Hosoedro

Poliedro esférico compuesto por lunas

Esta pelota de playa sería un hosoedro con 6 caras esféricas de lunas , si se quitaran las 2 tapas blancas de los extremos y las lunas se extendieran para encontrarse en los polos.

En geometría esférica , un hosoedro n -gonal es una teselación de lunas sobre una superficie esférica , de modo que cada luna comparte los mismos dos vértices polares opuestos .

Un hosoedro n -gonal regular tiene el símbolo de Schläfli {2, n }, y cada lúmen esférico tiene un ángulo interno ⁠ 2π​/norte⁠ radianes ( ⁠360/norte⁠ grados). ^{[1] [2]}

Los hosoedros como poliedros regulares

Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es { m ,  n }, el número de caras poligonales es:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

Los sólidos platónicos conocidos hasta la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.

Al considerar los poliedros como un mosaico esférico , esta restricción puede relajarse, ya que los digones (2-gonos) pueden representarse como lunas esféricos , que tienen un área distinta de cero .

Permitiendo m = 2 hace

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2,  n } se representa como n contiguo a luna, con ángulos interiores de ⁠2π​/norte⁠ . Todos estos lunas esféricos comparten dos vértices comunes.

Simetría caleidoscópica

Las caras esféricas digonales de la luna de un -hosoedro, , representan los dominios fundamentales de la simetría diedral en tres dimensiones : la simetría cíclica , , , orden . Los dominios de reflexión se pueden mostrar como imágenes especulares mediante lunas coloreadas alternativamente. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \{2,2n\}}$ ${\displaystyle C_{nv}}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle (*nn)}$ ${\displaystyle 2n}$

Al dividir cada luna en dos triángulos esféricos se crea una bipirámide -gonal , que representa la simetría diedral , el orden . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{nh}}$ ${\displaystyle 4n}$

Relación con el sólido de Steinmetz

El hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al sólido bicilindro de Steinmetz , la intersección de dos cilindros en ángulos rectos. ^[3]

Poliedros derivados

El dual del hosoedro n-gonal {2,  n } es el diedro n -gonal { n , 2}. El poliedro {2,2} es autodual y es a la vez hosoedro y diedro.

Un hosoedro puede modificarse de la misma manera que los demás poliedros para producir una variación truncada . El hosoedro n -gonal truncado es el prisma n-gonal .

Hosoedro apeirogonal

En el límite, el hosoedro se convierte en un hosoedro apeirogonal como una teselación bidimensional:

Hosótopos

Los análogos multidimensionales en general se denominan hosótopos . Un hosótopo regular con símbolo de Schläfli {2, p ,..., q } tiene dos vértices, cada uno con una figura de vértice { p ,..., q }.

El hosótopo bidimensional , {2}, es un digón .

Etimología

El término “hosohedro” parece derivar del griego ὅσος ( hosos ) “tantos”, siendo la idea de que un hosohedro puede tener “ tantas caras como se desee”. ^[4] Fue introducido por Vito Caravelli en el siglo XVIII. ^[5]

Véase también

• Poliedro
• Politopo

Referencias

1. Coxeter, Politopos regulares , pág. 12
2. Resumen Politopos regulares, p. 161
3. Weisstein, Eric W. "Sólido de Steinmetz". MathWorld .
4. Steven Schwartzman (1 de enero de 1994). Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés . MAA. págs. 108-109. ISBN 978-0-88385-511-9.
5. Coxeter, HSM (1974). Politopos complejos regulares . Londres: Cambridge University Press. p. 20. ISBN. 0-521-20125-XEl hosoedro {2,p} (en una forma ligeramente distorsionada) fue bautizado así por Vito Caravelli (1724–1800) ...

• McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
• Coxeter, HSM , Politopos regulares (tercera edición), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61480-8 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hosohedro". MathWorld .