Producto Moyal

Un ejemplo de un producto estrella del espacio de fases en matemáticas

En matemáticas , el producto de Moyal (en honor a José Enrique Moyal ; también llamado producto estrella o producto de Weyl–Groenewold , en honor a Hermann Weyl y Hilbrand J. Groenewold ) es un ejemplo de un producto estrella del espacio de fases . Es un producto asociativo, no conmutativo, ★ , sobre las funciones en , dotado de su corchete de Poisson (con una generalización a variedades simplécticas , descrita más adelante). Es un caso especial del ★ -producto del "álgebra de símbolos" de un álgebra envolvente universal . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Comentarios históricos

El producto Moyal recibe su nombre de José Enrique Moyal , pero también se lo denomina a veces producto Weyl -Groenewold, ya que fue presentado por H. J. Groenewold en su tesis doctoral de 1946, en una apreciación aguda ^[1] de la correspondencia de Weyl . Moyal, en realidad, parece no saber nada sobre el producto en su célebre artículo ^[2] y lo omitió de manera crucial en su legendaria correspondencia con Dirac, como se ilustra en su biografía. ^[3] El nombre popular de Moyal parece haber surgido recién en la década de 1970, en homenaje a su imagen de cuantificación de espacio de fase plana . ^[4]

Definición

El producto de las funciones suaves f y g toma la forma donde cada C _n es un cierto operador bi diferencial de orden n caracterizado por las siguientes propiedades (ver a continuación una fórmula explícita): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ $${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$$

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar ),}$Deformación del producto puntual: implícita en la fórmula anterior.
• ${\displaystyle f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\}\},}$Deformación del soporte de Poisson, llamada soporte de Moyal .
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f,}$El 1 del álgebra no deformada es también la identidad en el nuevo álgebra.
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}},}$El complejo conjugado es un antiautomorfismo antilineal .

Nótese que, si uno desea tomar funciones valoradas en números reales , entonces una versión alternativa elimina la i en la segunda condición y elimina la cuarta condición.

Si uno se restringe a funciones polinomiales, el álgebra anterior es isomorfa al álgebra de Weyl A _n , y las dos ofrecen realizaciones alternativas del mapa de Weyl del espacio de polinomios en n variables (o el álgebra simétrica de un espacio vectorial de dimensión 2 n ).

Para proporcionar una fórmula explícita, considere un bivector de Poisson constante Π en : donde Π ^ij es un número real para cada i , j . El producto estrella de dos funciones f y g puede definirse entonces como el operador pseudodiferencial que actúa sobre ambas, donde ħ es la constante de Planck reducida , tratada aquí como un parámetro formal. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ $${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},}$$ $${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$$

Este es un caso especial de lo que se conoce como la fórmula de Berezin ^[5] sobre el álgebra de símbolos y se le puede dar una forma cerrada ^[6] (que se desprende de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff ). La forma cerrada se puede obtener utilizando la exponencial : donde m es la función de multiplicación, m ( a ⊗ b ) = ab , y la exponencial se trata como una serie de potencias, $${\displaystyle f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$$ $${\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}.}$$

Es decir, la fórmula para C _n es $${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.}$$

Como se indica, a menudo se eliminan todas las apariciones de i anteriores y las fórmulas se restringen naturalmente a números reales.

Nótese que si las funciones f y g son polinomios, las sumas infinitas anteriores se vuelven finitas (reduciéndose al caso ordinario del álgebra de Weyl).

La relación del producto de Moyal con el producto ★ generalizado utilizado en la definición del "álgebra de símbolos" de un álgebra envolvente universal se deriva del hecho de que el álgebra de Weyl es el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg (módulo en el que el centro es igual a la unidad).

Sobre colectores

En cualquier variedad simpléctica, se pueden elegir, al menos localmente, coordenadas de modo que la estructura simpléctica sea constante , por el teorema de Darboux ; y, utilizando el bivector de Poisson asociado, se puede considerar la fórmula anterior. Para que funcione globalmente, como una función en toda la variedad (y no solo una fórmula local), se debe dotar a la variedad simpléctica de una conexión simpléctica libre de torsión . Esto la convierte en una variedad de Fedosov .

