Sólido de Steinmetz

Intersección de cilindros

Sólido de Steinmetz (intersección de dos cilindros)

En geometría , un sólido de Steinmetz es el cuerpo sólido obtenido como intersección de dos o tres cilindros de igual radio en ángulo recto . Cada una de las curvas de la intersección de dos cilindros es una elipse.

La intersección de dos cilindros se denomina bicilindro . Topológicamente , es equivalente a un hosoedro cuadrado . La intersección de tres cilindros se denomina tricilindro . Un bicilindro bisecado se denomina bóveda , ^[1] y una bóveda de claustro en arquitectura tiene esta forma.

Los sólidos de Steinmetz reciben su nombre del matemático Charles Proteus Steinmetz , ^[2] quien resolvió el problema de determinar el volumen de la intersección. Sin embargo, el mismo problema había sido resuelto antes, por Arquímedes en el mundo griego antiguo, ^{[3] [4]} Zu Chongzhi en la antigua China, ^[5] y Piero della Francesca en el Renacimiento italiano temprano. ^[3] Aparecen de manera destacada en las esculturas de Frank Smullin .

Representación animada de una bicicleta

Bicicleta

La generación de un bicilindro

Calcular el volumen de un bicilindro

Un bicilindro generado por dos cilindros con radio r tiene el volumen y el área superficial ^{[1] [6]} $${\displaystyle V={\frac {16}{3}}r^{3},}$$ $${\displaystyle A=16r^{2}.}$$

La mitad superior de un bicilindro es el caso cuadrado de una bóveda abovedada , un sólido en forma de cúpula basado en cualquier polígono convexo cuyas secciones transversales son copias similares del polígono, y fórmulas análogas que calculan el volumen y el área de superficie de una bóveda abovedada como un múltiplo racional del volumen y el área de superficie de su prisma envolvente se mantienen de manera más general. ^[7] En China, el bicilindro se conoce como Mou he fang gai , literalmente "paraguas de dos cuadrados"; fue descrito por el matemático del siglo III Liu Hui . ^[8]

Prueba de la fórmula del volumen

Para obtener la fórmula del volumen es conveniente utilizar la idea común para calcular el volumen de una esfera : recolectar rebanadas delgadas de cilindros. En este caso, las rebanadas delgadas son cuboides cuadrados (ver diagrama). Esto lleva a Es bien sabido que las relaciones de los volúmenes de un cono circular recto, la mitad de una esfera y un cilindro circular recto con los mismos radios y alturas son 1:2:3 . Para la mitad de un bicilindro es cierta una afirmación similar: $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\ \mathrm {d} z\\[2pt]&={\frac {16}{3}}r^{3}.\end{aligned}}}$$

• Las relaciones de los volúmenes de la pirámide cuadrada inscrita, el semicilindro y el cuboide cuadrado circundante son 1:2:3 : ${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V={\tfrac {4}{3}}r^{3}),}$ ${\displaystyle (V={\tfrac {8}{3}}r^{3})}$ ${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V=4r^{3})}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\frac {4}{3}}r^{3}&:&{\frac {8}{3}}r^{3}&:&4r^{3}\\[2pt]1&:&2&:&3\end{array}}}$$

Uso del cálculo multivariable

Consideremos las ecuaciones de los cilindros:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+z^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$$

El volumen estará dado por:

$${\displaystyle V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

Con los límites de la integración:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &z&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &y&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-r&\leqslant &x&\leqslant &r\end{array}}}$$

Sustituyendo, tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\[2pt]&=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}\\[2pt]&={\frac {16r^{3}}{3}}\end{aligned}}}$$

Prueba de la fórmula del área

El área de la superficie consta de dos triángulos cilíndricos rojos y dos azules. Un triángulo rojo está cortado en mitades por el plano yz y se desarrolla en el plano de manera que el semicírculo (intersección con el plano yz ) se desarrolla sobre el eje ξ positivo y el desarrollo del triángulo está limitado hacia arriba por el arco seno. Por lo tanto, el área de este desarrollo es ${\displaystyle \eta =r\sin {\tfrac {\xi }{r}},\ 0\leq \xi \leq \pi r.}$

bóveda del claustro

$${\displaystyle B=\int _{0}^{\pi r}r\sin {\frac {\xi }{r}}\ \mathrm {d} \xi =r^{2}\cos {0}-r^{2}\cos {\pi }=2r^{2}}$$y la superficie total es: $${\displaystyle A=8B=16r^{2}.}$$

