Cuaterniones hamiltonianos clásicos

El tratamiento original de Hamilton de los cuaterniones.

William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones , una entidad matemática en 1843. Este artículo describe el tratamiento original de Hamilton de los cuaterniones, utilizando su notación y términos. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones . Matemáticamente, los cuaterniones discutidos difieren de la definición moderna sólo por la terminología que se utiliza.

Elementos clásicos de un cuaternión.

Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional ; ^[1] o, más generalmente, como el cociente de dos vectores. ^[2]

Un cuaternión se puede representar como la suma de un escalar y un vector. También se puede representar como el producto de su tensor y su versor.

Escalar

Hamilton inventó el término escalares para los números reales , porque abarcan la "escala de progresión del infinito positivo al negativo" ^[3] o porque representan la "comparación de posiciones en una escala común". ^[4] Hamilton consideraba el álgebra escalar ordinaria como la ciencia del tiempo puro. ^[5]

Vector

Hamilton definió un vector como "una línea recta... que no sólo tiene longitud sino también dirección". ^[6] Hamilton derivó la palabra vector del latín vehere, llevar. ^[7]

Hamilton concibió un vector como la "diferencia de sus dos puntos extremos". ^[6] Para Hamilton, un vector era siempre una entidad tridimensional, que tenía tres coordenadas relativas a cualquier sistema de coordenadas dado, incluidos, entre otros, sistemas polares y rectangulares . ^[8] Por lo tanto, se refirió a los vectores como "tripletes".

Hamilton definió la suma de vectores en términos geométricos, colocando el origen del segundo vector al final del primero. ^[9] Continuó definiendo la resta de vectores.

Al sumar un vector a sí mismo varias veces, definió la multiplicación de un vector por un número entero , luego extendió esto a la división por un número entero y a la multiplicación (y división) de un vector por un número racional. Finalmente, tomando límites, definió el resultado de multiplicar un vector α por cualquier escalar x como un vector β con la misma dirección que α si x es positivo; la dirección opuesta a α si x es negativo; y una longitud que es | x | veces la longitud de α. ^[10]

El cociente de dos vectores paralelos o antiparalelos es, por tanto, un escalar con valor absoluto igual a la relación de las longitudes de los dos vectores; el escalar es positivo si los vectores son paralelos y negativo si son antiparalelos. ^[11]

Vector unitario

Un vector unitario es un vector de longitud uno. Ejemplos de vectores unitarios incluyen i, j y k.

Tensor

Nota: El uso de la palabra tensor por parte de Hamilton no coincide con la terminología moderna. El tensor de Hamilton es en realidad el valor absoluto del álgebra de cuaterniones, lo que lo convierte en un espacio vectorial normado .

Hamilton definió el tensor como una cantidad numérica positiva o, más propiamente, un número sin signos. ^{[12] [13] [14]} Un tensor puede considerarse como un escalar positivo. ^[15] Se puede considerar que el "tensor" representa un "factor de estiramiento". ^[dieciséis]

Hamilton introdujo el término tensor en su primer libro, Lectures on Quaternions, basado en conferencias que dio poco después de su invención de los cuaterniones:

• parece conveniente ampliar por definición el significado de la nueva palabra tensor, para hacerla capaz de incluir también aquellos otros casos en los que operamos sobre una línea disminuyendo en lugar de aumentando su longitud; y generalmente alterando esa longitud en cualquier proporción definida. Tendremos así (como se insinuaba al final del artículo en cuestión) tensores fraccionarios e incluso inconmensurables , que serán simplemente multiplicadores numéricos, y serán todos números positivos o (para hablar más propiamente) sin signo , es decir, desvestidos de los signos algebraicos de positivo y negativo ; porque, en la operación aquí considerada, nos abstraemos de las direcciones (así como de las situaciones) de las líneas que se comparan o se operan.

