Función exponencial estirada

Figura 1. Ilustración de un ajuste exponencial estirado (con β = 0,52) a una curva maestra empírica. A modo de comparación, también se muestra un ajuste exponencial simple y doble de mínimos cuadrados. Los datos son anisotropía rotacional de antraceno en poliisobutileno de varias masas moleculares . Los gráficos se han superpuesto dividiendo el tiempo ( t ) por la constante de tiempo característica respectiva .

La función exponencial estirada se obtiene insertando una ley de potencia fraccionaria en la función exponencial . En la mayoría de las aplicaciones, solo tiene sentido para argumentos t entre 0 y +∞. Con β = 1 , se recupera la función exponencial habitual. Con un exponente de estiramiento β entre 0 y 1, el gráfico de log  f en función de t se estira de manera característica , de ahí el nombre de la función. La función exponencial comprimida (con β > 1 ) tiene menos importancia práctica, con la notable excepción de β = 2 , que da la distribución normal . $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}$$

En matemáticas, la exponencial estirada también se conoce como distribución complementaria acumulativa de Weibull . La exponencial estirada es también la función característica , básicamente la transformada de Fourier , de la distribución alfa estable simétrica de Lévy .

En física, la función exponencial estirada se utiliza a menudo como una descripción fenomenológica de la relajación en sistemas desordenados. Fue introducida por primera vez por Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador; ^[1] por lo que también se conoce como la función de Kohlrausch . En 1970, G. Williams y DC Watts utilizaron la transformada de Fourier de la exponencial estirada para describir los espectros dieléctricos de los polímeros; ^[2] en este contexto, la exponencial estirada o su transformada de Fourier también se denominan función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) . La función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) corresponde a la respuesta de carga del dominio temporal de los principales modelos dieléctricos, como la ecuación de Cole-Cole , la ecuación de Cole-Davidson y la relajación de Havriliak-Negami , para argumentos de tiempo pequeños. ^[3]

En aplicaciones fenomenológicas, a menudo no está claro si la función exponencial estirada se debe utilizar para describir la función de distribución diferencial o integral, o ninguna de las dos. En cada caso, se obtiene la misma desintegración asintótica, pero un prefactor de ley de potencia diferente, lo que hace que los ajustes sean más ambiguos que para exponenciales simples. En algunos casos, ^{[4] [5] [6] [7]} se puede demostrar que la desintegración asintótica es una exponencial estirada, pero el prefactor suele ser una potencia no relacionada.

Propiedades matemáticas

Momentos

Siguiendo la interpretación física habitual, interpretamos el argumento de la función t como tiempo, y f _β ( t ) es la distribución diferencial. El área bajo la curva puede interpretarse, por tanto, como un tiempo de relajación medio . Se encuentra donde Γ es la función gamma . Para el decaimiento exponencial, se recupera ⟨ τ ⟩ = τ _K. $${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$

Los momentos superiores de la función exponencial estirada son ^[8] $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

Función de distribución

En física, se han hecho intentos de explicar el comportamiento exponencial estirado como una superposición lineal de decaimientos exponenciales simples. Esto requiere una distribución no trivial de tiempos de relajación, ρ ( u ), que se define implícitamente por $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

Alternativamente, se utiliza una distribución . $${\displaystyle G=u\rho (u)}$$

ρ se puede calcular a partir de la expansión de la serie: ^[9] $${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

Para valores racionales de β , ρ ( u ) se puede calcular en términos de funciones elementales. Pero la expresión es en general demasiado compleja para ser útil excepto para el caso β = 1/2 donde $${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

La figura 2 muestra los mismos resultados graficados tanto en una representación lineal como en una logarítmica . Las curvas convergen a una función delta de Dirac que alcanza su pico en u = 1 a medida que β se acerca a 1, lo que corresponde a la función exponencial simple.

Los momentos de la función original se pueden expresar como $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$$

El primer momento logarítmico de la distribución de tiempos de relajación exponencial simple es donde Eu es la constante de Euler . ^[10] $${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}}$$

Transformada de Fourier

Para describir los resultados de la espectroscopia o la dispersión inelástica, se necesita la transformada de Fourier del seno o del coseno de la exponencial estirada. Debe calcularse mediante integración numérica o a partir de una expansión en serie. ^[11] La serie aquí, así como la de la función de distribución, son casos especiales de la función de Fox-Wright . ^[12] Para fines prácticos, la transformada de Fourier puede aproximarse mediante la función de Havriliak-Negami , ^[13] aunque hoy en día el cálculo numérico se puede realizar de manera tan eficiente ^[14] que ya no hay ninguna razón para no utilizar la función de Kohlrausch-Williams-Watts en el dominio de la frecuencia.

