En geometría algebraica , la terminación suave (o compactificación suave ) de una curva algebraica afín suave X es una curva algebraica suave completa que contiene a X como un subconjunto abierto. [1] Las terminaciones suaves existen y son únicas en un cuerpo perfecto .
Una forma afín de una curva hiperelíptica puede presentarse como donde y P ( x ) tiene raíces distintas y tiene un grado de al menos 5. El cierre de Zariski de la curva afín en es singular en el único punto infinito añadido. No obstante, la curva afín puede estar incrustada en una única superficie compacta de Riemann llamada su terminación suave. La proyección de la superficie de Riemann a es 2 a 1 sobre el punto singular en el infinito si tiene un grado par, y 1 a 1 (pero ramificada) en caso contrario.
Esta terminación suave también se puede obtener de la siguiente manera: proyecte la curva afín a la línea afín utilizando la coordenada x . Incruste la línea afín en la línea proyectiva y luego normalice la línea proyectiva en el campo de funciones de la curva afín.
Una curva suave y conexa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se llama hiperbólica si donde g es el género de la terminación suave y r es el número de puntos añadidos.
Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0, el grupo fundamental de X es libre con generadores si r > 0.
(Análogo del teorema de unidad de Dirichlet ) Sea X una curva suave y conexa sobre un cuerpo finito. Entonces las unidades del anillo de funciones regulares O(X) sobre X son un grupo abeliano finitamente generado de rango r -1.
Supongamos que el campo base es perfecto. Cualquier curva afín X es isomorfa a un subconjunto abierto de una curva proyectiva integral (y, por lo tanto, completa). Al tomar la normalización (o aumentar las singularidades) de la curva proyectiva, se obtiene una terminación suave de X. Sus puntos corresponden a las valoraciones discretas del campo de funciones que son triviales en el campo base.
Por construcción, la terminación suave es una curva proyectiva que contiene la curva dada como un subconjunto abierto denso en todas partes, y los nuevos puntos agregados son suaves. Una terminación (proyectiva) de este tipo siempre existe y es única.
Si el cuerpo base no es perfecto, no siempre existe una terminación suave de una curva afín suave. Pero el proceso anterior siempre produce una terminación regular si comenzamos con una curva afín regular (las variedades suaves son regulares y lo inverso es cierto sobre cuerpos perfectos). Una terminación regular es única y, por el criterio valuativo de propiedad , cualquier morfismo desde la curva afín hasta una variedad algebraica completa se extiende de manera única a la terminación regular.
Si X es una variedad algebraica separada , un teorema de Nagata [2] dice que X puede ser incluido como un subconjunto abierto de una variedad algebraica completa. Si X es además suave y el cuerpo base tiene característica 0, entonces por el teorema de Hironaka X puede incluso ser incluido como un subconjunto abierto de una variedad algebraica suave completa, con borde un divisor de cruce normal. Si X es cuasi-proyectivo, la terminación suave puede ser elegida para ser proyectiva.
Sin embargo, a diferencia del caso unidimensional, no hay unicidad de la terminación suave, ni es canónica.
