Sistema lineal invariante en el tiempo

Modelo matemático que es a la vez lineal e invariante en el tiempo.

Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición y la invariancia temporal de un sistema determinista de entrada única y salida única en tiempo continuo. El sistema satisface el principio de superposición y es invariante en el tiempo si y solo si y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ₀ ) + a ₂ y ₂ ( t – t ₀ ) para todo tiempo t , para todas las constantes reales a ₁ , a ₂ , t ₀ y para todas las entradas x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . ^[1] Haga clic en la imagen para ampliarla.

En el análisis de sistemas , entre otros campos de estudio, un sistema lineal invariante en el tiempo ( LTI ) es un sistema que produce una señal de salida a partir de cualquier señal de entrada sujeta a las restricciones de linealidad e invariancia en el tiempo ; estos términos se definen brevemente en la descripción general a continuación. Estas propiedades se aplican (exactamente o aproximadamente) a muchos sistemas físicos importantes, en cuyo caso la respuesta y ( t ) del sistema a una entrada arbitraria x ( t ) se puede encontrar directamente utilizando convolución : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) donde h ( t ) se llama respuesta al impulso del sistema y ∗ representa la convolución (que no debe confundirse con la multiplicación). Además, existen métodos sistemáticos para resolver cualquier sistema de este tipo (determinando h ( t ) ), mientras que los sistemas que no cumplen con ambas propiedades son generalmente más difíciles (o imposibles) de resolver analíticamente. Un buen ejemplo de un sistema LTI es cualquier circuito eléctrico que consta de resistencias , condensadores , inductores y amplificadores lineales . ^[2]

La teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se utiliza en el procesamiento de imágenes , donde los sistemas tienen dimensiones espaciales en lugar de, o además de, una dimensión temporal. Estos sistemas pueden denominarse invariantes en la traducción lineal para darle a la terminología el alcance más general. En el caso de sistemas genéricos de tiempo discreto (es decir, muestreados ), el término correspondiente es invariante en el desplazamiento lineal . La teoría de sistemas LTI es un área de las matemáticas aplicadas que tiene aplicaciones directas en el análisis y diseño de circuitos eléctricos , procesamiento de señales y diseño de filtros , teoría de control , ingeniería mecánica , procesamiento de imágenes , diseño de instrumentos de medición de muchos tipos, espectroscopia de RMN ^{[ cita requerida ]} y muchas otras áreas técnicas donde se presentan sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Descripción general

Las propiedades definitorias de cualquier sistema LTI son la linealidad y la invariancia temporal .

• Linealidad significa que la relación entre la entrada y la salida , ambas consideradas como funciones, es una aplicación lineal: si es una constante, entonces la salida del sistema a es ; si es otra entrada con salida del sistema , entonces la salida del sistema a es , lo que se aplica a todas las opciones de , , . La última condición se conoce a menudo como el principio de superposición . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax(t)}$ ${\displaystyle ay(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle x(t)+x'(t)}$ ${\displaystyle y(t)+y'(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$
• La invariancia temporal significa que, independientemente de si aplicamos una entrada al sistema ahora o dentro de T segundos, la salida será idéntica, salvo por un retraso temporal de T segundos. Es decir, si la salida debida a la entrada es , entonces la salida debida a la entrada es . Por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo porque la salida no depende del momento particular en que se aplica la entrada. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t-T)}$ ${\displaystyle y(t-T)}$

El resultado fundamental de la teoría de sistemas LTI es que cualquier sistema LTI puede caracterizarse completamente por una única función llamada respuesta al impulso del sistema . La salida del sistema es simplemente la convolución de la entrada al sistema con la respuesta al impulso del sistema . Esto se llama un sistema de tiempo continuo . De manera similar, un sistema lineal invariante en el tiempo discreto (o, de manera más general, "invariante por desplazamiento") se define como uno que opera en tiempo discreto : donde y , x y h son secuencias y la convolución, en tiempo discreto, utiliza una suma discreta en lugar de una integral. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

Relación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia

Los sistemas LTI también se pueden caracterizar en el dominio de la frecuencia por la función de transferencia del sistema , que es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso del sistema (o transformada Z en el caso de sistemas de tiempo discreto). Como resultado de las propiedades de estas transformadas, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia es el producto de la función de transferencia y la transformada de la entrada. En otras palabras, la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