Historia y otras aplicaciones

Como se dijo en la introducción, la exponencial estirada fue introducida por el físico alemán Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador ( botella de Leyden ) que utilizaba vidrio como medio dieléctrico. El siguiente uso documentado es el de Friedrich Kohlrausch , hijo de Rudolf, para describir la relajación torsional. A. Werner la utilizó en 1907 para describir desintegraciones de luminiscencia complejas; Theodor Förster en 1949 como la ley de desintegración de fluorescencia de donantes de energía electrónica. ^{[ cita requerida ]}

Fuera de la física de la materia condensada, la exponencial estirada se ha utilizado para describir las tasas de eliminación de cuerpos pequeños y errantes en el sistema solar, ^[15] la señal de resonancia magnética ponderada por difusión en el cerebro, ^[16] y la producción de pozos de gas no convencionales. ^[17]

En probabilidad

Si la distribución integrada es una exponencial estirada, la función de densidad de probabilidad normalizada viene dada por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

Téngase en cuenta que, de manera confusa, se sabe que algunos autores han utilizado el nombre "exponencial estirada" para referirse a la distribución de Weibull . ^[18]

Funciones modificadas

Se ha utilizado una función exponencial estirada modificada con un exponente β lentamente dependiente de t para las curvas de supervivencia biológica. ^{[19] [20]} $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$

Comunicaciones inalámbricas

En las comunicaciones inalámbricas, se ha demostrado que aparece una versión escalada de la función exponencial estirada en la transformada de Laplace para la potencia de interferencia cuando las ubicaciones de los transmisores se modelan como un proceso de puntos de Poisson 2D sin región de exclusión alrededor del receptor. ^[21] ${\displaystyle I}$

La transformada de Laplace se puede escribir para una distribución de desvanecimiento arbitraria de la siguiente manera: donde es la potencia del desvanecimiento, es el exponente de pérdida de trayectoria , es la densidad del proceso puntual de Poisson 2D, es la función Gamma y es la expectativa de la variable . ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$ ${\displaystyle x}$

La misma referencia también muestra cómo obtener la transformada de Laplace inversa para la exponencial estirada para números enteros de orden superior a partir de números enteros de orden inferior y . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$ ${\displaystyle \beta _{a}}$ ${\displaystyle \beta _{b}}$

Transmisión por Internet

La exponencial estirada se ha utilizado para caracterizar los patrones de acceso a los medios de Internet, como YouTube y otros sitios de transmisión de medios estables. ^[22] Los patrones de acceso de ley de potencia comúnmente acordados de las cargas de trabajo web reflejan principalmente cargas de trabajo web de contenido basado en texto, como sitios de noticias actualizados diariamente. ^[23]

