Tensor de velocidad de deformación

Concepto en física

Un flujo bidimensional que, en el punto resaltado, solo tiene un componente de velocidad de deformación, sin velocidad media ni componente rotacional.

En mecánica de medios continuos , el tensor de velocidad de deformación o tensor de velocidad de deformación es una cantidad física que describe la tasa de cambio de la deformación (es decir, la deformación relativa ) de un material en la vecindad de un punto determinado, en un momento determinado del tiempo. Puede definirse como la derivada del tensor de deformación con respecto al tiempo, o como el componente simétrico de la matriz jacobiana (derivada con respecto a la posición) de la velocidad del flujo . En mecánica de fluidos también puede describirse como el gradiente de velocidad , una medida de cómo cambia la velocidad de un fluido entre diferentes puntos dentro del fluido. ^[1] Aunque el término puede referirse a un perfil de velocidad (variación de la velocidad a través de capas de flujo en una tubería), ^[2] a menudo se usa para significar el gradiente de la velocidad de un flujo con respecto a sus coordenadas . ^[3] El concepto tiene implicaciones en una variedad de áreas de la física y la ingeniería , incluida la magnetohidrodinámica , la minería y el tratamiento del agua. ^{[4] [5] [6]}

El tensor de velocidad de deformación es un concepto puramente cinemático que describe el movimiento macroscópico del material, por lo que no depende de la naturaleza del material, ni de las fuerzas y tensiones que puedan estar actuando sobre él; y se aplica a cualquier medio continuo , ya sea sólido , líquido o gaseoso .

Por otra parte, para cualquier fluido excepto los superfluidos , cualquier cambio gradual en su deformación (es decir, un tensor de velocidad de deformación distinto de cero) da lugar a fuerzas viscosas en su interior, debido a la fricción entre elementos de fluido adyacentes , que tienden a oponerse a ese cambio. En cualquier punto del fluido, estas tensiones pueden describirse mediante un tensor de tensión viscosa que, casi siempre, está completamente determinado por el tensor de velocidad de deformación y por ciertas propiedades intrínsecas del fluido en ese punto. La tensión viscosa también se produce en sólidos, además de la tensión elástica observada en la deformación estática; cuando es demasiado grande para ignorarla, se dice que el material es viscoelástico .

Análisis dimensional

Al realizar un análisis dimensional , se pueden determinar las dimensiones del gradiente de velocidad. Las dimensiones de la velocidad son y las dimensiones de la distancia son . Dado que el gradiente de velocidad se puede expresar como . Por lo tanto, el gradiente de velocidad tiene las mismas dimensiones que esta relación, es decir, . ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$

En mecánica del medio continuo

En 3 dimensiones, el gradiente de la velocidad es un tensor de segundo orden que se puede expresar como la matriz : se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica de la siguiente manera se llama tensor de velocidad de deformación y describe la velocidad de estiramiento y cizallamiento. se llama tensor de espín y describe la velocidad de rotación. ^[7] ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

Relación entre el esfuerzo cortante y el campo de velocidad

Sir Isaac Newton propuso que la tensión cortante es directamente proporcional al gradiente de velocidad: ^[8] $${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

La constante de proporcionalidad , , se llama viscosidad dinámica . ${\displaystyle \mu }$

Definición formal

Consideremos un cuerpo material, sólido o fluido, que fluye y/o se mueve en el espacio. Sea v el campo de velocidad dentro del cuerpo; es decir, una función uniforme de R ³ × R tal que v ( p , t ) es la velocidad macroscópica del material que pasa por el punto p en el tiempo t .

La velocidad v ( p + r , t ) en un punto desplazado de p por un pequeño vector r se puede escribir como una serie de Taylor : donde ∇ v es el gradiente del campo de velocidades, entendido como una función lineal que lleva un vector de desplazamiento r al correspondiente cambio en la velocidad. $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$$

El campo de velocidad v ( p + r , t ) de un flujo arbitrario alrededor de un punto p (punto rojo), en un instante t , y los términos de su aproximación de Taylor de primer orden en torno a p . Se supone que el tercer componente de la velocidad (fuera de la pantalla) es cero en todas partes.

En un sistema de referencia arbitrario , ∇ v está relacionado con la matriz jacobiana del cuerpo, es decir, en 3 dimensiones es la matriz 3 × 3 donde v _i es el componente de v paralelo al eje i y ∂ _j f denota la derivada parcial de una función f con respecto a la coordenada espacial x _j . Nótese que J es una función de p y t . $${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$

En este sistema de coordenadas, la aproximación de Taylor para la velocidad cerca de p es o simplemente $${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

Si v y r se consideran matrices de 3 × 1.