Para todos los sistemas LTI, las funciones propias y las funciones base de las transformadas son exponenciales complejas . Es decir, si la entrada a un sistema es la forma de onda compleja para una cierta amplitud y frecuencia complejas , la salida será una constante compleja multiplicada por la entrada, por ejemplo, para una nueva amplitud compleja . La relación es la función de transferencia a la frecuencia . ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$ ${\displaystyle s}$

Dado que las sinusoides son una suma de exponenciales complejos con frecuencias conjugadas complejas, si la entrada al sistema es una sinusoide, entonces la salida del sistema también será una sinusoide, quizás con una amplitud y una fase diferentes , pero siempre con la misma frecuencia al alcanzar el estado estable. Los sistemas LTI no pueden producir componentes de frecuencia que no estén en la entrada.

La teoría de sistemas LTI es buena para describir muchos sistemas importantes. La mayoría de los sistemas LTI se consideran "fáciles" de analizar, al menos en comparación con el caso no lineal o que varía con el tiempo . Cualquier sistema que pueda modelarse como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es un sistema LTI. Ejemplos de tales sistemas son los circuitos eléctricos compuestos por resistencias , inductores y condensadores (circuitos RLC). Los sistemas ideales de resorte-masa-amortiguador también son sistemas LTI y son matemáticamente equivalentes a los circuitos RLC.

La mayoría de los conceptos de los sistemas LTI son similares en los casos de tiempo continuo y tiempo discreto (invariancia de desplazamiento lineal). En el procesamiento de imágenes, la variable de tiempo se reemplaza por dos variables de espacio, y la noción de invariancia de tiempo se reemplaza por la invariancia de desplazamiento bidimensional. Al analizar los bancos de filtros y los sistemas MIMO , a menudo resulta útil considerar vectores de señales.

Un sistema lineal que no sea invariante en el tiempo se puede resolver utilizando otros enfoques como el método de la función de Green .

Sistemas de tiempo continuo

Respuesta al impulso y convolución

El comportamiento de un sistema lineal, continuo en el tiempo e invariante en el tiempo con señal de entrada x ( t ) y señal de salida y ( t ) se describe mediante la integral de convolución: ^[3]

donde es la respuesta del sistema a un impulso : . por lo tanto, es proporcional a un promedio ponderado de la función de entrada . La función de ponderación es , simplemente se desplaza por la cantidad . A medida que cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. Cuando es cero para todos los negativos , depende solo de los valores de antes del tiempo , y se dice que el sistema es causal . ${\textstyle h(t)}$ ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ ${\textstyle h(-\tau )}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$

Para entender por qué la convolución produce la salida de un sistema LTI, supongamos que la notación representa la función con variable y constante . Y supongamos que la notación más corta representa . Entonces, un sistema de tiempo continuo transforma una función de entrada, en una función de salida, . Y, en general, cada valor de la salida puede depender de cada valor de la entrada. Este concepto se representa mediante: donde es el operador de transformación para el tiempo . En un sistema típico, depende en gran medida de los valores de que ocurrieron cerca del tiempo . A menos que la propia transformación cambie con , la función de salida es simplemente constante y el sistema no es interesante. ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ ${\textstyle x(u-\tau )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{y\}}$ $${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$ ${\textstyle O_{t}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$

Para un sistema lineal, se debe satisfacer la ecuación 1 : ${\textstyle O}$

Y el requisito de invariancia en el tiempo es:

En esta notación, podemos escribir la respuesta al impulso como ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Similarmente:

Sustituyendo este resultado en la integral de convolución: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

que tiene la forma del lado derecho de la ecuación 2 para el caso y ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

La ecuación 2 permite entonces esta continuación: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

En resumen, la función de entrada, , puede representarse mediante un continuo de funciones de impulso desplazadas en el tiempo, combinadas "linealmente", como se muestra en la ecuación 1. La propiedad de linealidad del sistema permite que la respuesta del sistema se represente mediante el continuo correspondiente de respuestas de impulso , combinadas de la misma manera. Y la propiedad de invariancia temporal permite que esa combinación se represente mediante la integral de convolución. ${\textstyle \{x\}}$

Las operaciones matemáticas anteriores tienen una simulación gráfica sencilla. ^[4]

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es una versión escalada de la misma función, es decir, donde f es la función propia y es el valor propio , una constante. $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$ ${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un operador lineal invariante en el tiempo . Una demostración sencilla ilustra este concepto. Supongamos que la entrada es . La salida del sistema con respuesta al impulso es entonces , que, por la propiedad conmutativa de la convolución , es equivalente a ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$ ${\displaystyle h(t)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}$$

donde el escalar depende únicamente del parámetro s . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

Por lo tanto, la respuesta del sistema es una versión escalada de la entrada. En particular, para cualquier , la salida del sistema es el producto de la entrada por la constante . Por lo tanto, es una función propia de un sistema LTI y el valor propio correspondiente es . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$

Prueba directa

También es posible derivar directamente exponenciales complejas como funciones propias de sistemas LTI.

