Palabra (teoría de grupos)

En teoría de grupos , una palabra es cualquier producto escrito de elementos de un grupo y sus inversos. Por ejemplo, si x , y y z son elementos de un grupo G , entonces xy , z ⁻¹ xzz e y ⁻¹ zxx ⁻¹ yz ⁻¹ son palabras del conjunto { x ,  y ,  z }. Dos palabras diferentes pueden evaluarse con el mismo valor en G , ^[1] o incluso en cada grupo. ^[2] Las palabras juegan un papel importante en la teoría de grupos libres y presentaciones , y son objetos centrales de estudio en la teoría combinatoria de grupos .

Definiciones

Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Una palabra en S es cualquier expresión de la forma

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

donde s ₁ ,..., s _n son elementos de S , llamados generadores , y cada ε _i es ±1. El número n se conoce como longitud de la palabra.

Cada palabra en S representa un elemento de G , es decir, el producto de la expresión. Por convención, el elemento de identidad único ^[3] se puede representar mediante la palabra vacía , que es la palabra única de longitud cero.

Notación

Al escribir palabras, es común utilizar la notación exponencial como abreviatura. Por ejemplo, la palabra

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

podría escribirse como

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

Esta última expresión no es una palabra en sí misma; es simplemente una notación más corta del original.

Cuando se trata de palabras largas, puede resultar útil utilizar una línea superpuesta para indicar las inversas de elementos de S. Usando notación sobrelínea, la palabra anterior se escribiría de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

palabras reducidas

Cualquier palabra en la que aparezca un generador junto a su propio inverso ( xx ⁻¹ o x ⁻¹ x ) se puede simplificar omitiendo el par redundante:

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

Esta operación se conoce como reducción y no cambia el elemento del grupo representado por la palabra. Las reducciones pueden considerarse como relaciones (definidas a continuación) que se derivan de los axiomas de grupo .

Una palabra reducida es una palabra que no contiene pares redundantes. Cualquier palabra se puede simplificar a una palabra reducida realizando una secuencia de reducciones:

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

El resultado no depende del orden en que se realicen las reducciones.

Una palabra se reduce cíclicamente si y sólo si se reduce cada permutación cíclica de la palabra.

Operaciones con palabras

El producto de dos palabras se obtiene por concatenación:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

Incluso si se reducen las dos palabras, es posible que el producto no lo sea.

El inverso de una palabra se obtiene invirtiendo cada generador, e invirtiendo el orden de los elementos:

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

El producto de una palabra con su inverso se puede reducir a la palabra vacía:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

Puedes mover un generador desde el principio al final de una palabra mediante conjugación :

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

Grupo electrógeno de un grupo

Un subconjunto S de un grupo G se llama conjunto generador si cada elemento de G puede representarse mediante una palabra en S.

Cuando S no es un conjunto generador de G , el conjunto de elementos representados por palabras en S es un subgrupo de G , conocido como el subgrupo de G generado por S y generalmente denotado . Es el subgrupo más pequeño de G que contiene los elementos de S. ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Formas normales

Una forma normal para un grupo G con conjunto generador S es la elección de una palabra reducida en S para cada elemento de G. Por ejemplo:

• Las palabras 1, i , j , ij son una forma normal para el grupo de cuatro de Klein con S = { i ,   j } y 1 representando la palabra vacía (el elemento de identidad del grupo).
• Las palabras 1, r , r ² , ..., r ^n-1 , s , sr , ..., sr ^n-1 son una forma normal para el grupo diédrico Dih _n con S = { s ,   r } y 1 como anteriormente.
• El conjunto de palabras de la forma x ^m y ⁿ para m,n  ∈  Z son una forma normal para el producto directo de los grupos cíclicos ⟨ x ⟩ y ⟨ y ⟩ con S = { x ,   y }.
• El conjunto de palabras reducidas en S es la forma normal única para el grupo libre sobre S.

Relaciones y presentaciones

Si S es un conjunto generador para un grupo G , una relación es un par de palabras en S que representan el mismo elemento de G. Generalmente se escriben como ecuaciones, por ejemplo, un conjunto de relaciones define G si cada relación en G se sigue lógicamente de aquellas que se utilizan al usar los axiomas para un grupo . Una presentación para G es un par , donde S es un conjunto generador para G y es un conjunto definitorio de relaciones. ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Por ejemplo, el grupo de cuatro Klein puede definirse mediante la presentación

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

Aquí 1 denota la palabra vacía, que representa el elemento de identidad.

Grupos libres

Si S es cualquier conjunto, el grupo libre sobre S es el grupo con presentación . Es decir, el grupo libre sobre S es el grupo generado por los elementos de S , sin relaciones extra. Cada elemento del grupo libre se puede escribir de forma única como una palabra reducida en S. ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$

Ver también

• Problema verbal (matemáticas)
• Problema verbal para grupos

Notas

1. por ejemplo, f _d r ₁ y r ₁ f _c en el grupo de simetrías cuadradas
2. por ejemplo, xy y xzz ⁻¹ y
3. Unicidad del elemento de identidad y sus inversas.

Referencias

• Epstein, David ; Cañón, JW ; Holt, DF; Levy, SVF; Paterson, MS ; Thurston, WP (1992). Procesamiento de textos en grupos . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Novikov, PS (1955). "Sobre la insolubilidad algorítmica del problema verbal en teoría de grupos". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 44 : 1–143.
• Robinson, Derek John Scott (1996). Un curso de teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, José J. (1995). Una introducción a la teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E ; Lyndon, Roger C. (2001). Teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitario, Donald ; Magnus, Guillermo ; Karrass, Abraham (2004). Teoría combinatoria de grupos: presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
• Stillwell, John (1993). Topología clásica y teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.