estáticamente indeterminado

Cuando las ecuaciones de equilibrio estático de una estructura no tienen solución única

En estática y mecánica estructural , una estructura es estáticamente indeterminada cuando las ecuaciones de equilibrio (condiciones de equilibrio de fuerza y ​​momento) son insuficientes para determinar las fuerzas y reacciones internas en esa estructura. ^{[1] [2]}

Matemáticas

Con base en las leyes del movimiento de Newton , las ecuaciones de equilibrio disponibles para un cuerpo bidimensional son: ^[2]

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0:}$la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero. Esto se traduce en:

${\displaystyle \sum \mathbf {H} =0:}$la suma de las componentes horizontales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {V} =0:}$la suma de las componentes verticales de las fuerzas es igual a cero;

${\displaystyle \sum \mathbf {M} =0:}$la suma de los momentos (alrededor de un punto arbitrario) de todas las fuerzas es igual a cero.

Diagrama de cuerpo libre de una viga estáticamente indeterminada.

En la construcción de la viga de la derecha, las cuatro reacciones desconocidas son V _A , V _B , V _C y H _A . Las ecuaciones de equilibrio son: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}}$

Dado que hay cuatro fuerzas (o variables ) desconocidas ( V _A , V _B , V _C y H _A ) pero sólo tres ecuaciones de equilibrio, este sistema de ecuaciones simultáneas no tiene una solución única. Por tanto, la estructura se clasifica como estáticamente indeterminada .

Para resolver sistemas estáticamente indeterminados (determinar los diversos momentos y reacciones de fuerza dentro de ellos), se consideran las propiedades del material y la compatibilidad en las deformaciones .

estáticamente determinado

Si se elimina el soporte en B , la reacción V _B no puede ocurrir y el sistema se vuelve estáticamente determinado (o isostático ). ^[3] Tenga en cuenta que el sistema está completamente restringido aquí. El sistema se convierte en un acoplamiento cinemático de restricción exacta . La solución al problema es: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}}$

Si, además, el soporte en A se cambia por un soporte de rodillos, el número de reacciones se reduce a tres (sin H _A ), pero la viga ahora se puede mover horizontalmente; el sistema se vuelve inestable o parcialmente restringido : un mecanismo más que una estructura. Para distinguir entre esto y la situación en la que un sistema en equilibrio se perturba y se vuelve inestable, es preferible utilizar aquí la frase parcialmente restringido . En este caso, las dos incógnitas V _A y V _C se pueden determinar resolviendo la ecuación de fuerza vertical y la ecuación de momento simultáneamente. La solución produce los mismos resultados que los obtenidos anteriormente. Sin embargo, no es posible satisfacer la ecuación de la fuerza horizontal a menos que F _h = 0 . ^[2]

Determinación estática

Descriptivamente, una estructura estáticamente determinada se puede definir como una estructura donde, si es posible encontrar acciones internas en equilibrio con cargas externas, esas acciones internas son únicas. La estructura no tiene posibles estados de autotensión, es decir, no son posibles fuerzas internas en equilibrio con cargas externas nulas. La indeterminación estática, sin embargo, es la existencia de una solución no trivial (distinta de cero) del sistema homogéneo de ecuaciones de equilibrio. Indica la posibilidad de autoestrés (estrés en ausencia de una carga externa) que puede ser inducido por acción mecánica o térmica.

Matemáticamente, esto requiere que una matriz de rigidez tenga rango completo.

Una estructura estáticamente indeterminada sólo puede analizarse incluyendo información adicional como las propiedades del material y las deflexiones. Numéricamente, esto se puede lograr mediante el uso de análisis estructurales matriciales, el método de elementos finitos (FEM) o el método de distribución de momentos ( Hardy Cross ).

En la práctica, una estructura se denomina "estáticamente sobredeterminada" cuando comprende más restricciones mecánicas (como paredes, columnas o pernos) de las absolutamente necesarias para la estabilidad.

Ver también

• Christian Otto Mohr
• Método de flexibilidad
• Determinación cinemática
• Mecanismo demasiado restringido
• Ingeniería estructural

Referencias

1. Matheson, James Adam Louis (1971). Estructuras hiperestáticas: una introducción a la teoría de estructuras estáticamente indeterminadas (2ª ed.). Londres: Butterworths. ISBN 0408701749. OCLC  257600.
2. Megson, Thomas Henry Gordon (2014). "Análisis de estructuras estáticamente indeterminadas". Análisis estructural y de tensiones (Tercera ed.). Ámsterdam: Elsevier. págs. 489–570. ISBN 9780080999364. OCLC  873568410.
3. Carpinteri, Alberto (1997). Mecánica estructural: un enfoque unificado (1ª ed.). Londres: E & FN Spon. ISBN 0419191607. OCLC  36416368.

enlaces externos

• Cálculo de haz en línea (estáticamente indeterminado)