Vamos a establecer una versión exponencial compleja y una versión desplazada en el tiempo. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$por linealidad con respecto a la constante . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$por invariancia temporal de . ${\displaystyle H}$

Entonces , al configurar y renombrar obtenemos: es decir, que una exponencial compleja como entrada dará una exponencial compleja de la misma frecuencia como salida. ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$ ${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Transformadas de Fourier y Laplace

La propiedad de función propia de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformada de Laplace unilateral es exactamente la forma de obtener los valores propios de la respuesta al impulso. De particular interés son las sinusoides puras (es decir, funciones exponenciales de la forma donde y ). La transformada de Fourier proporciona los valores propios para sinusoides complejas puras. Tanto de como se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(j\omega )}$

La transformada de Laplace se utiliza habitualmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para todos los valores de t menores que algún valor. Normalmente, este "tiempo de inicio" se establece en cero, por conveniencia y sin pérdida de generalidad, y la integral de la transformada se toma de cero a infinito (la transformada que se muestra arriba con un límite inferior de integración de infinito negativo se conoce formalmente como transformada de Laplace bilateral ).

La transformada de Fourier se utiliza para analizar sistemas que procesan señales de extensión infinita, como las sinusoides moduladas, aunque no se puede aplicar directamente a señales de entrada y salida que no sean integrables al cuadrado . La transformada de Laplace funciona directamente para estas señales si son cero antes de un tiempo de inicio, incluso si no son integrables al cuadrado, para sistemas estables. La transformada de Fourier se aplica a menudo a espectros de señales infinitas a través del teorema de Wiener-Khinchin incluso cuando no existen transformadas de Fourier de las señales.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada, dadas las señales para las que existen las transformadas. $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

Se puede utilizar la respuesta del sistema directamente para determinar cómo un sistema con esa transformada de Laplace maneja cualquier componente de frecuencia particular. Si evaluamos la respuesta del sistema (transformada de Laplace de la respuesta al impulso) a la frecuencia compleja s = jω , donde ω = 2 πf , obtenemos | H ( s )| que es la ganancia del sistema para la frecuencia f . El cambio de fase relativo entre la salida y la entrada para ese componente de frecuencia también está dado por arg( H ( s )).

Ejemplos

• Un ejemplo simple de un operador LTI es la derivada .
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

  Cuando se toma la transformada de Laplace de la derivada, se transforma en una simple multiplicación por la variable de Laplace s . $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$$

  Que la derivada tenga una transformada de Laplace tan simple explica en parte la utilidad de la transformada.
• Otro operador LTI simple es un operador de promedio. Por la linealidad de la integración, es lineal. Además, debido a que es invariante en el tiempo. De hecho, se puede escribir como una convolución con la función boxcar . Es decir, donde la función boxcar $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,}$$ $${\displaystyle \Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$$

Propiedades importantes del sistema

Algunas de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. La causalidad es una necesidad para un sistema físico cuya variable independiente es el tiempo, sin embargo esta restricción no está presente en otros casos como el procesamiento de imágenes.

Causalidad

Un sistema es causal si el resultado depende únicamente de las entradas presentes y pasadas, pero no de las futuras. Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es $${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

donde es la respuesta al impulso. En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada de Laplace bilateral . Sin embargo, cuando se trabaja en el dominio del tiempo, normalmente se utiliza la transformada de Laplace unilateral que requiere causalidad. ${\displaystyle h(t)}$

Estabilidad

Un sistema es estable en cuanto a entradas y salidas acotadas (estable BIBO) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si cada entrada satisface $${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

conduce a una salida satisfactoria $${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(es decir, un valor absoluto máximo finito de implica un valor absoluto máximo finito de ), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta al impulso, esté en L 1 ^{(tiene una norma L 1} finita ): ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ $${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el eje imaginario . ${\displaystyle s=j\omega }$

