Axioma del infinito

Axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

En la teoría axiomática de conjuntos y las ramas de las matemáticas y la filosofía que la utilizan, el axioma de infinito es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito , es decir, un conjunto que contenga los números naturales . Fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo como parte de su teoría de conjuntos en 1908. ^[1]

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma se expresa de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle \exists I\ (\exists o\ (o\in I\ \land \ \lnot \exists n\ \ (n\in o))\ \land \ \forall x\ (x\in I\Rightarrow \exists y\ (y\in I\ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x))))).}$

En lenguaje técnico, esta expresión formal se interpreta como " existe un conjunto 𝐼 (el conjunto que se postula que es infinito) tal que el conjunto vacío es un elemento de él y, para cada elemento de 𝐼 , existe un elemento de 𝐼 que consiste sólo en los elementos de y de él mismo". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Esta fórmula se puede abreviar como:

${\displaystyle \exists I\,(\varnothing \in I\,\land \,\forall x\,(x\in I\Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in I)).}$

Algunos matemáticos pueden llamar a un conjunto construido de esta manera un conjunto inductivo .

Interpretación y consecuencias

Este axioma está estrechamente relacionado con la construcción de von Neumann de los números naturales en la teoría de conjuntos, en la que el sucesor de x se define como x ∪ { x }. Si x es un conjunto, entonces se deduce de los otros axiomas de la teoría de conjuntos que este sucesor también es un conjunto definido de manera única. Los sucesores se utilizan para definir la codificación habitual de la teoría de conjuntos de los números naturales . En esta codificación, cero es el conjunto vacío:

0 = {}.

El número 1 es el sucesor del 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

De igual forma, 2 es el sucesor de 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

etcétera:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Una consecuencia de esta definición es que todo número natural es igual al conjunto de todos los números naturales anteriores. El recuento de elementos de cada conjunto, en el nivel superior, es el mismo que el del número natural representado, y la profundidad de anidación del conjunto vacío {} más profundamente anidado, incluida su anidación en el conjunto que representa el número del que forma parte, también es igual al número natural que representa el conjunto.

Esta construcción forma los números naturales. Sin embargo, los demás axiomas son insuficientes para demostrar la existencia del conjunto de todos los números naturales, . Por lo tanto, su existencia se toma como un axioma: el axioma de infinito. Este axioma afirma que existe un conjunto I que contiene a 0 y es cerrado bajo la operación de tomar el sucesor; es decir, para cada elemento de I , el sucesor de ese elemento también está en I . ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Así pues la esencia del axioma es:

Hay un conjunto, I , que incluye todos los números naturales.

El axioma de infinito es también uno de los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel .

Extrayendo los números naturales del conjunto infinito

El conjunto infinito I es un superconjunto de los números naturales. Para demostrar que los números naturales constituyen un conjunto, se puede aplicar el esquema axiomático de especificación para eliminar los elementos no deseados, dejando el conjunto N de todos los números naturales. Este conjunto es único por el axioma de extensionalidad .

Para extraer los números naturales, necesitamos una definición de qué conjuntos son números naturales. Los números naturales se pueden definir de una manera que no suponga ningún axioma excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de inducción : un número natural es cero o un sucesor y cada uno de sus elementos es cero o un sucesor de otro de sus elementos. En lenguaje formal, la definición dice:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

O, aún más formalmente:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Método alternativo

Un método alternativo es el siguiente. Sea la fórmula que dice "x es inductiva"; es decir , . De manera informal, lo que haremos será tomar la intersección de todos los conjuntos inductivos. De manera más formal, deseamos demostrar la existencia de un conjunto único tal que ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

Para la existencia, utilizaremos el Axioma de Infinito combinado con el esquema axiomático de especificación . Sea un conjunto inductivo garantizado por el Axioma de Infinito. Luego utilizamos el esquema axiomático de especificación para definir nuestro conjunto – es decir es el conjunto de todos los elementos de , que también resultan ser elementos de cualquier otro conjunto inductivo. Esto satisface claramente la hipótesis de (*), ya que si , entonces está en cada conjunto inductivo, y si está en cada conjunto inductivo, está en particular en , por lo que también debe estar en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W}$

