Sistema de partículas interactuantes

Tipo de proceso estocástico

En teoría de probabilidad , un sistema de partículas interactuantes ( IPS ) es un proceso estocástico en un espacio de configuración determinado por un espacio de sitio, un grafo de orden infinito numerable y un espacio de estado local, un espacio métrico compacto . Más precisamente, los IPS son procesos de salto de Markov de tiempo continuo que describen el comportamiento colectivo de componentes que interactúan estocásticamente. Los IPS son el análogo de tiempo continuo de los autómatas celulares estocásticos . ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ ${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Entre los principales ejemplos se encuentran el modelo de votante , el proceso de contacto , el proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP), la dinámica de Glauber y en particular el modelo estocástico de Ising .

Los IPS se definen generalmente a través de su generador de Markov, lo que da lugar a un proceso de Markov único que utiliza semigrupos de Markov y el teorema de Hille-Yosida . El generador se da nuevamente a través de las llamadas tasas de transición , donde es un conjunto finito de sitios y con para todos . Las tasas describen tiempos de espera exponenciales del proceso para saltar de una configuración a otra . De manera más general, las tasas de transición se dan en forma de una medida finita en . ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$ ${\displaystyle \Lambda \subset G}$ ${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$ ${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$ ${\displaystyle i\notin \Lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$ ${\displaystyle S^{\Lambda }}$

El generador de un IPS tiene la siguiente forma. Primero, el dominio de es un subconjunto del espacio de "observables", es decir, el conjunto de funciones continuas de valor real en el espacio de configuración . Entonces, para cualquier observable en el dominio de , se tiene ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

Por ejemplo, para el modelo estocástico de Ising tenemos , , si para algunos y ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$ ${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$ ${\displaystyle i\in G}$

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

donde la configuración es igual a excepto que se invierte en el sitio . es un nuevo parámetro que modela la temperatura inversa. ${\displaystyle \eta ^{i}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \beta }$

El modelo del votante

El modelo de votante (normalmente en tiempo continuo, pero también hay versiones discretas) es un proceso similar al proceso de contacto . En este proceso se toma como representación la actitud de un votante sobre un tema en particular. Los votantes reconsideran sus opiniones en momentos distribuidos de acuerdo con variables aleatorias exponenciales independientes (esto da un proceso de Poisson localmente; tenga en cuenta que, en general, hay infinitos votantes, por lo que no se puede utilizar un proceso de Poisson global). En los momentos de reconsideración, un votante elige un vecino de manera uniforme entre todos los vecinos y toma la opinión de ese vecino. Se puede generalizar el proceso permitiendo que la elección de vecinos sea algo distinto de uniforme. ${\displaystyle \eta (x)}$

Proceso de tiempo discreto

En el modelo de votante de tiempo discreto en una dimensión, representa el estado de la partícula en el tiempo . Informalmente, cada individuo se dispone en una línea y puede "ver" a otros individuos que están dentro de un radio, . Si más de una cierta proporción de estas personas no están de acuerdo, entonces el individuo cambia su actitud; de lo contrario, la mantiene igual. Durrett y Steif (1993) y Steif (1994) muestran que para radios grandes hay un valor crítico tal que si la mayoría de los individuos nunca cambian, y para en el límite la mayoría de los sitios están de acuerdo. (Ambos resultados suponen que la probabilidad de es la mitad). ${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle \theta >\theta _{c}}$ ${\displaystyle \theta \in (1/2,\theta _{c})}$ ${\displaystyle \xi _{0}(x)=1}$

Este proceso tiene una generalización natural a más dimensiones; algunos resultados para esto se discuten en Durrett y Steif (1993).

Proceso de tiempo continuo

El proceso de tiempo continuo es similar en el sentido de que imagina que cada individuo tiene una creencia en un momento dado y la cambia en función de las actitudes de sus vecinos. El proceso es descrito informalmente por Liggett (1985, 226): "Periódicamente (es decir, en tiempos exponenciales independientes), un individuo reevalúa su punto de vista de una manera bastante simple: elige un 'amigo' al azar con ciertas probabilidades y adopta su posición". Holley y Liggett (1975) construyeron un modelo con esta interpretación .

Este proceso es equivalente a un proceso sugerido por primera vez por Clifford y Sudbury (1973), en el que los animales están en conflicto por el territorio y están en igualdad de condiciones. Se selecciona un sitio para que sea invadido por un vecino en un momento determinado.

Referencias

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "Un modelo para el conflicto espacial". Biometrika . 60 (3): 581–588. doi :10.1093/biomet/60.3.581.
• Durrett, Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). "Resultados de fijación para sistemas de votantes con umbral". Anales de probabilidad . 21 (1): 232–247. doi : 10.1214/aop/1176989403 .
• Holley, Richard A.; Thomas M. Liggett (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos de interacción débil y el modelo del votante". Anales de probabilidad . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214/aop/1176996306 .
• Steif, Jeffrey E. (1994). "El autómata de votante de umbral en un punto crítico". Anales de probabilidad . 22 (3): 1121–1139. doi : 10.1214/aop/1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos estocásticos de sistemas en interacción". Anales de probabilidad . 25 (1). Instituto de Estadística Matemática: 1–29. doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN  0091-1798.
• Liggett, Thomas M. (1985). Sistemas de partículas en interacción . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.