Cada cuaternión tiene un tensor, que es una medida de su magnitud (de la misma manera que la longitud de un vector es una medida de la magnitud de un vector). Cuando un cuaternión se define como el cociente de dos vectores, su tensor es la relación de las longitudes de estos vectores.

versor

Un versor es un cuaternión con un tensor de 1. Alternativamente, un versor se puede definir como el cociente de dos vectores de igual longitud. ^{[17] [18]}

En general, un versor define todo lo siguiente: un eje direccional; el plano normal a ese eje; y un ángulo de rotación. ^[19]

Cuando se multiplican un versor y un vector que se encuentra en el plano del versor, el resultado es un nuevo vector de la misma longitud pero girado en el ángulo del versor.

Arco vectorial

Dado que cada vector unitario puede considerarse como un punto en una esfera unitaria , y dado que un versor puede considerarse como el cociente de dos vectores, un versor tiene un arco de círculo máximo representativo , llamado arco vectorial , que conecta estos dos puntos, extraído del divisor o parte inferior del cociente, al dividendo o parte superior del cociente. ^{[20] [21]}

versor derecho

Cuando el arco de un versor tiene la magnitud de un ángulo recto , entonces se llama versor recto , versor radial recto o versor cuadrantal .

Formas degeneradas

Hay dos casos especiales de versores degenerados, llamados escalares unitarios. ^[22] Estos dos escalares (unidad negativa y positiva) pueden considerarse cuaterniones escalares . Estos dos escalares son casos límite especiales, correspondientes a versores con ángulos de cero o π.

A diferencia de otros versores, estos dos no pueden representarse mediante un arco único. El arco de 1 es un solo punto, y –1 puede representarse mediante un número infinito de arcos, porque hay un número infinito de líneas más cortas entre los puntos antípodas de una esfera.

Cuaternio

Cada cuaternión se puede descomponer en un escalar y un vector.

${\displaystyle q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)}$

Estas dos operaciones S y V se denominan "tomar el escalar de" y "tomar el vector de" un cuaternión. La parte vectorial de un cuaternión también se llama parte derecha. ^[23]

Cada cuaternión es igual a un versor multiplicado por el tensor del cuaternión. Denotando el versor de un cuaternión por

${\displaystyle \mathbf {U} q}$

y el tensor de un cuaternión por

${\displaystyle \mathbf {T} q}$

tenemos

${\displaystyle q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q}$

cuaternión derecho

Un múltiplo real de un versor derecho es un cuaternión derecho, por lo tanto un cuaternión derecho es un cuaternión cuyo componente escalar es cero,

${\displaystyle S(q)=0.}$

El ángulo de un cuaternión recto es de 90 grados. Entonces un cuaternión recto tiene sólo una parte vectorial y ninguna parte escalar. Los cuaterniones derechos se pueden expresar en forma de trinomio estándar. Por ejemplo, si Q es un cuaternión recto, puede escribirse como:

${\displaystyle Q=xi+yj+zk}$^[24]

Cuatro operaciones

Cuatro operaciones son de fundamental importancia en la notación de cuaterniones. ^[25]

+ − ÷ ×

En particular, es importante comprender que existe una única operación de multiplicación, una única operación de división y una única operación de suma y resta. Este operador de multiplicación única puede operar sobre cualquiera de los tipos de entidades matemáticas. Asimismo toda clase de entidad se puede dividir, sumar o restar de cualquier otro tipo de entidad. Comprender el significado del símbolo de resta es fundamental en la teoría de los cuaterniones, porque conduce a la comprensión del concepto de vector.

Operadores ordinales

Las dos operaciones ordinales en la notación clásica de cuaterniones eran suma y resta o + y −.