Para la unicidad, primero note que cualquier conjunto que satisface (*) es en sí mismo inductivo, ya que 0 está en todos los conjuntos inductivos, y si un elemento está en todos los conjuntos inductivos, entonces por la propiedad inductiva también lo está su sucesor. Por lo tanto, si hubiera otro conjunto que satisficiera (*) tendríamos que ya que es inductivo, y ya que es inductivo. Por lo tanto . Sea este elemento único. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'\subseteq W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W\subseteq W'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W=W'}$ ${\displaystyle \omega }$

Esta definición es conveniente porque el principio de inducción se deduce inmediatamente: Si es inductivo, entonces también , de modo que . ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle \omega \subseteq I}$ ${\displaystyle I=\omega }$

Ambos métodos producen sistemas que satisfacen los axiomas de la aritmética de segundo orden , ya que el axioma del conjunto potencia nos permite cuantificar sobre el conjunto potencia de , como en la lógica de segundo orden . Por lo tanto, ambos determinan completamente los sistemas isomorfos y, dado que son isomorfos bajo la función identidad , de hecho deben ser iguales . ${\displaystyle \omega }$

Una versión aparentemente más débil

Algunos textos antiguos utilizan una versión aparentemente más débil del axioma del infinito, a saber:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

Esto dice que x no es vacío y para cada elemento y de x hay otro elemento z de x tal que y es un subconjunto de z e y no es igual a z . Esto implica que x es un conjunto infinito sin decir mucho sobre su estructura. Sin embargo, con la ayuda de los otros axiomas de ZF, podemos mostrar que esto implica la existencia de ω. Primero, si tomamos el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito x , entonces ese conjunto potencia contendrá elementos que son subconjuntos de x de cada cardinalidad finita (entre otros subconjuntos de x ). Probar la existencia de esos subconjuntos finitos puede requerir el axioma de separación o los axiomas de emparejamiento y unión. Luego podemos aplicar el axioma de reemplazo para reemplazar cada elemento de ese conjunto potencia de x por el número ordinal inicial de la misma cardinalidad (o cero, si no hay tal ordinal). El resultado será un conjunto infinito de ordinales. Luego podemos aplicar el axioma de unión para obtener un ordinal mayor o igual a ω.

Independencia

El axioma de infinito no se puede demostrar a partir de los otros axiomas de ZFC si son consistentes. (Para ver por qué, observe que ZFC Con(ZFC − Infinito) y use el Segundo teorema de incompletitud de Gödel ). ${\displaystyle \vdash }$

La negación del axioma de infinito no puede derivarse del resto de los axiomas de ZFC, si son consistentes. (Esto equivale a decir que ZFC es consistente, si los otros axiomas son consistentes.) Por lo tanto, ZFC no implica ni el axioma de infinito ni su negación y es compatible con ambos.

De hecho, utilizando el universo de von Neumann , podemos construir un modelo de ZFC − Infinito + (¬Infinito). Es , la clase de conjuntos finitos hereditarios , con la relación de pertenencia heredada. Nótese que si el axioma del conjunto vacío no se toma como parte de este sistema (ya que puede derivarse de ZF + Infinito), entonces el dominio vacío también satisface ZFC − Infinito + ¬Infinito, ya que todos sus axiomas están cuantificados universalmente y, por lo tanto, se satisfacen trivialmente si no existe ningún conjunto. ${\displaystyle V_{\omega }\!}$

La cardinalidad del conjunto de números naturales, aleph null ( ), tiene muchas de las propiedades de un gran cardinal . Así, el axioma de infinito a veces se considera como el primer gran axioma cardinal , y a la inversa, los grandes axiomas cardinales a veces se denominan ^{[ ¿ por quién? ]} axiomas de infinito más fuertes. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Véase también

• Axiomas de Peano
• Finitismo

Referencias

1. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre , 1907, en: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axioma de los Unendlichen p. 266 y sigs.
2. "Explorador de pruebas de Metamath". Metamath .

• Paul Halmos (1960) Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reimpreso en 1974 por Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6 . 
• Thomas Jech (2003) Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kenneth Kunen (1980) Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Hrbaček, Karel; Jech, Thomas (1999). Introducción a la teoría de conjuntos (3 ed.). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0.