Método de distribución de momentos

Técnica de análisis estructural para estructuras estáticamente indeterminadas

El método de distribución de momentos es un método de análisis estructural para vigas y marcos estáticamente indeterminados desarrollado por Hardy Cross . Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE . ^[1] El método solo tiene en cuenta los efectos de flexión e ignora los efectos axiales y de corte. Desde la década de 1930 hasta que las computadoras comenzaron a usarse ampliamente en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el método más utilizado.

Introducción

En el método de distribución de momentos, cada junta de la estructura que se va a analizar se fija de manera que se desarrollen los momentos de los extremos fijos . Luego, cada junta fija se libera secuencialmente y los momentos de los extremos fijos (que en el momento de la liberación no están en equilibrio) se distribuyen a los miembros adyacentes hasta que se alcanza el equilibrio . El método de distribución de momentos en términos matemáticos se puede demostrar como el proceso de resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas por medio de iteración .

El método de distribución de momentos entra en la categoría de método de desplazamiento del análisis estructural.

Implementación

Para aplicar el método de distribución de momentos para analizar una estructura, se deben considerar los siguientes aspectos.

Momentos finales fijos

Los momentos de extremo fijo son los momentos producidos en los extremos de los miembros por cargas externas. El cálculo del tramo se lleva a cabo asumiendo que cada soporte está fijo e implementando fórmulas según la naturaleza de la carga, es decir, carga puntual (de tramo medio o desigual), udl, uvl o pareja.

Rigidez a la flexión

La rigidez a la flexión (EI/L) de un elemento se representa como la rigidez a la flexión del elemento (producto del módulo de elasticidad (E) y el segundo momento de área (I)) dividido por la longitud (L) del elemento. Lo que se necesita en el método de distribución de momentos no son los valores específicos sino las relaciones de las rigideces a la flexión entre todos los elementos.

Factores de distribución

Cuando se libera una junta y comienza a girar bajo el momento desequilibrado, se desarrollan fuerzas de resistencia en cada elemento enmarcado en la junta. Aunque la resistencia total es igual al momento desequilibrado, las magnitudes de las fuerzas de resistencia desarrolladas en cada elemento difieren según la rigidez a la flexión de los elementos. Los factores de distribución se pueden definir como las proporciones de los momentos desequilibrados soportados por cada uno de los elementos. En términos matemáticos, el factor de distribución del elemento enmarcado en la junta se expresa como: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle D_{jk}={\frac {\frac {E_{k}I_{k}}{L_{k}}}{\sum _{i=1}^{i=n}{\frac {E_{i}I_{i}}{L_{i}}}}}}$

donde n es el número de miembros enmarcados en la unión.

Factores de arrastre

Cuando se libera una junta, se produce un momento de equilibrio para contrarrestar el momento desequilibrado. El momento de equilibrio es inicialmente el mismo que el momento del extremo fijo. Este momento de equilibrio se traslada luego al otro extremo del elemento. La relación entre el momento trasladado en el otro extremo y el momento del extremo fijo del extremo inicial es el factor de traslado.

Determinación de factores de arrastre

Deje que un extremo (extremo A) de una viga fija se suelte y se le aplique un momento mientras el otro extremo (extremo B) permanece fijo. Esto hará que el extremo A gire un ángulo . Una vez que se encuentra la magnitud de desarrollado en el extremo B, el factor de arrastre de este elemento se da como la relación entre : ${\displaystyle M_{A}}$ ${\displaystyle \theta _{A}}$ ${\displaystyle M_{B}}$ ${\displaystyle M_{B}}$ ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle C_{AB}={\frac {M_{B}}{M_{A}}}}$

En el caso de una viga de longitud L con sección transversal constante cuya rigidez a flexión es , ${\displaystyle EI}$

${\displaystyle M_{A}=4{\frac {EI}{L}}\theta _{A}+2{\frac {EI}{L}}\theta _{B}=4{\frac {EI}{L}}\theta _{A}}$

${\displaystyle M_{B}=2{\frac {EI}{L}}\theta _{A}+4{\frac {EI}{L}}\theta _{B}=2{\frac {EI}{L}}\theta _{A}}$

Por lo tanto, el factor de arrastre

${\displaystyle C_{AB}={\frac {M_{B}}{M_{A}}}={\frac {1}{2}}}$

Convención de signos

Una vez que se ha elegido una convención de signos, se debe mantener para toda la estructura. La convención de signos de ingeniería tradicional no se utiliza en los cálculos del método de distribución de momentos, aunque los resultados se pueden expresar de la manera convencional. En el caso de BMD, el momento del lado izquierdo es en sentido horario y el otro es en sentido antihorario, por lo que la flexión es positiva y se denomina pandeo.