Referencias

1. Kohlrausch, R. (1854). "Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche". Annalen der Physik und Chemie . 91 (1): 56–82, 179–213. Código bibliográfico : 1854AnP...167...56K. doi : 10.1002/andp.18541670103..
2. Williams, G. y Watts, DC (1970). "Comportamiento de relajación dieléctrica no simétrica que surge de una función de decaimiento empírico simple". Transactions of the Faraday Society . 66 : 80–85. doi :10.1039/tf9706600080. S2CID  95007734..
3. Holm, Sverre (2020). "Caracterización del dominio temporal del modelo dieléctrico Cole-Cole". Revista de bioimpedancia eléctrica . 11 (1): 101–105. doi :10.2478/joeb-2020-0015. PMC 7851980 . PMID  33584910. 
4. Donsker, MD y Varadhan, SRS (1975). "Evaluación asintótica de ciertas expectativas del proceso de Markov para tiempos largos". Comm. Pure Appl. Math . 28 : 1–47. doi :10.1002/cpa.3160280102.
5. Takano, H. y Nakanishi, H. y Miyashita, S. (1988). "Decaimiento exponencial estirado de la función de correlación de espín en el modelo cinético de Ising por debajo de la temperatura crítica". Phys. Rev. B . 37 (7): 3716–3719. Bibcode :1988PhRvB..37.3716T. doi :10.1103/PhysRevB.37.3716. PMID  9944981.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
6. Shore, John E. y Zwanzig, Robert (1975). "Relajación dieléctrica y susceptibilidad dinámica de un modelo unidimensional para polímeros de dipolos perpendiculares". The Journal of Chemical Physics . 63 (12): 5445–5458. Código Bibliográfico :1975JChPh..63.5445S. doi :10.1063/1.431279.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
7. Brey, JJ y Prados, A. (1993). "Decaimiento exponencial estirado en tiempos intermedios en el modelo unidimensional de Ising a bajas temperaturas". Physica A . 197 (4): 569–582. Bibcode :1993PhyA..197..569B. doi :10.1016/0378-4371(93)90015-V.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
8. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.478." En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. pág. 372.ISBN​ 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.
9. Lindsey, CP y Patterson, GD (1980). "Comparación detallada de las funciones Williams-Watts y Cole-Davidson". Journal of Chemical Physics . 73 (7): 3348–3357. Código Bibliográfico :1980JChPh..73.3348L. doi :10.1063/1.440530.. Para una discusión más reciente y general, véase Berberan-Santos, MN, Bodunov, EN y Valeur, B. (2005). "Funciones matemáticas para el análisis de desintegraciones de luminiscencia con distribuciones subyacentes 1. Función de desintegración de Kohlrausch (exponencial estirada)". Chemical Physics . 315 (1–2): 171–182. Bibcode :2005CP....315..171B. doi :10.1016/j.chemphys.2005.04.006.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ).
10. Zorn, R. (2002). "Distribuciones de momentos logarítmicos de tiempos de relajación" (PDF) . Journal of Chemical Physics . 116 (8): 3204–3209. Bibcode :2002JChPh.116.3204Z. doi :10.1063/1.1446035.
11. Dishon y otros 1985.
12. Hilfer, J. (2002). " Representaciones de la función H para relajación exponencial estirada y susceptibilidades no-Debye en sistemas vítreos". Physical Review E . 65 (6): 061510. Bibcode :2002PhRvE..65f1510H. doi :10.1103/physreve.65.061510. PMID  12188735. S2CID  16276298.
13. Alvarez, F., Alegría, A. y Colmenero, J. (1991). "Relación entre las funciones de relajación de Kohlrausch-Williams-Watts en el dominio del tiempo y de Havriliak-Negami en el dominio de la frecuencia". Physical Review B . 44 (14): 7306–7312. Bibcode :1991PhRvB..44.7306A. doi :10.1103/PhysRevB.44.7306. PMID  9998642.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
14. Wuttke, J. (2012). "Transformada de Laplace-Fourier de la función exponencial estirada: límites de error analítico, transformada exponencial doble e implementación de código abierto "libkww"". Algorithms . 5 (4): 604–628. arXiv : 0911.4796 . doi : 10.3390/a5040604 . S2CID  15030084.
15. Dobrovolskis, A., Alvarellos, J. y Lissauer, J. (2007). "Tiempos de vida de cuerpos pequeños en órbitas planetocéntricas (o heliocéntricas)". Icarus . 188 (2): 481–505. Bibcode :2007Icar..188..481D. doi :10.1016/j.icarus.2006.11.024.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
16. Bennett, K.; et al. (2003). "Caracterización de las tasas de difusión de agua distribuidas de forma continua en la corteza cerebral con un modelo exponencial estirado". Magn. Reson. Med . 50 (4): 727–734. doi : 10.1002/mrm.10581 . PMID  14523958.
17. Valko, Peter P.; Lee, W. John (1 de enero de 2010). "Una mejor manera de pronosticar la producción de pozos de gas no convencionales". Conferencia y exposición técnica anual de la SPE . Sociedad de ingenieros petroleros. doi :10.2118/134231-ms. ISBN 9781555633004.
18. Sornette, D. (2004). Fenómenos críticos en las ciencias naturales: caos, fractales, autoorganización y desorden ..
19. BM Weon y JH Je (2009). "Estimación teórica de la esperanza de vida humana máxima". Biogerontología . 10 (1): 65–71. doi :10.1007/s10522-008-9156-4. PMID  18560989. S2CID  8554128.
20. BM Weon (2016). "Los tiranosaurios como especies longevas". Scientific Reports . 6 : 19554. Bibcode :2016NatSR...619554W. doi :10.1038/srep19554. PMC 4726238 . PMID  26790747. 
21. Ammar, HA, Nasser, Y. y Artail, H. (2018). "Expresiones de forma cerrada para la función de densidad de probabilidad de la potencia de interferencia en redes PPP". 2018 IEEE International Conference on Communications (ICC) . págs. 1–6. arXiv : 1803.10440 . doi :10.1109/ICC.2018.8422214. ISBN . 978-1-5386-3180-5.S2CID 4374550  .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
22. Lei Guo, Enhua Tan, Songqing Chen, Zhen Xiao y Xiaodong Zhang (2008). "La distribución exponencial ampliada de los patrones de acceso a los medios de Internet" . PODC '08. págs. doi :10.1145/1400751.1400789.{{cite conference}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
23. Adamic, Lada A.; Bernardo A., Huberman (2000). "Distribución de la World Wide Web según la ley de potencias". Science . 287 (5461): 2115–2115. doi :10.1126/science.287.5461.2115a.

Enlaces externos

• J. Wuttke: biblioteca C libkww para calcular la transformada de Fourier de la función exponencial estirada