Variedad subriemanniana

Tipo de generalización de una variedad de Riemann

En matemáticas , una variedad subriemanniana es un tipo de generalización de una variedad riemanniana . En términos generales, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite recorrer curvas tangentes a los denominados subespacios horizontales .

Las variedades subriemannianas (y, por lo tanto, a fortiori , las variedades riemannianas) tienen una métrica intrínseca natural llamada métrica de Carnot-Carathéodory . La dimensión de Hausdorff de dichos espacios métricos es siempre un número entero y mayor que su dimensión topológica (a menos que sea en realidad una variedad riemanniana).

Las variedades subriemannianas se dan a menudo en el estudio de sistemas restringidos en mecánica clásica , como el movimiento de vehículos sobre una superficie, el movimiento de brazos robóticos y la dinámica orbital de satélites. Las magnitudes geométricas como la fase de Berry pueden entenderse en el lenguaje de la geometría subriemanniana. El grupo de Heisenberg , importante para la mecánica cuántica , tiene una estructura subriemanniana natural.

Definiciones

Por una distribución de entendemos un subfibrado del fibrado tangente de (véase también distribución ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dada una distribución, un campo vectorial en se llama horizontal . Una curva en se llama horizontal si para cualquier . ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$ ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$ ${\displaystyle t}$

Una distribución en se llama completamente no integrable o generadora de corchetes si para cualquier tenemos que cualquier vector tangente puede presentarse como una combinación lineal de corchetes de Lie de campos horizontales, es decir, vectores de la forma donde todos los campos vectoriales son horizontales. Este requisito también se conoce como condición de Hörmander . ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ $${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$$ ${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$

Una variedad subriemanniana es una triple , donde es una variedad diferenciable , es una distribución "horizontal" completamente no integrable y es una sección suave de formas cuadráticas definidas positivas en . ${\displaystyle (M,H,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$

Cualquier variedad subriemanniana (conexa) lleva una métrica intrínseca natural , llamada métrica de Carnot-Carathéodory, definida como

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

donde el ínfimo se toma a lo largo de todas las curvas horizontales tales que , . Las curvas horizontales se pueden tomar como continuas de Lipschitz , absolutamente continuas o en el espacio de Sobolev, lo que produce la misma métrica en todos los casos. ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle H^{1}([0,1],M)}$

El hecho de que la distancia de dos puntos sea siempre finita (es decir, que dos puntos estén conectados por una curva horizontal) es una consecuencia de la condición de Hörmander conocida como teorema de Chow-Rashevskii .

Ejemplos

La posición de un automóvil en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas para la ubicación y un ángulo que describe la orientación del automóvil. Por lo tanto, la posición del automóvil puede describirse mediante un punto en una variedad ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Se puede preguntar cuál es la distancia mínima que se debe recorrer para llegar de una posición a otra. Esto define una métrica de Carnot-Carathéodory en la variedad

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Un ejemplo estrechamente relacionado de una métrica subriemanniana se puede construir en un grupo de Heisenberg : tomemos dos elementos y en el álgebra de Lie correspondiente tales que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

abarca todo el álgebra. La distribución abarcada por los desplazamientos a la izquierda de y es completamente no integrable . Luego, al elegir cualquier forma cuadrática positiva suave en se obtiene una métrica subriemanniana en el grupo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H}$

Propiedades

Para cada variedad subriemanniana existe un hamiltoniano , llamado hamiltoniano subriemanniano , construido a partir de la métrica de la variedad. A la inversa, cada hamiltoniano cuadrático induce una variedad subriemanniana.

Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi correspondientes para el hamiltoniano subriemanniano se denominan geodésicas y generalizan las geodésicas de Riemann .

Véase también

• Grupo de Carnot , una clase de grupos de Lie que forman variedades subriemannianas.
• Distribución
• La condición de Hörmander
• Control óptimo

Referencias

• Agrachev, Andrei; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, eds. (2019), Introducción completa a la geometría subriemanniana , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, doi :10.1017/9781108677325, ISBN 9781108677325
• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Geometría subriemanniana, Progreso en matemáticas, vol. 144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, Sr.  1421821
• Gromov, Mikhael (1996), "Espacios de Carnot-Carathéodory vistos desde dentro", en Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Geometría subriemanniana (PDF) , Progr. Math., vol. 144, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, pp. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, MR  1421823, archivado desde el original (PDF) el 9 de julio de 2015
• Le Donne, Enrico, Apuntes de clase sobre geometría subriemanniana (PDF)
• Montgomery, Richard (2002), Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones , Encuestas matemáticas y monografías, vol. 91, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9