Estructura enmarcada

La estructura porticada con o sin desplazamiento lateral se puede analizar utilizando el método de distribución de momentos.

Ejemplo

Ejemplo

Se va a analizar la viga estáticamente indeterminada que se muestra en la figura.

Se considera que la viga está formada por tres elementos separados, AB, BC y CD, conectados por uniones de extremo fijas (resistentes al momento) en B y C.

• Los miembros AB, BC, CD tienen la misma envergadura . ${\displaystyle L=10\ m}$
• Las rigideces a flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.
• La carga concentrada de magnitud actúa a distancia del apoyo A. ${\displaystyle P=10\ kN}$ ${\displaystyle a=3\ m}$
• Sobre BC actúa una carga uniforme de intensidad . ${\displaystyle q=1\ kN/m}$
• El miembro CD se carga en su parte media con una carga concentrada de magnitud . ${\displaystyle P=10\ kN}$

En los siguientes cálculos, los momentos en el sentido de las agujas del reloj son positivos.

Momentos finales fijos

${\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pb^{2}a}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 7^{2}\times 3}{10^{2}}}=-14.700\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=+6.300\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=+8.333\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.500\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=+12.500\ kN\cdot m}$

Factores de distribución y rigidez a la flexión

La rigidez a la flexión de los elementos AB, BC y CD son , y , respectivamente ^{[ disputado – discutir ]} . Por lo tanto, expresando los resultados en notación decimal periódica : ${\displaystyle {\frac {3EI}{L}}}$ ${\displaystyle {\frac {4\times 2EI}{L}}}$ ${\displaystyle {\frac {4EI}{L}}}$

${\displaystyle D_{BA}={\frac {\frac {3EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {3}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {3}{11}}=0.(27)}$

${\displaystyle D_{BC}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}={\frac {8}{11}}=0.(72)}$

${\displaystyle D_{CB}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {8}{12}}=0.(66)}$

${\displaystyle D_{CD}={\frac {\frac {4EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {4}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}={\frac {4}{12}}=0.(33)}$

Los factores de distribución de las articulaciones A y D son y . ${\displaystyle D_{AB}=1}$ ${\displaystyle D_{DC}=0}$

Factores de arrastre

Los factores de arrastre son , excepto el factor de arrastre de D (soporte fijo) a C que es cero. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Distribución de momentos

Los números en gris son momentos equilibrados; las flechas (  → / ←  ) representan el arrastre del momento de un extremo al otro extremo de un miembro.* Paso 1: A medida que se libera la junta A, se desarrolla un momento de equilibrio de magnitud igual al momento del extremo fijo y se arrastra de la junta A a la junta B.* Paso 2: El momento desequilibrado en la junta B ahora es la suma de los momentos del extremo fijo , y el momento arrastrado de la junta A. Este momento desequilibrado se distribuye a los miembros BA y BC de acuerdo con los factores de distribución y . El paso 2 termina con la transferencia del momento equilibrado a la junta C. La junta A es un soporte de rodillos que no tiene restricción rotacional, por lo que la transferencia de momento de la junta B a la junta A es cero.* Paso 3: El momento desequilibrado en la junta C ahora es la suma de los momentos de los extremos fijos y el momento transferido de la junta B. Como en el paso anterior, este momento desequilibrado se distribuye a cada miembro y luego se transfiere a la junta D y nuevamente a la junta B. La junta D es un soporte fijo y los momentos transferidos a esta junta no se distribuirán ni se transferirán a la junta C.* Paso 4: La junta B aún tiene momento equilibrado que se transfirió de la junta C en el paso 3. La junta B se libera una vez más para inducir la distribución del momento y lograr el equilibrio.* Pasos 5 a 10: Las juntas se liberan y se fijan nuevamente hasta que cada junta tenga momentos desequilibrados de tamaño cero o despreciablemente pequeños en la precisión requerida. La suma aritmética de todos los momentos en cada columna respectiva da los valores de momento finales. ${\displaystyle M_{AB}^{f}=14.700\mathrm {\,kN\,m} }$ ${\displaystyle M_{BA}^{f}}$ ${\displaystyle M_{BC}^{f}}$ ${\displaystyle D_{BA}=0.2727}$ ${\displaystyle D_{BC}=0.7273}$ ${\displaystyle M_{BC}=3.867\mathrm {\,kN\,m} }$ ${\displaystyle M_{CB}^{f}}$ ${\displaystyle M_{CD}^{f}}$

Resultado

• Momentos en las articulaciones determinados por el método de distribución de momentos

${\displaystyle M_{A}=0\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{B}=-11.569\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{C}=-10.186\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{D}=-13.657\ kN\cdot m}$

Aquí se utiliza la convención de signos del ingeniero convencional, es decir, los momentos positivos provocan alargamiento en la parte inferior de un elemento de viga.

