En mecánica clásica , un oscilador armónico es un sistema que, cuando se desplaza de su posición de equilibrio , experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x : F → = − k x → , {\displaystyle {\vec {F}}=-k {\vec {x}},} donde k es una constante positiva .
Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se llama oscilador armónico simple y sufre un movimiento armónico simple : oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud). ).
Si también está presente una fuerza de fricción ( amortiguación ) proporcional a la velocidad , el oscilador armónico se describe como oscilador amortiguado . Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:
La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado ocurre en un valor particular del coeficiente de fricción y se llama críticamente amortiguado .
Si está presente una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador impulsado .
Los ejemplos mecánicos incluyen péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento ), masas conectadas a resortes y sistemas acústicos . Otros sistemas análogos incluyen osciladores armónicos eléctricos como los circuitos RLC . El modelo del oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sujeta a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos se encuentran ampliamente en la naturaleza y se explotan en muchos dispositivos fabricados por el hombre, como relojes y circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.
Un oscilador armónico simple es un oscilador que no está ni accionado ni amortiguado . Consiste en una masa m , que experimenta una sola fuerza F , que tira de la masa en la dirección del punto x = 0 y depende sólo de la posición x de la masa y de una constante k . El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para el sistema es
Al resolver esta ecuación diferencial , encontramos que el movimiento se describe mediante la función x ( t ) = A cos ( ω t + φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi ),} donde ω = k metro . {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}
El movimiento es periódico y se repite de forma sinusoidal con amplitud constante A. Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período , el tiempo de una sola oscilación o su frecuencia , el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un instante dado t también depende de la fase φ , que determina el punto inicial de la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa m y la constante de fuerza k , mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición inicial y la velocidad .
La velocidad y aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desplazadas. La velocidad es máxima para el desplazamiento cero, mientras que la aceleración es en la dirección opuesta al desplazamiento.
La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple en la posición x es U = 1 2 k x 2. {\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
En los osciladores reales, la fricción o amortiguación ralentiza el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico simple no accionado la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza restauradora, en un oscilador armónico amortiguado hay además una fuerza de fricción que siempre está en una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibratorios, la fuerza de fricción F f se puede modelar como proporcional a la velocidad v del objeto: F f = − cv , donde c se llama coeficiente de amortiguación viscosa .
El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para osciladores armónicos amortiguados es entonces [1] [2] [3] , que se puede reescribir en la forma donde
El valor de la relación de amortiguación ζ determina críticamente el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:
El factor Q de un oscilador amortiguado se define como
Q está relacionado con la relación de amortiguación por
Los osciladores armónicos accionados son osciladores amortiguados afectados además por una fuerza aplicada externamente F ( t ).
La segunda ley de Newton toma la forma
Generalmente se reescribe en la forma
Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza impulsora, usando las soluciones z ( t ) que satisfacen la ecuación no forzada.
y que puede expresarse como oscilaciones sinusoidales amortiguadas: en el caso de que ζ ≤ 1 . La amplitud A y la fase φ determinan el comportamiento necesario para igualar las condiciones iniciales.
En el caso de ζ < 1 y una entrada de paso unitario con x (0) = 0 : la solución es
con fase φ dada por
El tiempo que un oscilador necesita para adaptarse a las condiciones externas modificadas es del orden τ = 1/( ζω 0 ) . En física, la adaptación se llama relajación y τ se llama tiempo de relajación.
En ingeniería eléctrica, un múltiplo de τ se denomina tiempo de estabilización , es decir, el tiempo necesario para garantizar que la señal esté dentro de una desviación fija del valor final, normalmente dentro del 10%. El término sobreimpulso se refiere a la medida en que la respuesta máxima excede el valor final, y el término subimpulso se refiere a la medida en que la respuesta cae por debajo del valor final en los momentos posteriores al máximo de respuesta.
En el caso de una fuerza impulsora sinusoidal: donde es la amplitud de conducción y es la frecuencia de conducción para un mecanismo de conducción sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en circuitos RLC accionados por CA ( resistencia – inductor – condensador ) y sistemas de resorte accionados que tienen resistencia mecánica interna o resistencia al aire externa .
La solución general es una suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estacionario que es independiente de las condiciones iniciales y depende sólo de la amplitud de conducción , la frecuencia de conducción , la frecuencia angular no amortiguada y la relación de amortiguación .
La solución en estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido : donde Z m = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 {\displaystyle Z_{m}={ \sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}- \omega ^{2})^{2}}}} es el valor absoluto de la impedancia o función de respuesta lineal , y
es la fase de la oscilación relativa a la fuerza impulsora. Generalmente se considera que el valor de fase está entre −180 ° y 0 (es decir, representa un desfase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).
Para una frecuencia de conducción particular llamada resonancia , o frecuencia resonante , la amplitud (para una determinada ) es máxima. Este efecto de resonancia sólo se produce en , es decir, en sistemas muy poco amortiguados. Para sistemas fuertemente subamortiguados, el valor de la amplitud puede llegar a ser bastante grande cerca de la frecuencia de resonancia.
Las soluciones transitorias son las mismas que las del oscilador armónico amortiguado no forzado ( ) y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron anteriormente. Las soluciones transitorias suelen desaparecer con la suficiente rapidez como para poder ignorarlas.
Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico accionado en el que la energía de accionamiento se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o restauración. Un ejemplo familiar de oscilación paramétrica es el "bombeo" en un columpio en un patio de recreo . [4] [5] [6] Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin que se aplique ninguna fuerza impulsora externa (empujes), cambiando el momento de inercia del columpio al balancearse hacia adelante y hacia atrás (" bombeo") o alternativamente de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del columpio. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que pueden variarse son su frecuencia de resonancia y amortiguación .
Los osciladores paramétricos se utilizan en muchas aplicaciones. El oscilador paramétrico varactor clásico oscila cuando la capacitancia del diodo varía periódicamente. El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados en guías de onda / YAG funcionan de la misma manera. El diseñador varía un parámetro periódicamente para inducir oscilaciones.
Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencia de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, conversión de audio a frecuencias de radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia ( ).
La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica se diferencia del forzado en que la acción aparece como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto se diferencia de la resonancia regular porque presenta el fenómeno de inestabilidad .
La ecuación se conoce como ecuación del oscilador universal , ya que todos los sistemas oscilatorios lineales de segundo orden pueden reducirse a esta forma. [ cita necesaria ] Esto se hace mediante la no dimensionalización .
Si la función forzada es f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt c τ ) = cos( ωτ ) , donde ω = ωt c , la ecuación se convierte en
La solución a esta ecuación diferencial contiene dos partes: la "transitoria" y la "estado estacionario".
La solución basada en resolver la ecuación diferencial ordinaria es para constantes arbitrarias c 1 y c 2
La solución transitoria es independiente de la función forzada.
Aplique el " método de variables complejas " resolviendo la siguiente ecuación auxiliar y luego encontrando la parte real de su solución:
Suponiendo que la solución es de la forma
Sus derivadas de orden cero a segundo son
Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial se obtiene
Dividir por el término exponencial de la izquierda da como resultado
La equiparación de las partes real e imaginaria da como resultado dos ecuaciones independientes
Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y sumarlas se obtiene
Por lo tanto,
Compare este resultado con la sección de teoría sobre resonancia , así como con la "parte de magnitud" del circuito RLC . Esta función de amplitud es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de sistemas de segundo orden.
Para resolver φ , divide ambas ecuaciones para obtener
Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de sistemas de segundo orden.
La combinación de las porciones de amplitud y fase da como resultado la solución de estado estacionario
La solución de la ecuación del oscilador universal original es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estacionario:
Los osciladores armónicos que aparecen en varias áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (consulte la ecuación del oscilador universal más arriba). A continuación se muestra una tabla que muestra cantidades análogas en cuatro sistemas de osciladores armónicos en mecánica y electrónica. Si a parámetros análogos en la misma línea de la tabla se les dan valores numéricamente iguales, el comportamiento de los osciladores (su forma de onda de salida, frecuencia de resonancia, factor de amortiguación, etc.) es el mismo.
El problema del oscilador armónico simple ocurre frecuentemente en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservativa , en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.
Una fuerza conservativa es aquella que está asociada a una energía potencial . La función de energía potencial de un oscilador armónico es
Dada una función de energía potencial arbitraria , se puede hacer una expansión de Taylor en términos de alrededor de un mínimo de energía ( ) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones del equilibrio.
Como es un mínimo, la primera derivada evaluada en debe ser cero, por lo que el término lineal desaparece:
El término constante V ( x 0 ) es arbitrario y, por lo tanto, puede eliminarse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple:
Por tanto, dada una función de energía potencial arbitraria con una segunda derivada que no desaparece, se puede utilizar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio.
Suponiendo que no haya amortiguación, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple de longitud , donde es la aceleración local de la gravedad , es d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.}
Si el desplazamiento máximo del péndulo es pequeño, podemos usar la aproximación y en su lugar considerar la ecuación
La solución general de esta ecuación diferencial es donde y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Usando como condiciones iniciales y , la solución viene dada por donde es el mayor ángulo alcanzado por el péndulo (es decir, es la amplitud del péndulo). El período , el tiempo para una oscilación completa, viene dado por la expresión τ = 2 π l g = 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={ \frac {2\pi }{\omega }},} que es una buena aproximación del período real cuando es pequeño. Observe que en esta aproximación el período es independiente de la amplitud . En la ecuación anterior, representa la frecuencia angular.
Cuando una masa estira o comprime un resorte, el resorte desarrolla una fuerza de recuperación. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando se comprime o estira una cierta longitud: donde F es la fuerza, k es la constante del resorte y x es el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio. El signo menos en la ecuación indica que la fuerza ejercida por el resorte siempre actúa en una dirección opuesta al desplazamiento (es decir, la fuerza siempre actúa hacia la posición cero), y así evita que la masa vuele hacia el infinito.
Utilizando el equilibrio de fuerzas o un método de energía, se puede demostrar fácilmente que el movimiento de este sistema viene dado por la siguiente ecuación diferencial: siendo esta última la segunda ley del movimiento de Newton .
Si el desplazamiento inicial es A y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación viene dada por
Dado un resorte ideal sin masa, es la masa en el extremo del resorte. Si el resorte en sí tiene masa, su masa efectiva debe incluirse en .
En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía: energía potencial y energía cinética . Cuando un resorte se estira o comprime, almacena energía potencial elástica, que luego se convierte en energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte está determinada por la ecuación
Cuando el resorte se estira o comprime, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial del resorte. Por conservación de energía, suponiendo que el dato se define en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su energía potencial máxima, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se suelta el resorte, intenta volver al equilibrio y toda su energía potencial se convierte en energía cinética de la masa.