Resultados más generales para variedades de Poisson arbitrarias (donde no se aplica el teorema de Darboux) se dan mediante la fórmula de cuantificación de Kontsevich .

Ejemplos

Un ejemplo explícito simple de la construcción y utilidad del ★ -producto (para el caso más simple de un espacio de fase euclidiano bidimensional ) se da en el artículo sobre la transformada de Wigner-Weyl : dos gaussianas se componen con este ★ -producto de acuerdo con una ley de tangente hiperbólica: ^[7] Equivalentemente, el límite clásico en es , como se esperaba. $${\displaystyle \exp \left[-a\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(q^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(q^{2}+p^{2}\right)\right].}$$ $${\displaystyle e^{-\tanh(a){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}\star e^{-\tanh(b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}={\frac {\tanh(a+b)}{\tanh(a)+\tanh(b)}}e^{-\tanh(a+b){\frac {q^{2}+p^{2}}{\hbar }}}}$$ ${\displaystyle \hbar \to 0,a/\hbar \to \alpha ,b/\hbar \to \beta }$ ${\displaystyle e^{-\alpha (q^{2}+p^{2})}e^{-\beta (q^{2}+p^{2})}=e^{-(\alpha +\beta )(q^{2}+p^{2})}}$

Sin embargo, cada prescripción de correspondencia entre el espacio de fases y el espacio de Hilbert induce su propio ★ -producto . ^{[8] [9]}

Resultados similares se observan en el espacio de Segal-Bargmann y en la representación theta del grupo de Heisenberg , donde se entiende que los operadores de creación y aniquilación a ^∗ = z y a = ∂ / ∂z actúan en el plano complejo (respectivamente, el semiplano superior para el grupo de Heisenberg), de modo que los operadores de posición y momento están dados por y . Esta situación es claramente diferente del caso en el que se considera que las posiciones tienen valores reales, pero ofrece información sobre la estructura algebraica general del álgebra de Heisenberg y su envolvente, el álgebra de Weyl. ${\displaystyle q={\frac {a+a^{*}}{2}}}$ ${\displaystyle p={\frac {a-a^{*}}{2i}}}$

Integrales internas del espacio de fases

Dentro de una integral de espacio de fases, se puede omitir un solo producto estrella del tipo Moyal, ^[10] lo que da como resultado una simple multiplicación, como se evidencia por la integración por partes, lo que hace manifiesta la ciclicidad de la traza del espacio de fases. Esta es una propiedad única del producto Moyal específico mencionado anteriormente, y no se cumple para los productos estrella de otras reglas de correspondencia, como la de Husimi, etc. $${\displaystyle \int dx\,dp\;f\star g=\int dx\,dp~f~g,}$$

Referencias

1. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental" (PDF) . Physica . 12 : 405–460.
2. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 : 99. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487.
3. Moyal, Ann (2006). Matemático inconformista: La vida y la ciencia de JE Moyal. ANU E-press.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069.
5. Berezin, Felix A. (1967). "Algunas observaciones sobre la envolvente asociada de un álgebra de Lie". Análisis funcional y sus aplicaciones . 1 : 91.
6. Bekaert, Xavier (junio de 2005). "Álgebras envolventes universales y algunas aplicaciones en física" (PDF) (Apuntes de la conferencia). Universidad Libre de Bruselas, Instituto de Altos Estudios Científicos.
7. Zachos, Cosmas ; Fairlie, David ; Curtright, Thomas , eds. (2005). Mecánica cuántica en el espacio de fases: una descripción general con artículos seleccionados . World Scientific Series in 20th Century Physics. Vol. 34. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-238-384-6.
8. Cohen, L (1995). Análisis de frecuencia de tiempo . Nueva York: Prentice-Hall. ISBN 978-0135945322.
9. Lee, HW (1995). "Teoría y aplicación de las funciones de distribución cuántica del espacio de fases". Physics Reports . 259 (3): 147. Bibcode :1995PhR...259..147L. doi :10.1016/0370-1573(95)00007-4.
10. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Un tratado conciso sobre mecánica cuántica en el espacio de fases . World Scientific . ISBN 9789814520430.