Por ejemplo, el filtro de paso bajo ideal con respuesta al impulso igual a una función sinc no es estable en términos de BIBO, porque la función sinc no tiene una norma L ¹ finita . Por lo tanto, para alguna entrada acotada, la salida del filtro de paso bajo ideal es ilimitada. En particular, si la entrada es cero para e igual a una sinusoide en la frecuencia de corte para , entonces la salida será ilimitada para todos los tiempos excepto los cruces por cero. ^{[ dudoso – discutir ]} ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Sistemas de tiempo discreto

Casi todo en los sistemas de tiempo continuo tiene una contraparte en los sistemas de tiempo discreto.

Sistemas de tiempo discreto a partir de sistemas de tiempo continuo

En muchos contextos, un sistema de tiempo discreto (DT) es en realidad parte de un sistema de tiempo continuo (CT) más grande. Por ejemplo, un sistema de grabación digital toma un sonido analógico, lo digitaliza, posiblemente procesa las señales digitales y reproduce un sonido analógico para que la gente lo escuche.

En los sistemas prácticos, las señales DT obtenidas son normalmente versiones muestreadas uniformemente de las señales CT. Si es una señal CT, entonces el circuito de muestreo utilizado antes de un convertidor analógico a digital la transformará en una señal DT: donde T es el período de muestreo . Antes del muestreo, la señal de entrada normalmente se pasa por un llamado filtro Nyquist que elimina frecuencias por encima de la "frecuencia de plegado" 1/(2T); esto garantiza que no se perderá ninguna información en la señal filtrada. Sin filtrado, cualquier componente de frecuencia por encima de la frecuencia de plegado (o frecuencia de Nyquist ) se alias a una frecuencia diferente (distorsionando así la señal original), ya que una señal DT solo puede admitir componentes de frecuencia inferiores a la frecuencia de plegado. ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

Respuesta al impulso y convolución

Sea la secuencia representada ${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$ ${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

Y dejemos que la notación más corta represente ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Un sistema discreto transforma una secuencia de entrada en una secuencia de salida. En general, cada elemento de la salida puede depender de cada elemento de la entrada. Representando el operador de transformación por , podemos escribir: ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}.}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

Obsérvese que, a menos que la propia transformación cambie con n , la secuencia de salida es simplemente constante y el sistema no resulta interesante (de ahí el subíndice n ). En un sistema típico, y [ n ] depende en gran medida de los elementos de x cuyos índices están cerca de n .

Para el caso especial de la función delta de Kronecker , la secuencia de salida es la respuesta al impulso : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$ $${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

Para un sistema lineal, debe satisfacer: ${\displaystyle O}$

Y el requisito de invariancia en el tiempo es:

En un sistema de este tipo, la respuesta al impulso, , caracteriza al sistema por completo. Es decir, para cualquier secuencia de entrada, la secuencia de salida se puede calcular en términos de la entrada y la respuesta al impulso. Para ver cómo se hace esto, considere la identidad: ${\displaystyle \{h\}}$ $${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

que se expresa en términos de una suma de funciones delta ponderadas. ${\displaystyle \{x\}}$

Por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

donde hemos invocado la ecuación 4 para el caso y . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$ ${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

Y debido a la ecuación 5 , podemos escribir: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

Por lo tanto:

que es la conocida fórmula de convolución discreta. Por lo tanto, el operador puede interpretarse como proporcional a un promedio ponderado de la función x [ k ]. La función de ponderación es h [− k ], simplemente desplazada por la cantidad n . A medida que n cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. De manera equivalente, la respuesta del sistema a un impulso en n = 0 es una copia invertida en el "tiempo" de la función de ponderación sin desplazar. Cuando h [ k ] es cero para todos los k negativos , se dice que el sistema es causal . ${\displaystyle O_{n}}$

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es la misma función, escalada por alguna constante. En símbolos, $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

donde f es la función propia y es el valor propio , una constante. ${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un operador lineal invariante en el tiempo . es el intervalo de muestreo y . Una demostración sencilla ilustra este concepto. ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Supongamos que la entrada es . La salida del sistema con respuesta al impulso es entonces ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$ ${\displaystyle h[n]}$ $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

lo cual es equivalente a lo siguiente por la propiedad conmutativa de convolución donde depende solo del parámetro z . $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$ $${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

