según el argumento diagonal de Cantor . Esto es lo que significa ser incontable. Pero el argumento de que la cardinalidad de ese conjunto excedería en cierto sentido a la de los números naturales se basa en una restricción a solo la concepción clásica de tamaño y su ordenación inducida de conjuntos por cardinalidad. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Como se ve en el ejemplo del espacio de funciones considerado en la teoría de la computabilidad , no todo subconjunto infinito de necesariamente está en biyección constructiva con , lo que deja lugar a una distinción más refinada entre conjuntos incontables en contextos constructivos. Motivado por las secciones anteriores, el conjunto infinito puede considerarse "más pequeño" que la clase . ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathbb {N} }}$

Propiedades relacionadas

Un conjunto subcontable también se ha denominado alternativamente subcontablemente indexado . Existe una noción análoga en la que " " en la definición se reemplaza por la existencia de un conjunto que es un subconjunto de algún conjunto finito. Esta propiedad se denomina de diversas formas subfinitamente indexado . ${\displaystyle \exists (I\subseteq {\mathbb {N} })}$

En la teoría de categorías, todas estas nociones son subcocientes.

Véase también

• El argumento diagonal de Cantor
• Función computable
• Teoría de conjuntos constructivos
• Teorema de Schröder-Bernstein
• Subcociente
• Pedido total

Referencias

1. Gert Smolka, Paradoja y constructivismo de Skolems, Lecture Notes, Universidad del Sarre, enero de 2015
2. Méhkeri, Daniel (2010), Una interpretación computacional simple de la teoría de conjuntos , arXiv : 1005.4380
3. Bauer, A. "Una inyección de N^N a N", 2011
4. Gitman, Victoria (2011), ¿Qué es la teoría ZFC sin conjunto potencia ?, arXiv : 1110.2430
5. Bell, John L. (2004), "La paradoja de Russell y la diagonalización en un contexto constructivo" (PDF) , en Link, Godehard (ed.), Cien años de la paradoja de Russell , De Gruyter Series in Logic and its Applications, vol. 6, de Gruyter, Berlín, págs. 221–225, MR  2104745
6. Rathjen, Michael (2006), "Principios de elección en las teorías de conjuntos constructivas y clásicas" (PDF) , en Chatzidakis, Zoé; Koepke, Peter; Pohlers, Wolfram (eds.), Colloquium Logicum '02: Actas conjuntas de la Reunión Anual Europea de Verano de la Asociación de Lógica Simbólica y la Reunión Bianual de la Asociación Alemana de Lógica Matemática y Fundamentos de las Ciencias Exactas (el Colloquium Logicum) celebrada en Münster, del 3 al 11 de agosto de 2002 , Lecture Notes in Logic, vol. 27, La Jolla, CA: Association for Symbolic Logic, pp. 299–326, MR  2258712
7. McCarty, Charles (1986), "Subcontabilidad bajo realizabilidad", Notre Dame Journal of Formal Logic , 27 (2): 210–220, doi : 10.1305/ndjfl/1093636613 , MR  0842149