Estas marcas son:

"...características de síntesis y análisis de un estado de progresión, según se considere que este estado deriva de, o se compara con, algún otro estado de esa progresión." ^[26]

Sustracción

La resta es un tipo de análisis llamado análisis ordinal ^[27]

...consideremos ahora el espacio como el campo de progresión que debe estudiarse, y los PUNTOS como estados de esa progresión. ...Me llevo a considerar la palabra "Menos", o la marca −, en geometría, como el signo o característica del análisis de una posición geométrica (en el espacio), en comparación con otra (tal) posición. La comparación de un punto matemático con otro con vistas a la determinación de lo que podría llamarse su relación ordinal, o su posición relativa en el espacio... ^[28]

El primer ejemplo de resta es tomar el punto A para representar la tierra, y el punto B para representar el sol, luego una flecha trazada de A a B representa el acto de moverse o veción de A a B.

segundo - un

esto representa el primer ejemplo de un vector en las conferencias de Hamilton. En este caso el acto de viajar de la tierra al sol. ^{[29] [30]}

Suma

La suma es un tipo de análisis llamado síntesis ordinal. ^[31]

Suma de vectores y escalares.

Se pueden agregar vectores y escalares. Cuando se agrega un vector a un escalar, se crea una entidad completamente diferente, un cuaternión.

Un vector más un escalar es siempre un cuaternión incluso si el escalar es cero. Si el escalar agregado al vector es cero, entonces el nuevo cuaternión producido se llama cuaternión recto. Tiene un ángulo característico de 90 grados.

Operaciones cardinales

Las dos operaciones cardinales ^[32] en notación de cuaterniones son la multiplicación geométrica y la división geométrica y se pueden escribir:

÷, ×

No es necesario aprender los siguientes términos más avanzados para poder utilizar la división y la multiplicación.

La división es un tipo de análisis llamado análisis cardinal. ^[33] La multiplicación es un tipo de síntesis llamada síntesis cardinal ^[34]

División

Clásicamente, el cuaternión se consideraba la relación de dos vectores, a veces denominada fracción geométrica.

Si OA y OB representan dos vectores trazados desde el origen O hasta otros dos puntos A y B, entonces la fracción geométrica se escribió como

${\displaystyle OA:OB}$

Alternativamente, si los dos vectores están representados por α y β, el cociente se escribió como

${\displaystyle \alpha \div \beta }$

o

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$

Hamilton afirma: "El cociente de dos vectores es generalmente un cuaternión". ^[35] Lectures on Quaternions también introduce por primera vez el concepto de cuaternión como el cociente de dos vectores:

Lógicamente y por definición, ^{[36] [37]}

si ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

entonces . ${\displaystyle {q}\times {\beta }=\alpha .}$

En el cálculo de Hamilton el producto no es conmutativo , es decir, el orden de las variables es de gran importancia. Si se invirtiera el orden de q y β, el resultado en general no sería α. El cuaternión q puede considerarse como un operador que cambia β en α, primero girándolo, anteriormente un acto de versión , y luego cambiando su longitud, anteriormente llamado un acto de tensión .

También por definición el cociente de dos vectores es igual al numerador por el recíproco del denominador . Como la multiplicación de vectores no es conmutativa, el orden no se puede cambiar en la siguiente expresión.

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=\,{\alpha }\times {\frac {1}{\beta }}}$

Nuevamente el orden de las dos cantidades del lado derecho es significativo.

Hardy presenta la definición de división en términos de reglas mnemotécnicas de cancelación. "La cancelación se realiza mediante un golpe hacia arriba con la mano derecha". ^[38]

Si alfa y beta son vectores y q es un cuaternión tal que

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

entonces ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=q}$

y ^[39] ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}.\beta =\alpha \beta ^{-1}.\beta =\alpha }$

${\displaystyle \times }$y son operaciones inversas, tales que: ${\displaystyle \div }$

${\displaystyle \beta \div \alpha \times \alpha =\beta }$y ^[40] ${\displaystyle q\times \alpha \div \alpha =q}$

y

${\displaystyle \gamma =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )\times \alpha }$^[41]

Una forma importante de pensar en q es como un operador que cambia β en α, primero rotándolo ( versión ) y luego cambiando su longitud (tensión).