A modo de comparación, a continuación se presentan los resultados generados mediante un método matricial . Nótese que en el análisis anterior, el proceso iterativo se llevó a cabo con una precisión >0,01. El hecho de que los resultados del análisis matricial y los resultados del análisis de distribución de momentos coincidan con una precisión de 0,001 es mera coincidencia.

• Momentos en las articulaciones determinados por el método matricial

${\displaystyle M_{A}=0\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{B}=-11.569\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{C}=-10.186\ kN\cdot m}$

${\displaystyle M_{D}=-13.657\ kN\cdot m}$

Tenga en cuenta que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las uniones. Para desarrollar diagramas de momentos de flexión completos se requieren cálculos adicionales utilizando los momentos de unión determinados y el equilibrio de la sección interna.

Resultado por el método de desplazamientos

Como el método de Hardy Cross proporciona sólo resultados aproximados, con un margen de error inversamente proporcional al número de iteraciones, es importante ^{[ cita requerida ]} tener una idea de cuán preciso puede ser este método. Con esto en mente, aquí está el resultado obtenido al usar un método exacto: el método de desplazamiento

Para ello, la ecuación del método de desplazamientos asume la siguiente forma:

${\displaystyle \left[K\right]\left\{d\right\}=\left\{-f\right\}}$

Para la estructura descrita en este ejemplo, la matriz de rigidez es la siguiente:

${\displaystyle \left[K\right]={\begin{bmatrix}3{\frac {EI}{L}}+4{\frac {2EI}{L}}&2{\frac {2EI}{L}}\\2{\frac {2EI}{L}}&4{\frac {2EI}{L}}+4{\frac {EI}{L}}\end{bmatrix}}}$

El vector de fuerza nodal equivalente:

${\displaystyle \left\{f\right\}^{T}=\left\{-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}+q{\frac {L^{2}}{12}},-q{\frac {L^{2}}{12}}+P{\frac {L}{8}}\right\}}$

Reemplazando los valores presentados arriba en la ecuación y resolviéndola se llega al siguiente resultado: ${\displaystyle \left\{d\right\}}$

${\displaystyle \left\{d\right\}^{T}=\left\{6.9368;-5.7845\right\}}$

Por tanto, los momentos evaluados en el nodo B son los siguientes:

${\displaystyle M_{BA}=3{\frac {EI}{L}}d_{1}-P{\frac {ab(L+a)}{2L^{2}}}=-11.569}$

${\displaystyle M_{BC}=-4{\frac {2EI}{L}}d_{1}-2{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-11.569}$

Los momentos evaluados en el nodo C son los siguientes:

${\displaystyle M_{CB}=2{\frac {2EI}{L}}d_{1}+4{\frac {2EI}{L}}d_{2}-q{\frac {L^{2}}{12}}=-10.186}$

${\displaystyle M_{CD}=-4{\frac {EI}{L}}d_{2}-P{\frac {L}{8}}=-10.186}$

Véase también

• Método de elementos finitos
• Método de deflexión de pendiente

Notas

1. Cross, Hardy (1930). "Análisis de marcos continuos mediante la distribución de momentos en los extremos fijos". Actas de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles . ASCE. págs. 919–928.

Referencias

• Błaszkowiak, Stanisław; Zbigniew Kączkowski (1966). Métodos iterativos en análisis estructural . Prensa de Pérgamo, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
• Norris, Charles Head; John Benson Wilbur; Senol Utku (1976). Análisis estructural elemental (3.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 327–345. ISBN 0-07-047256-4.
• McCormac, Jack C.; Nelson, James K. Jr. (1997). Análisis estructural: un enfoque clásico y matricial (2.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 488–538. ISBN 0-673-99753-7.
• Yang, Chang-hyeon (10 de enero de 2001). Análisis estructural (en coreano) (4.ª ed.). Seúl: Cheong Moon Gak Publishers. Págs. 391–422. ISBN 89-7088-709-1Archivado desde el original el 8 de octubre de 2007. Consultado el 31 de agosto de 2007 .
• Volokh, KY (2002). "Sobre los fundamentos del método Hardy Cross". Revista internacional de sólidos y estructuras . 39 (16). Revista internacional de sólidos y estructuras, volumen 39, número 16, agosto de 2002, páginas 4197-4200: 4197–4200. doi :10.1016/S0020-7683(02)00345-1.