Constantes de estructura

Coeficientes de un álgebra sobre un cuerpo

Si se utiliza el producto vectorial como corchete de Lie, el álgebra de vectores reales tridimensionales es un álgebra de Lie isomorfa a las álgebras de Lie de SU(2) y SO(3). Las constantes de estructura son , donde es el símbolo antisimétrico de Levi-Civita . ${\displaystyle f^{abc}=\epsilon ^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon ^{abc}}$

En matemáticas , las constantes de estructura o coeficientes de estructura de un álgebra sobre un cuerpo son los coeficientes de la expansión de la base (en una combinación lineal de vectores base) de los productos de vectores base . Debido a que la operación del producto en el álgebra es bilineal, por linealidad conocer el producto de vectores base permite calcular el producto de cualquier elemento (al igual que una matriz permite calcular la acción del operador lineal sobre cualquier vector al proporcionar la acción del operador sobre vectores base). Por lo tanto, las constantes de estructura se pueden utilizar para especificar la operación del producto del álgebra (al igual que una matriz define un operador lineal). Dadas las constantes de estructura, el producto resultante se obtiene por bilinealidad y se puede extender de forma única a todos los vectores en el espacio vectorial, determinando así de forma única el producto para el álgebra.

Las constantes de estructura se utilizan siempre que se debe proporcionar una forma explícita para el álgebra. Por lo tanto, se utilizan con frecuencia cuando se analizan las álgebras de Lie en física , ya que los vectores base indican direcciones específicas en el espacio físico o corresponden a partículas específicas (recuerde que las álgebras de Lie son álgebras sobre un cuerpo, y el producto bilineal se da mediante el corchete de Lie , generalmente definido a través del conmutador ).

Definición

Dado un conjunto de vectores base para el espacio vectorial subyacente del álgebra, la operación del producto está definida únicamente por los productos de los vectores base: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}}$.

Las constantes de estructura o coeficientes de estructura son simplemente los coeficientes de en la misma base: ${\displaystyle c_{ij}^{\;k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf {c} _{ij}=\sum _{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e} _{k}}$.

Dicho de otro modo son los coeficientes que se expresan como combinación lineal de los vectores base . ${\displaystyle \mathbf {c} _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

Los índices superior e inferior con frecuencia no se distinguen, a menos que el álgebra esté dotada de alguna otra estructura que lo requiera (por ejemplo, una métrica pseudo-riemanniana , sobre el álgebra del grupo ortogonal indefinido so( p , q )). Es decir, las constantes de estructura a menudo se escriben con índices todos superiores o todos inferiores. La distinción entre superior e inferior es entonces una convención, que recuerda al lector que los índices inferiores se comportan como los componentes de un vector dual , es decir, son covariantes bajo un cambio de base , mientras que los índices superiores son contravariantes .

Las constantes de estructura dependen obviamente de la base elegida. En el caso de las álgebras de Lie, una convención que se utiliza con frecuencia para la base es la que se utiliza en términos de los operadores de escalera definidos por la subálgebra de Cartan ; esto se presenta más adelante en el artículo, después de algunos ejemplos preliminares.

Ejemplo: álgebras de Lie

En el álgebra de Lie, los vectores base se denominan generadores del álgebra y el producto se denomina corchete de Lie (a menudo, el corchete de Lie es una operación de producto adicional al producto ya existente, por lo que necesita un nombre aparte). En el álgebra, para dos vectores y , el corchete de Lie se denota . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [A,B]}$

Nuevamente, no hay una necesidad particular de distinguir los índices superior e inferior; pueden escribirse todos hacia arriba o todos hacia abajo. En física , es común usar la notación para los generadores y o (ignorando la distinción entre superior e inferior) para las constantes de estructura. La expansión lineal del corchete de Lie de pares de generadores se ve así ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c}}$ ${\displaystyle f^{abc}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum _{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c}}$.

Nuevamente, por extensión lineal, las constantes de estructura determinan completamente los corchetes de Lie de todos los elementos del álgebra de Lie.