${\displaystyle \gamma \div \alpha =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )}$^[42]

División de los vectores unitarios i , j , k

Los resultados del uso del operador de división en i , j y k fueron los siguientes. ^[43]

El recíproco de un vector unitario es el vector invertido. ^[44]

${\displaystyle {\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i}$

Debido a que un vector unitario y su recíproco son paralelos entre sí pero apuntan en direcciones opuestas, el producto de un vector unitario y su recíproco tienen una propiedad conmutativa de caso especial, por ejemplo, si a es cualquier vector unitario entonces: ^[45]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.}$

Sin embargo, en el caso más general que involucra más de un vector (sea o no un vector unitario), la propiedad conmutativa no se cumple. ^[46] Por ejemplo:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}}$≠ ${\displaystyle {\frac {k}{i}}i.}$

Esto se debe a que k/i se define cuidadosamente como:

${\displaystyle {\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j}$.

De modo que:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k}$,

sin embargo

${\displaystyle {\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k}$

División de dos vectores paralelos

Si bien en general el cociente de dos vectores es un cuaternión, si α y β son dos vectores paralelos, entonces el cociente de estos dos vectores es un escalar. Por ejemplo, si

${\displaystyle \alpha =ai}$,

y luego ${\displaystyle \beta =bi}$

${\displaystyle \alpha \div \beta ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {ai}{bi}}={\frac {a}{b}}}$

Donde a/b es un escalar. ^[47]

División de dos vectores no paralelos

El cociente de dos vectores es en general el cuaternión:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$ ${\displaystyle ={\frac {T\alpha }{T\beta }}(\cos \phi +\epsilon \sin \phi )}$

Donde α y β son dos vectores no paralelos, φ es el ángulo entre ellos y ε es un vector unitario perpendicular al plano de los vectores α y β, con su dirección dada por la regla estándar de la mano derecha. ^[48]

Multiplicación

La notación clásica de cuaterniones tenía un solo concepto de multiplicación. La multiplicación de dos números reales, dos números imaginarios o un número real por un número imaginario en el sistema de notación clásico era la misma operación.

La multiplicación de un escalar y un vector se realizó con el mismo operador de multiplicación; la multiplicación de dos vectores de cuaterniones utilizó esta misma operación que la multiplicación de un cuaternión y un vector o de dos cuaterniones.

Factor, Faciend y Factum

Factor × Faciend = Factum ^[49]

Cuando se multiplican dos cantidades, la primera cantidad se llama factor, ^[50] la segunda cantidad se llama faciend y el resultado se llama factum.

Distributivo

En notación clásica, la multiplicación era distributiva . Comprender esto simplifica ver por qué el producto de dos vectores en notación clásica produjo un cuaternión.

${\displaystyle q=(ai+bj+ck)\times (ei+fj+gk)}$

${\displaystyle q=ae({i}\times {i})+af({i}\times {j})+ag({i}\times {k})+be({j}\times {i})+bf({j}\times {j})+bg({j}\times {k})+ce({k}\times {i})+cf({k}\times {j})+cg({k}\times {k})}$

Usando la tabla de multiplicar de cuaterniones tenemos:

${\displaystyle q=ae(-1)+af(+k)+ag(-j)+be(-k)+bf(-1)+bg(+i)+ce(+j)+cf(-i)+cg(-1)}$

Luego recopilando términos:

${\displaystyle q=-ae-bf-cg+(bg-cf)i+(ce-ag)j+(af-be)k}$

Los primeros tres términos son un escalar.

dejando

${\displaystyle w=-ae-bf-cg}$

${\displaystyle x=(bg-cf)}$

${\displaystyle y=(ce-ag)}$

${\displaystyle z=(af-be)}$

De modo que el producto de dos vectores es un cuaternión y se puede escribir en la forma:

${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$

Producto de dos cuaterniones derechos

El producto de dos cuaterniones rectos generalmente es un cuaternión.