Piezas simétricas y antisimétricas

Cualquier matriz puede descomponerse en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica . Aplicando esto a la matriz jacobiana con componentes simétricos y antisimétricos E y R respectivamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas y, por lo tanto, tiene importancia física. Entonces, el campo de velocidad puede aproximarse de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

El término antisimétrico R representa una rotación casi rígida del fluido alrededor del punto p . Su velocidad angular es ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ $${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El producto ∇ × v se denomina vorticidad del campo vectorial. Una rotación rígida no cambia las posiciones relativas de los elementos del fluido, por lo que el término antisimétrico R del gradiente de velocidad no contribuye a la tasa de cambio de la deformación. Por lo tanto, la tasa de deformación real se describe mediante el término simétrico E , que es el tensor de tasa de deformación .

Tasa de corte y tasa de compresión

El término simétrico E (el tensor de velocidad de deformación) se puede descomponer aún más como la suma de un tensor escalar por la unidad, que representa una expansión o contracción isótropa gradual; y un tensor simétrico sin trazas que representa una deformación de corte gradual, sin cambio de volumen: ^[9] $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

Eso es, $${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

Aquí δ es el tensor unitario , de modo que δ _ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j . Esta descomposición es independiente de la elección del sistema de coordenadas y, por lo tanto, es físicamente significativa.

La traza del tensor de velocidad de expansión es la divergencia del campo de velocidad: que es la velocidad a la que aumenta el volumen de una cantidad fija de fluido en ese punto. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$

El tensor de velocidad de corte se representa mediante una matriz simétrica de 3 × 3 y describe un flujo que combina flujos de compresión y expansión a lo largo de tres ejes ortogonales, de modo que no hay cambios en el volumen. Este tipo de flujo se produce, por ejemplo, cuando se estira una tira de goma tirando de los extremos, o cuando la miel cae de una cuchara en un chorro uniforme e ininterrumpido.

Para un flujo bidimensional, la divergencia de v tiene solo dos términos y cuantifica el cambio en el área en lugar del volumen. El factor 1/3 en el término de tasa de expansión debe reemplazarse por ⁠1/2⁠ en ese caso.

Ejemplos

El estudio de los gradientes de velocidad es útil para analizar materiales que dependen de la trayectoria y en el estudio posterior de tensiones y deformaciones; por ejemplo, la deformación plástica de los metales . ^[3] El gradiente de velocidad cerca de la pared de los reactivos no quemados que fluyen desde un tubo es un parámetro clave para caracterizar la estabilidad de la llama. ^{[5] : 1–3} El gradiente de velocidad de un plasma puede definir condiciones para las soluciones de ecuaciones fundamentales en magnetohidrodinámica. ^[4]

Fluido en una tubería

Consideremos el campo de velocidad de un fluido que fluye a través de una tubería . La capa de fluido en contacto con la tubería tiende a estar en reposo con respecto a la tubería. Esto se denomina condición de no deslizamiento . ^[10] Si la diferencia de velocidad entre las capas de fluido en el centro de la tubería y en los lados de la tubería es suficientemente pequeña, entonces el flujo de fluido se observa en forma de capas continuas. Este tipo de flujo se denomina flujo laminar .

La diferencia de velocidad de flujo entre capas adyacentes se puede medir en términos de un gradiente de velocidad, dado por . Donde es la diferencia de velocidad de flujo entre las dos capas y es la distancia entre las capas. ${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$ ${\displaystyle \Delta u}$ ${\displaystyle \Delta y}$

Véase también

• Tensor de tensión (desambiguación)
• Teoría de deformaciones finitas § Derivada temporal del gradiente de deformación , gradiente de velocidad espacial y material a partir de la mecánica de medios continuos

Referencias

1. Carl Schaschke (2014). Diccionario de ingeniería química . Oxford University Press. ISBN 9780199651450.
2. "Infoplease: Viscosidad: el gradiente de velocidad".
3. "Gradiente de velocidad en continuummechanics.org".
4. Zhang, Zujin (junio de 2017), "Sistema MHD generalizado con gradiente de velocidad en espacios de Besov de orden negativo", Acta Applicandae Mathematicae , 149 (1): 139–144, doi :10.1007/s10440-016-0091-0, ISSN  1572-9036, S2CID  207075598
5. Grumer, J.; Harris, ME; Rowe, VR (julio de 1956), Límites fundamentales de retroceso, soplado y punta amarilla de mezclas de aire y gas combustible (PDF) , Bureau of Mines
6. Rojas, JC; Moreno, B.; Garralón, G.; Plaza, F.; Pérez, J.; Gómez, MA (2010), "Influencia del gradiente de velocidad en un floculador hidráulico en la remoción de NOM por membranas de ultrafiltración espiraladas aireadas (ASWUF)", Journal of Hazardous Materials , 178 (1): 535–540, doi :10.1016/j.jhazmat.2010.01.116, ISSN  0304-3894, PMID  20153578
7. Gonzalez, O.; Stuart, AM (2008). Un primer curso de mecánica del medio continuo . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press. págs. 134-135.
8. Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos. Biblioteca matemática de Cambridge. Cambridge University Press. pág. 145. ISBN 9780521663960.
9. Landau, LD; Lifshitz, EM (1997). Mecánica de fluidos . Traducido por Sykes, JB; Reid, WH (2.ª ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.
10. Levicky, R. "Revisión de la terminología de la mecánica de fluidos" (PDF) .