Todas las álgebras de Lie satisfacen la identidad de Jacobi . Para los vectores base, se puede escribir como

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0}$

y esto conduce directamente a una identidad correspondiente en términos de las constantes de estructura:

${\displaystyle f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\;d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.}$

Lo anterior y el resto de este artículo utilizan la convención de suma de Einstein para índices repetidos.

Las constantes de estructura desempeñan un papel en las representaciones del álgebra de Lie y, de hecho, proporcionan exactamente los elementos de la matriz de la representación adjunta . La forma de Killing y el invariante de Casimir también tienen una forma particularmente simple, cuando se escriben en términos de las constantes de estructura.

Las constantes de estructura suelen aparecer en la aproximación a la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff para el producto de dos elementos de un grupo de Lie . Para elementos pequeños del álgebra de Lie, la estructura del grupo de Lie cerca del elemento identidad está dada por ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).}$

Tenga en cuenta el factor 1/2. También aparecen en expresiones explícitas para diferenciales, como ; consulte la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff#Caso infinitesimal para obtener más detalles. ${\displaystyle e^{-X}de^{X}}$

Ejemplos de álgebra de Lie

𝔰𝔲(2) y 𝔰𝔬(3)

El álgebra del grupo unitario especial SU(2) es tridimensional, con generadores dados por las matrices de Pauli . Los generadores del grupo SU(2) satisfacen las relaciones de conmutación (donde es el símbolo de Levi-Civita ): donde ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{abc}}$ $${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon ^{abc}\sigma _{c}}$$ $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},~~\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

En este caso, las constantes de estructura son . Nótese que la constante 2 i puede ser absorbida en la definición de los vectores base; por lo tanto, al definir , se puede escribir igualmente bien ${\displaystyle f^{abc}=2i\varepsilon ^{abc}}$ ${\displaystyle t_{a}=-i\sigma _{a}/2}$ $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\varepsilon ^{abc}t_{c}}$$

Al hacerlo, se enfatiza que el álgebra de Lie del grupo de Lie SU(2) es isomorfa al álgebra de Lie de SO(3) . Esto hace que las constantes de estructura estén en línea con las del grupo de rotación SO(3) . Es decir, el conmutador para los operadores de momento angular se escriben comúnmente como donde se escriben de modo de obedecer la regla de la mano derecha para rotaciones en el espacio tridimensional. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\varepsilon ^{ijk}L_{k}}$$ $${\displaystyle L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},~~L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},~~L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$$

La diferencia del factor de 2 i entre estos dos conjuntos de constantes de estructura puede ser exasperante, ya que implica cierta sutileza. Así, por ejemplo, al espacio vectorial complejo bidimensional se le puede dar una estructura real . Esto conduce a dos representaciones fundamentales bidimensionales no equivalentes de , que son isomorfas, pero son representaciones conjugadas complejas ; ambas, sin embargo, se consideran representaciones reales , precisamente porque actúan sobre un espacio con una estructura real . ^[1] En el caso de tres dimensiones, solo hay una representación tridimensional, la representación adjunta , que es una representación real ; más precisamente, es la misma que su representación dual , mostrada anteriormente. Es decir, se tiene que la transpuesta es menos ella misma: ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle L_{k}^{T}=-L_{k}.}$

En cualquier caso, los grupos de Lie se consideran reales, precisamente porque es posible escribir las constantes de estructura de forma que sean puramente reales.

𝔰𝔲(3)

Un ejemplo menos trivial lo da SU(3) : ^[2]

Sus generadores, T , en la representación definitoria, son:

${\displaystyle T^{a}={\frac {\lambda ^{a}}{2}}.\,}$

donde , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU(3) de las matrices de Pauli para SU(2): ${\displaystyle \lambda \,}$

Estos obedecen a las relaciones

${\displaystyle \left[T^{a},T^{b}\right]=if^{abc}T^{c}\,}$

${\displaystyle \{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,}$

Las constantes de estructura son totalmente antisimétricas y vienen dadas por:

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,}$

y todos los demás no relacionados con estos mediante la permutación de índices son cero. ${\displaystyle f^{abc}}$