Sean α y β los cuaterniones derechos que resultan de tomar los vectores de dos cuaterniones:

${\displaystyle \alpha =\mathbf {V} p}$

${\displaystyle \beta =\mathbf {V} q}$

Su producto en general es un nuevo cuaternión representado aquí por r. Este producto no es ambiguo porque la notación clásica tiene un solo producto.

${\displaystyle r=\,\alpha \beta ;}$

Como todos los cuaterniones, r ahora puede descomponerse en sus partes vectorial y escalar.

${\displaystyle r=\mathbf {S} r+\mathbf {V} r}$

Los términos de la derecha se llaman escalar del producto y vector del producto ^[51] de dos cuaterniones derechos.

Nota: "Escalar del producto" corresponde al producto escalar euclidiano de dos vectores hasta el cambio de signo (multiplicación a −1).

Otros operadores en detalle

Escalar y vectorial

Dos operaciones importantes en el sistema clásico de notación de cuaterniones fueron S (q) y V (q), que significaban tomar la parte escalar y tomar la parte imaginaria, lo que Hamilton llamó la parte vectorial del cuaternión. Aquí S y V son operadores que actúan sobre q. Los paréntesis se pueden omitir en este tipo de expresiones sin ambigüedad. Notación clásica:

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

Aquí, q es un cuaternión. S q es el escalar del cuaternión mientras que V q es el vector del cuaternión.

Conjugado

K es el operador conjugado. El conjugado de un cuaternión es un cuaternión que se obtiene multiplicando la parte vectorial del primer cuaternión por menos uno.

Si

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

entonces

${\displaystyle \mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q}$.

La expresion

${\displaystyle r=\,\mathbf {K} q}$,

es decir, asignar al cuaternión r el valor del conjugado del cuaternión q.

Tensor

T es el operador tensor. Devuelve una especie de número llamado tensor.

El tensor de un escalar positivo es ese escalar. El tensor de un escalar negativo es el valor absoluto del escalar (es decir, sin el signo negativo). Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {T} (5)=5}$

${\displaystyle \mathbf {T} (-5)=5}$

El tensor de un vector es, por definición, la longitud del vector. Por ejemplo, si:

${\displaystyle \alpha =xi+yj+zk}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

El tensor de un vector unitario es uno. Dado que el versor de un vector es un vector unitario, el tensor del versor de cualquier vector siempre es igual a la unidad. Simbólicamente:

${\displaystyle \mathbf {TU} \alpha =1}$^[52]

Un cuaternión es por definición el cociente de dos vectores y el tensor de un cuaternión es por definición el cociente de los tensores de estos dos vectores. En símbolos:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}.}$

${\displaystyle \mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.}$^[53]

A partir de esta definición se puede demostrar que una fórmula útil para el tensor de un cuaternión es: ^[54]

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

También se puede comprobar a partir de esta definición que otra fórmula para obtener el tensor de un cuaternión es a partir de la norma común, definida como el producto de un cuaternión y su conjugado. La raíz cuadrada de la norma común de un cuaternión es igual a su tensor.

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}}$

Una identidad útil es que el cuadrado del tensor de un cuaternión es igual al tensor del cuadrado de un cuaternión, por lo que se pueden omitir los paréntesis. ^[55]

${\displaystyle (\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}}$

Además, los tensores de los cuaterniones conjugados son iguales. ^[56]

${\displaystyle \mathbf {TK} q=\mathbf {T} q}$

El tensor de un cuaternión ahora se llama norma .

Eje y ángulo

Tomando el ángulo de un cuaternión no escalar, se obtuvo un valor mayor que cero y menor que π. ^{[57] [58]}

Cuando un cuaternión no escalar se considera el cociente de dos vectores, entonces el eje del cuaternión es un vector unitario perpendicular al plano de los dos vectores en este cociente original, en una dirección especificada por la regla de la mano derecha. ^[59] El ángulo es el ángulo entre los dos vectores.

