Curva estable

En geometría algebraica , una curva estable es una curva algebraica que es asintóticamente estable en el sentido de la teoría geométrica invariante .

Esto equivale a la condición de que sea una curva completa y conexa cuyas únicas singularidades sean puntos dobles ordinarios y cuyo grupo de automorfismos sea finito. La condición de que el grupo de automorfismos sea finito puede reemplazarse por la condición de que no sea del género uno aritmético y que cada componente racional no singular cumpla con los otros componentes en al menos 3 puntos (Deligne y Mumford 1969).

Una curva semiestable es aquella que satisface condiciones similares, excepto que se permite que el grupo de automorfismo sea reductivo en lugar de finito (o de manera equivalente, su componente conectado puede ser un toro). Alternativamente, la condición de que los componentes racionales no singulares cumplan con los otros componentes en al menos tres puntos se reemplaza por la condición de que se cumplan en al menos dos puntos.

De manera similar, una curva con un número finito de puntos marcados se llama estable si es completa, conectada, tiene solo puntos dobles ordinarios como singularidades y tiene un grupo de automorfismo finito. Por ejemplo, una curva elíptica (una curva no singular de género 1 con 1 punto marcado) es estable.

Sobre los números complejos, una curva conexa es estable si y sólo si, después de eliminar todos los puntos singulares y marcados, las cubiertas universales de todos sus componentes son isomorfas al disco unitario.

Definición

Dado un esquema arbitrario y estableciendo una curva estable de género g se define como un morfismo plano adecuado tal que las fibras geométricas se reducen, esquemas unidimensionales conectados tales que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi :C\to S}$ ${\displaystyle C_{s}}$

1. ${\displaystyle C_{s}}$sólo tiene singularidades ordinarias de doble punto
2. Todo componente racional se encuentra con otros componentes en más de un punto. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2}$
3. ${\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}$

Estas condiciones técnicas son necesarias porque (1) reduce la complejidad técnica (aquí también se puede utilizar la teoría de Picard-Lefschetz), (2) rigidiza las curvas para que no haya automorfismos infinitesimales de la pila de módulos construida posteriormente, y (3) garantiza que el género aritmético de cada fibra es el mismo. Tenga en cuenta que para (1) los tipos de singularidades que se encuentran en superficies elípticas se pueden clasificar completamente.

Ejemplos

Un ejemplo clásico de una familia de curvas estables lo da la familia de curvas de Weierstrass.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}$

donde las fibras de cada punto son lisas y los puntos degenerados solo tienen una singularidad de doble punto. Este ejemplo se puede generalizar al caso de una familia de un parámetro de curvas hiperelípticas suaves que degeneran en un número finito de puntos. ${\displaystyle \neq 0,1}$

No ejemplos

En el caso general de más de un parámetro, se debe tener cuidado de eliminar curvas que tengan singularidades peores que las de doble punto. Por ejemplo, considere la familia construida a partir de polinomios. ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

ya que a lo largo de la diagonal hay singularidades que no son de punto doble. Otro no ejemplo es la familia dada por los polinomios. ${\displaystyle s=t}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

que son una familia de curvas elípticas que degeneran en una curva racional con una cúspide.

Propiedades

Una de las propiedades más importantes de las curvas estables es el hecho de que son intersecciones locales completas. Esto implica que se puede utilizar la teoría estándar de la dualidad de Serre. En particular, se puede demostrar que por cada curva estable hay un haz relativamente muy amplio; se puede utilizar para incrustar la curva . Utilizando la teoría estándar del esquema de Hilbert, podemos construir un esquema de módulos de curvas de género incrustadas en algún espacio proyectivo. El polinomio de Hilbert viene dado por ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

Hay un sublugar de curvas estables contenido en el esquema de Hilbert.

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}$

Esto representa el funtor.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}$

donde están los isomorfismos de curvas estables. Para hacer de este el espacio de módulos de las curvas sin tener en cuenta la incrustación (que está codificada por el isomorfismo de los espacios proyectivos) tenemos que modificarlo con . Esto nos da la pila de módulos. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle PGL(5g-6)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}$

Ver también

• Módulos de curvas algebraicas.
• Mapa estable de curvas.

Referencias

• Artín, M .; Inviernos, G. (1 de noviembre de 1971). "Fibras degeneradas y reducción estable de curvas". Topología . 10 (4): 373–383. doi :10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN  0040-9383.
• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240, S2CID  16482150
• Gieseker, D. (1982), Conferencias sobre módulos de curvas (PDF) , Conferencias del Instituto Tata de Investigación Fundamental sobre Matemáticas y Física, vol. 69, publicado para el Instituto Tata de Investigación Fundamental, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, señor  0691308
• Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Módulos de curvas , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 187, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98429-2, señor  1631825