La d toma los valores:

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

𝔰𝔲(N)

Para el caso general de 𝔰𝔲(N), existe una fórmula cerrada para obtener la constante de estructura, sin tener que calcular relaciones de conmutación y anticonmutación entre los generadores. Definimos primero los generadores de 𝔰𝔲(N), basándonos en una generalización de las matrices de Pauli y de las matrices de Gell-Mann (utilizando la notación bra-ket). Existen matrices simétricas, ${\displaystyle N^{2}-1}$ ${\displaystyle N(N-1)/2}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\alpha _{nm}}={\frac {\hbar }{2}}(|m\rangle \langle n|+|n\rangle \langle m|)}$,

${\displaystyle N(N-1)/2}$matrices antisimétricas,

${\displaystyle {\hat {T}}_{\beta _{nm}}=-i{\frac {\hbar }{2}}(|m\rangle \langle n|-|n\rangle \langle m|)}$,

y matrices diagonales, ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\gamma _{n}}={\frac {\hbar }{\sqrt {2n(n-1)}}}{\Big (}\sum _{l=1}^{n-1}|l\rangle \langle l|+(1-n)|n\rangle \langle n|){\Big )}}$.

Para diferenciar dichas matrices definimos los siguientes índices:

${\displaystyle \alpha _{nm}=n^{2}+2(m-n)-1}$,

${\displaystyle \beta _{nm}=n^{2}+2(m-n)}$,

${\displaystyle \gamma _{n}=n^{2}-1}$,

con la condición . ${\displaystyle 1\leq m<n\leq N}$

Todas las constantes de estructura totalmente antisimétricas distintas de cero son

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{nk}\beta _{km}}=f^{\alpha _{nm}\alpha _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle f^{\beta _{nm}\beta _{km}\beta _{kn}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}},~f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}}$,

${\displaystyle f^{\alpha _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$.

Todas las constantes de estructura totalmente simétricas distintas de cero son

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{kn}\alpha _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{kn}\beta _{km}}=d^{\alpha _{nm}\beta _{mk}\beta _{nk}}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\beta _{nk}\beta _{km}}=-{\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{m}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{m}}=-{\sqrt {\frac {m-1}{2m}}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {1}{2k(k-1)}}},~m<k<n}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{n}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{n}}={\frac {2-n}{\sqrt {2n(n-1)}}}}$,

${\displaystyle d^{\alpha _{nm}\alpha _{nm}\gamma _{k}}=d^{\beta _{nm}\beta _{nm}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{k(k-1)}}},~n<k}$,

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{k}\gamma _{k}}={\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}},~k<n}$,

${\displaystyle d^{\gamma _{n}\gamma _{n}\gamma _{n}}=(2-n){\sqrt {\frac {2}{n(n-1)}}}}$.

Para más detalles sobre la derivación véase ^[3] y ^{[4] .}

Ejemplos de otras álgebras

Polinomios de Hall

Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall .

Álgebras de Hopf

Además del producto, el coproducto y el antípoda de un álgebra de Hopf se pueden expresar en términos de constantes de estructura. El axioma de conexión, que define una condición de consistencia en el álgebra de Hopf, se puede expresar como una relación entre estas diversas constantes de estructura.

Aplicaciones

• Un grupo de Lie es abeliano exactamente cuando todas las constantes de estructura son 0.
• Un grupo de Lie es real exactamente cuando sus constantes de estructura son reales.
• Las constantes de estructura son completamente antisimétricas en todos los índices si y sólo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie compactas simples .
• Un grupo de Lie nilpotente admite una red si y sólo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racionales: este es el criterio de Malcev. No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten redes; para más detalles, véase también Raghunathan. ^[5]
• En cromodinámica cuántica , el símbolo representa el tensor de intensidad de campo de gluones covariante de calibre , análogo al tensor de intensidad de campo electromagnético , F ^μν , en electrodinámica cuántica . Viene dado por: ^[6] donde f _abc son las constantes de estructura de SU (3). Nótese que las reglas para subir o bajar los índices a , b o c son triviales , (+,... +), de modo que f ^abc = f _abc = f ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}\,}$ $${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}\,,}$$^un
  _{antes de Cristo}mientras que para los índices μ o ν se tienen las reglas relativistas no triviales , correspondientes por ejemplo a la firma métrica (+ − − −).