En símbolos,

${\displaystyle u=Ax.q}$

${\displaystyle \theta =\angle q}$

Recíproco

Si

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$

entonces su recíproco se define como

${\displaystyle {\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}}$

La expresion:

${\displaystyle {q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}}$

Los recíprocos tienen muchas aplicaciones importantes, ^{[60] [61]} por ejemplo rotaciones , particularmente cuando q es un versor. Un versor tiene una fórmula sencilla para su recíproco. ^[62]

${\displaystyle {\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q}$

En palabras, el recíproco de un versor es igual a su conjugado. Los puntos entre operadores muestran el orden de las operaciones y también ayudan a indicar que S y U, por ejemplo, son dos operaciones diferentes en lugar de una única operación denominada SU.

norma común

El producto de un cuaternión por su conjugado es su norma común. ^[63]

La operación de tomar la norma común de un cuaternión se representa con la letra N. Por definición, la norma común es el producto de un cuaternión por su conjugado. Se puede demostrar ^{[64] [65]} que la norma común es igual al cuadrado del tensor de un cuaternión. Sin embargo, esta prueba no constituye una definición. Hamilton da definiciones exactas e independientes tanto de la norma común como del tensor. Esta norma fue adoptada según lo sugerido por la teoría de los números, sin embargo, como dice Hamilton, "no serán necesarios a menudo". El tensor es generalmente de mayor utilidad. La palabra norma no aparece en Lectures on Quaternions , y sólo dos veces en el índice de Elements of Quaternions .

En símbolos:

${\displaystyle \mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}}$

La norma común de un versor es siempre igual a la unidad positiva. ^[66]

${\displaystyle \mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1}$

bicuaterniones

Números geométricamente reales y geométricamente imaginarios.

En la literatura clásica sobre cuaterniones, la ecuación

${\displaystyle q^{2}=-1}$

Se pensaba que tenía infinitas soluciones que se llamaban geométricamente reales . Estas soluciones son los vectores unitarios que forman la superficie de una esfera unitaria.

Un cuaternión geométricamente real es aquel que puede escribirse como una combinación lineal de i , j y k , tal que los cuadrados de los coeficientes suman uno. Hamilton demostró que tenía que haber raíces adicionales en esta ecuación además de las raíces geométricamente reales. Dada la existencia del escalar imaginario, se pueden escribir varias expresiones y darles nombres propios. Todos estos formaban parte del cálculo de cuaterniones original de Hamilton. En símbolos:

${\displaystyle q+q'{\sqrt {-1}}}$

donde q y q′ son cuaterniones reales, y la raíz cuadrada de menos uno es el imaginario del álgebra ordinaria , y se denominan raíces imaginarias o simbólicas ^[67] y no cantidad vectorial geométricamente real.

escalar imaginario

Las cantidades geométricamente imaginarias son raíces adicionales de la ecuación anterior de naturaleza puramente simbólica. En el artículo 214 de Elementos, Hamilton demuestra que si hay i, j y k también tiene que haber otra cantidad h que sea un escalar imaginario, lo que, según observa, ya debería haberle ocurrido a cualquiera que hubiera leído con atención los artículos anteriores. ^[68] El artículo 149 de Elementos trata sobre números geométricamente imaginarios e incluye una nota a pie de página que introduce el término bicuaternión . ^[69] Los términos imaginario del álgebra ordinaria e imaginario escalar se utilizan a veces para estas cantidades geométricamente imaginarias.

