Serie de Viena

En matemáticas, la serie de Wiener , o expansión G-funcional de Wiener , tiene su origen en el libro de 1958 de Norbert Wiener . Es una expansión ortogonal para funcionales no lineales estrechamente relacionada con la serie de Volterra y que tiene la misma relación con ella que una expansión polinomial ortogonal de Hermite tiene con una serie de potencias . Por esta razón, también se la conoce como expansión de Wiener-Hermite . El análogo de los coeficientes se denomina núcleos de Wiener . Los términos de la serie son ortogonales (no correlacionados) con respecto a una entrada estadística de ruido blanco . Esta propiedad permite que los términos se identifiquen en aplicaciones mediante el método de Lee-Schetzen .

La serie de Wiener es importante en la identificación de sistemas no lineales . En este contexto, la serie aproxima la relación funcional de la salida con el historial completo de la entrada del sistema en cualquier momento. La serie de Wiener se ha aplicado principalmente a la identificación de sistemas biológicos, especialmente en neurociencia .

El nombre de serie de Wiener se utiliza casi exclusivamente en la teoría de sistemas . En la literatura matemática aparece como desarrollo de Itô (1951), que tiene una forma diferente pero es totalmente equivalente a ella.

La serie de Wiener no debe confundirse con el filtro de Wiener , que es otro algoritmo desarrollado por Norbert Wiener utilizado en el procesamiento de señales.

Expresiones G-funcionales de Wiener

Dado un sistema con un par de entrada/salida donde la entrada es ruido blanco con valor medio cero y potencia A, podemos escribir la salida del sistema como suma de una serie de G-funcionales de Wiener. ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ ${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

A continuación se darán las expresiones de los G-funcionales hasta el quinto orden: ^{[ aclaración necesaria ]}

{{Aclarar}}

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

Véase también

• Serie Volterra
• Identificación del sistema
• Promedio activado por picos

Referencias

• Wiener, Norberto (1958). Problemas no lineales en teoría aleatoria . Wiley y MIT Press.
• Lee y Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). "Medición de los núcleos de Wiener de un sistema no lineal mediante correlación cruzada". Revista Internacional de Control . Primero. 2 (3): 237–254. doi : 10.1080/00207176508905543.
• Itô K "Una integral de Wiener múltiple" J. Math. Soc. Japón. 3 1951 157–169
• Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). "Análisis de ruido blanco de una cadena neuronal: una aplicación de la teoría de Wiener". Science . 175 (4027): 1276–1278. Bibcode :1972Sci...175.1276M. doi :10.1126/science.175.4027.1276. PMID  5061252.
• Schetzen, Martín (1980). Las teorías de Volterra y Wiener sobre sistemas no lineales . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, PZ (1991). "Análisis de Wiener de retroalimentación no lineal". Anales de sistemas sensoriales de ingeniería biomédica . 19 (4): 345–382. doi :10.1007/BF02584316. PMID  1741522.
• Franz, M; Schölkopf, B. (2006). "Una visión unificadora de la teoría de Wiener y Volterra y la regresión polinomial kernel". Neural Computation . 18 (12): 3097–3118. doi :10.1162/neco.2006.18.12.3097. PMID  17052160.
• LA Zadeh Sobre la representación de operadores no lineales. IRE Westcon Conv. Record pt.2 1957 105-113.