Elección de una base para un álgebra de Lie

Un enfoque convencional para proporcionar una base para un álgebra de Lie es mediante los llamados "operadores de escalera" que aparecen como vectores propios del subálgebra de Cartan . La construcción de esta base, utilizando notación convencional, se esboza aquí rápidamente. Una construcción alternativa (la construcción de Serre ) se puede encontrar en el artículo Álgebra de Lie semisimple .

Dada una álgebra de Lie , la subálgebra de Cartan es la subálgebra abeliana máxima. Por definición, consta de aquellos elementos que conmutan entre sí. Se puede elegir libremente una base ortonormal en ; escriba esta base como con ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H_{1},\cdots ,H_{r}}$

${\displaystyle \langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

donde es el producto interno en el espacio vectorial. La dimensión de esta subálgebra se llama rango del álgebra. En la representación adjunta , las matrices conmutan entre sí y pueden diagonalizarse simultáneamente. Las matrices tienen vectores propios (simultáneos) ; aquellos con un valor propio distinto de cero se denotan convencionalmente por . Junto con estos abarcan todo el espacio vectorial . Las relaciones de conmutación son entonces ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} (H_{i})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{and}}\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

Los vectores propios se determinan solo hasta la escala general; una normalización convencional es establecer ${\displaystyle E_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1}$

Esto permite que las relaciones de conmutación restantes se escriban como

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i}}$

y

${\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta }}$

con este último sujeto a la condición de que las raíces (definidas a continuación) sumen un valor distinto de cero: . A veces se denominan operadores de escalera , ya que tienen esta propiedad de aumentar o disminuir el valor de . ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beta }$

Para un dado , hay tantos como hay y, por lo tanto, se puede definir el vector , este vector se denomina raíz del álgebra. Las raíces de las álgebras de Lie aparecen en estructuras regulares (por ejemplo, en álgebras de Lie simples , las raíces pueden tener solo dos longitudes diferentes); consulte el sistema de raíces para obtener más detalles. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{i}H_{i}}$

Las constantes de estructura tienen la propiedad de ser distintas de cero sólo cuando son una raíz. Además, son antisimétricas: ${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }}$

y siempre se puede elegir de tal manera que

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }}$

También obedecen a las condiciones del cociclo: ^[7]

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }}$

siempre que , y también que ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =0}$

${\displaystyle N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta ,\delta }=0}$

cuando sea . ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =0}$

Referencias

1. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
2. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . Vol. 1 Fundamentos. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
3. Bossion, D.; Huo, P. (2021). "Fórmulas generales de las constantes de estructura en el álgebra de Lie 𝔰𝔲(N)". arXiv : 2108.07219 [math-ph].
4. Bossion, D.; Ying, W.; Chowdhury, SN; Huo, P. (2022). "Dinámica de mapeo no adiabático en el espacio de fases del grupo de Lie SU(N)". J. Chem. Phys . 157 (8): 084105. Bibcode :2022JChPh.157h4105B. doi :10.1063/5.0094893. PMID  36049982. S2CID  251187368.
5. Raghunathan, Madabusi S. (2012) [1972]. "2. Redes en grupos de Lie nilpotentes". Subgrupos discretos de grupos de Lie. Springer. ISBN 978-3-642-86428-5.
6. Eidemüller, M.; Dosch, HG; Jamin, M. (2000) [1999]. "El correlador de intensidad de campo a partir de reglas de suma de QCD". Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 86 (1–3): 421–5. arXiv : hep-ph/9908318 . Código Bibliográfico :2000NuPhS..86..421E. doi :10.1016/S0920-5632(00)00598-3. S2CID  18237543.
7. Cornwell, JF (1984). Teoría de grupos en física . Vol. 2. Grupos de Lie y sus aplicaciones. Academic Press. ISBN 0121898040.OCLC 969857292  .