Las raíces geométricamente imaginarias de una ecuación se interpretaban en el pensamiento clásico como situaciones geométricamente imposibles. El artículo 214 de Elementos de cuaterniones explora el ejemplo de la ecuación de una línea y un círculo que no se cruzan, como lo indica que la ecuación tiene solo una raíz geométricamente imaginaria. ^[70]

En los escritos posteriores de Hamilton propuso usar la letra h para denotar el escalar imaginario ^{[71] [72] [73]}

bicuaternión

En la página 665 de Elementos de cuaterniones, Hamilton define un bicuaternión como un cuaternión con coeficientes de números complejos . La parte escalar de un bicuaternión es entonces un número complejo llamado biescalar . La parte vectorial de un bicuaternión es un bivector que consta de tres componentes complejos. Los bicuaterniones son entonces la complejización de los cuaterniones originales (reales).

Otros cuaterniones dobles

Hamilton inventó el término asociativo para distinguir entre el escalar imaginario (conocido ahora como número complejo ), que es a la vez conmutativo y asociativo, y otras cuatro posibles raíces de unidad negativa a las que denominó L, M, N y O, mencionándolas brevemente en Apéndice B de Conferencias sobre Cuaterniones y en cartas privadas. Sin embargo, las raíces no asociativas de menos uno no aparecen en Elementos de Cuaterniones . Hamilton murió antes de trabajar ^{[ se necesita aclaración ]} en estas extrañas entidades. Su hijo afirmó que eran "arcos reservados para las manos de otro Ulises". ^[74]