Por lo tanto, es una función propia de un sistema LTI porque la respuesta del sistema es la misma que la entrada multiplicada por la constante . ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle H(z)}$

Transformadas de Fourier de tiempo discreto y Z

La propiedad de función propia de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformada Z $${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

es exactamente la forma de obtener los valores propios de la respuesta al impulso. ^{[ aclaración necesaria ]} De particular interés son las sinusoides puras; es decir, exponenciales de la forma , donde . Estas también se pueden escribir como con ^{[ aclaración necesaria ]} . La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) proporciona los valores propios de las sinusoides puras ^{[ aclaración necesaria ]} . Tanto de como se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Al igual que la transformada de Laplace unilateral, la transformada Z se utiliza habitualmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para t<0. La serie de Fourier de la transformada de Fourier de tiempo discreto se puede utilizar para analizar señales periódicas.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada. Es decir, $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

Al igual que la función de transferencia de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas de tiempo continuo, la transformada Z facilita el análisis de los sistemas y permite obtener información sobre su comportamiento.

Ejemplos

• Un ejemplo simple de un operador LTI es el operador de retardo . ${\displaystyle D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

  La transformada Z del operador de retardo es una simple multiplicación por z ⁻¹ . Es decir,

  $${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$$
• Otro operador LTI simple es el operador de promedio . Debido a la linealidad de las sumas, es lineal y, por lo tanto, también es invariante en el tiempo. $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$$

Propiedades importantes del sistema

Las características de entrada-salida de un sistema LTI de tiempo discreto se describen completamente mediante su respuesta al impulso . Dos de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. Los sistemas no causales (en el tiempo) se pueden definir y analizar como se indicó anteriormente, pero no se pueden implementar en tiempo real. Los sistemas inestables también se pueden analizar y construir, pero solo son útiles como parte de un sistema más grande cuya función de transferencia general es estable. ${\displaystyle h[n]}$

Causalidad

Un sistema LTI de tiempo discreto es causal si el valor actual de la salida depende únicamente del valor actual y de los valores pasados ​​de la entrada. ^[5] Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es donde es la respuesta al impulso. En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada Z, porque la transformada inversa no es única ^{[ dudoso – discutir ]} . Cuando se especifica una región de convergencia , se puede determinar la causalidad. $${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$ ${\displaystyle h[n]}$

Estabilidad

Un sistema es estable con entradas acotadas y salidas acotadas (estable BIBO) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si $${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

implica que $${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(es decir, si una entrada acotada implica una salida acotada, en el sentido de que los valores absolutos máximos de y son finitos), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta al impulso, satisfaga ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$ $${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el círculo unitario (es decir, el lugar geométrico que satisface el complejo z ). ${\displaystyle |z|=1}$

Notas

1. Bessai, Horst J. (2005). Señales y sistemas MIMO . Springer. Págs. 27-28. ISBN. 0-387-23488-8.
2. Hespanha 2009, pág. 78.
3. Crutchfield, pág. 1. ¡ Bienvenidos!
4. Crutchfield, pág. 1. Ejercicios
5. Phillips 2007, pág. 508.

Véase también

• Matriz circulante
• Respuesta de frecuencia
• Respuesta al impulso
• Análisis del sistema
• Función verde
• Gráfico de flujo de señales

Referencias

• Phillips, CL, Parr, JM y Riskin, EA (2007). Señales, sistemas y transformadas . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Hespanha, JP (2009). Teoría de sistemas lineales . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University , consultado el 21 de noviembre de 2010
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "El papel de las inversas anticausales en bancos de filtros multifrecuencia — Parte I: fundamentos teóricos del sistema" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (6): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

Lectura adicional

• Porat, Boaz (1997). Un curso sobre procesamiento de señales digitales . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "El papel de las inversas anticausales en bancos de filtros multifrecuencia — Parte I: fundamentos teóricos del sistema" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (5): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

Enlaces externos

• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI: breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
• ECE 209: Fuentes de cambio de fase: ofrece una explicación intuitiva de la fuente del cambio de fase en dos sistemas eléctricos LTI comunes.
• Notas del curso de Señales y sistemas JHU 520.214. Curso resumido sobre la teoría de sistemas LTI. Adecuado para autoaprendizaje.
• Ejemplo de sistema LTI: filtro paso bajo RC. Respuesta en amplitud y fase.