Prueba alternativa de la fórmula del volumen

Para obtener el volumen de un bicilíndrico (blanco), se puede encerrarlo dentro de un cubo (rojo). Cuando un plano, paralelo a los ejes de los cilindros, interseca el bicilíndrico, forma un cuadrado. La intersección de este plano con el cubo da como resultado un cuadrado más grande. La diferencia de área entre estos dos cuadrados corresponde a cuatro cuadrados más pequeños (azules). A medida que el plano atraviesa los sólidos, estos cuadrados azules forman pirámides cuadradas con caras isósceles en las esquinas del cubo. Los vértices de estas pirámides se encuentran en los puntos medios de las cuatro aristas del cubo. Al mover el plano a través de todo el bicilíndrico, se obtienen un total de ocho pirámides.

• 
  El método de Zu Chongzhi (similar al principio de Cavalieri ) para calcular el volumen de una esfera incluye el cálculo del volumen de un bicilíndrico.
• 
  Relación del área de la sección de un cilindro de bicicleta con la de un cubo

El volumen del cubo (rojo) menos el volumen de las ocho pirámides (azul) es el volumen del bicilindro (blanco). El volumen de las ocho pirámides es: y entonces podemos calcular que el volumen del bicilindro es $${\displaystyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3},}$$ $${\displaystyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}.}$$

Tricilindro

Generación de la superficie de un tricilindro: Primero se cortan dos cilindros (rojo, azul). El tricilindro así generado es cortado por el tercer cilindro (verde).

La intersección de tres cilindros con ejes que se cortan perpendicularmente genera una superficie de un sólido con vértices donde se encuentran 3 aristas y vértices donde se encuentran 4 aristas. El conjunto de vértices puede considerarse como las aristas de un dodecaedro rómbico . La clave para la determinación del volumen y el área de superficie es la observación de que el tricilindro puede ser remuestreado por el cubo con los vértices donde se encuentran 3 aristas (s. diagrama) y 6 pirámides curvas (los triángulos son partes de superficies de cilindros). El volumen y el área de superficie de los triángulos curvos pueden determinarse mediante consideraciones similares a las que se hacen para el bicilindro anterior. ^{[1] [6]}

El volumen de un tricilindro es y el área de la superficie es $${\displaystyle V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}}$$ $${\displaystyle A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.}$$

Más cilindros

Con cuatro cilindros, con ejes que conectan los vértices de un tetraedro con los puntos correspondientes en el otro lado del sólido, el volumen es ^{[1] [6]}

$${\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}$$

Con seis cilindros, con ejes paralelos a las diagonales de las caras de un cubo , el volumen es: ^{[1] [6]}

$${\displaystyle V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,}$$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Ungula

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Sólido de Steinmetz". MathWorld .
2. Howard Eves, Cortando las piezas en tiras finas, en: David Klarner, El jardinero matemático, Wadsworth International 1981, pág. 111
3. Peterson, Mark A. (1997). "La geometría de Piero della Francesca". The Mathematical Intelligencer . 19 (3): 33–40. doi :10.1007/BF03025346. MR  1475147. S2CID  120720532.
4. Jan Hogendijk (2002). "La superficie del bicilindro y el método de Arquímedes". Historia Matemática . 29 (2): 199–203. doi : 10.1006/hmat.2002.2349 . SEÑOR  1896975.
5. Swetz, Frank J. (febrero de 1995). "El volumen de una esfera: una derivación china". The Mathematics Teacher . 88 (2): 142–145. doi :10.5951/MT.88.2.0142. JSTOR  27969235.
6. Moore, M. (1974). "Intersecciones simétricas de cilindros circulares rectos". The Mathematical Gazette . 58 (405): 181–185. doi :10.2307/3615957. JSTOR  3615957.
7. Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2006). "Sólidos que circunscriben esferas" (PDF) . American Mathematical Monthly . 113 (6): 521–540. doi :10.2307/27641977. JSTOR  27641977. MR  2231137. Archivado desde el original (PDF) el 2012-02-07 . Consultado el 2007-03-25 .
8. Wang, Jianpang; Fan, Lianghuo; Xu, Binyan (2021). Libros de texto de matemáticas escolares en China: estudios comparativos y más allá . World Scientific. pág. 476.

Enlaces externos

• Un modelo 3D del sólido de Steinmetz en Google 3D Warehouse