Ver también

• Construcción Cayley-Dickson
• Octoniones
• Teorema de Frobenius

Notas a pie de página

1. Hamilton 1853 pág. 60 en libros de Google
2. Resistente 1881 pág. 32 en libros de Google
3. Hamilton, en la revista Philosophical , citado en el OED .
4. Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 17 en Google Books
5. Hamilton 1853, página 2, párrafo 3 de la introducción. Se refiere a su primer artículo "El álgebra como ciencia del tiempo puro". en libros de Google
6. Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 1 en Google Books
7. Hamilton (1853) Conferencia I Artículo 15, introducción del término vector, desde aquí en Google Books
8. Hamilton (1853) Conferencia I El vector del artículo 17 es un triplete natural en Google Books
9. a Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 6 en Google Books
10. Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 15 en Google Books
11. Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 19 en Google Books
12. Hamilton 1853 pág. 57 en Google Books
13. Hardy 1881 pág. 5 en Google Books
14. Tait 1890, pág. 31, explica la definición anterior de Hamilton de tensor como número positivo en Google Books
15. Hamilton 1989 pág. 165, se refiere a un tensor como un escalar positivo. en libros de Google
16. (1890), pág. 32 31 en Google Books
17. Hamilton 1898 sección 8 pg 133 art 151 Sobre el versor de un cuaternión o un vector y alguna fórmula general de transformación en Google Books
18. Hamilton (1899), art 156 pg 135, introducción del término versor en Google Books
19. Hamilton (1899), Sección 8, artículo 151, página 133 en Google Books
20. Hamilton 1898 sección 9 arte 162 pág. 142 Arcos vectoriales considerados representativos de versores de cuaterniones en Google Books
21. (1881), art. 49 páginas 71-72 71 en Google Books
22. Elementos de Cuaterniones Artículo 147 pág. 130 130 en Google Books
23. Consulte la sección 13 de Elementos de cuaterniones a partir de la página 190 en Google Books
24. Hamilton (1899), sección 14, artículo 221 en la página 233 en Google Books
25. Hamilton 1853 pág. 4 en Google Books
26. Hamilton 1853 arte 5 pág. 4-5 en Google Books
27. Hamilton página 33 en Google Books
28. Hamilton 1853 páginas 5-6 en Google Books
29. ver Hamilton 1853 páginas 8-15 en Google Books
30. Hamilton 1853 pág. 15 introducción del término vector como la diferencia entre dos puntos. en libros de Google
31. Hamilton 1853 pág.19 Hamilton asocia el signo más con síntesis ordinal en Google Books
32. Hamilton (1853), pág. 35, Hamilton introduce por primera vez las operaciones cardinales en Google Books
33. Hamilton 1953 pág.36 División definida como análisis cardinal en Google Books
34. Hamilton 1853 pág. 37 en Google Books
35. Hamilton (1899), artículo 112, página 110 en Google Books
36. Hardy (1881), página 32 en Google Books
37. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones página 37 en Google Books
38. Elementos de cuaterniones en Google Books
39. Tratados Tait sobre cuaterniones en Google Books
40. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones página 38 en Google Books
41. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones página 41 en Google Books
42. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones, página 42 en Google Books
43. Hardy (1881), páginas 40-41 en Google Books
44. Hardy 1887 pág. 45 fórmula 29 en Google Books
45. Hardy 1887 pág. 45 fórmula 30 en Google Books
46. Hardy 1887 pág. 46 en Google Books
47. Elementos de Quaternions, libro uno. en libros de Google
48. Hardy (1881), página 39, artículo 25 en Google Books
49. Hamilton 1853 pág. 27 explica Factor Faciend y Factum en Google Books
50. Hamilton 1898 sección 103 en Google Books
51. (1887) escalar del vector producto del producto definido, página 57 en Google Books
52. Hamilton 1898 pg164 El tensor del versor de un vector es la unidad. en libros de Google
53. Elementos de cuaterniones, cap. 11 en libros de Google
54. Hardy (1881), página 65 en Google Books
55. Hamilton 1898 pg 169 art 190 El tensor del cuadrado es el cuadrado del tensor en Google Books
56. Hamilton 1898 pág. 167 art. 187 ecuación 12 Los tensores de cuaterniones conjugados son iguales en Google Books
57. "Hamilton (1853), pág. 164, artículo 148".
58. Hamilton (1899), página 118 en Google Books
59. Hamilton (1899), página 118 en Google Books
60. Consulte Goldstein (1980) Capítulo 7 para conocer la misma función escrita en notación matricial.
61. "Lorentz transforma a Hamilton (1853), pág. 268 1853".
62. Hardy (1881), página 71 en Google Books
63. Hamilton (1899), páginas 128-129 en Google Books
64. Consulte la nota a pie de página al final de la página, donde está resaltada la palabra probado. en libros de Google
65. Ver Hamilton 1898 pág. 169 art. 190 para prueba de la relación entre tensor y norma común en Google Books
66. Hamilton 1899 pág. 138 en Google Books
67. Consulte los artículos 256 y 257 de Elementos de cuaterniones en Google Books.
68. Comentario infame del artículo 214 de Hamilton Elements... como ya se le habría ocurrido a cualquiera que hubiera leído con atención los artículos anteriores en Google Books.
69. Elementos de Cuaterniones Artículo 149 en Google Books
70. Ver elementos de cuaterniones artículo 214 en Google Books
71. Elementos de Hamilton de cuaterniones pág. 276 Ejemplo de notación h para escalar imaginario en Google Books
72. Elementos de Hamilton Artículo 274, página 300 Ejemplo de uso de la notación h en Google Books
73. Artículo 274 de Hamilton Elements, pág. 300 Ejemplo de h que denota imaginario de álgebra ordinaria en Google Books
74. Hamilton, William Rowan (1899). Elementos de los cuaterniones. Londres, Nueva York y Bombay: Longmans, Green y Co. p. ISBN​ 9780828402194.

Referencias

• WR Hamilton (1853),Conferencias sobre cuaterniones en Google Books Dublin: Hodges y Smith
• WR Hamilton (1866),Elementos de Quaternions en Google Books , segunda edición, editada por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
• AS Hardy (1887), Elementos de cuaterniones
• PG Tait (1890), Tratado elemental sobre cuaterniones , Cambridge: CJ Clay and Sons
• Herbert Goldstein (1980), Mecánica clásica , segunda edición, número de catálogo de la Biblioteca del Congreso QA805.G6 1980