Valor singular

Raíces cuadradas de los valores propios del operador autoadjunto

En matemáticas , en particular en análisis funcional , los valores singulares de un operador compacto que actúa entre espacios de Hilbert y son las raíces cuadradas de los valores propios (necesariamente no negativos) del operador autoadjunto (donde denota el adjunto de ). ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Los valores singulares son números reales no negativos , generalmente enumerados en orden decreciente ( σ ₁ ( T ), σ ₂ ( T ),…). El valor singular más grande σ ₁ ( T ) es igual a la norma del operador de T (ver teorema mín-máx ).

Visualización de una descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz de corte real bidimensional M. En primer lugar, vemos el disco unitario en azul junto con los dos vectores unitarios canónicos . Luego vemos la acción de M , que distorsiona el disco hasta formar una elipse . El SVD descompone M en tres transformaciones simples: una rotación V ^* , una escala Σ a lo largo de los ejes de coordenadas girados y una segunda rotación U. Σ es una matriz diagonal (cuadrada, en este ejemplo) que contiene en su diagonal los valores singulares de M , que representan las longitudes σ ₁ y σ ₂ de los semiejes de la elipse.

Si T actúa sobre el espacio euclidiano , existe una interpretación geométrica simple para los valores singulares: considere la imagen de la esfera unitaria ; este es un elipsoide y las longitudes de sus semiejes son los valores singulares de (la figura proporciona un ejemplo en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Los valores singulares son los valores absolutos de los valores propios de una matriz normal A , porque el teorema espectral se puede aplicar para obtener una diagonalización unitaria de as . Por lo tanto, . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$ ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$

La mayoría de las normas sobre los operadores espaciales de Hilbert estudiadas se definen utilizando valores singulares. Por ejemplo, la norma Ky Fan - k - es la suma de los primeros k valores singulares, la norma de traza es la suma de todos los valores singulares y la norma Schatten es la p -ésima raíz de la suma de las p -ésimas potencias del singular valores. Tenga en cuenta que cada norma se define sólo en una clase especial de operadores, por lo que los valores singulares pueden ser útiles para clasificar diferentes operadores.

En el caso de dimensión finita, una matriz siempre se puede descomponer en la forma , donde y son matrices unitarias y es una matriz diagonal rectangular con los valores singulares en la diagonal. Esta es la descomposición en valores singulares . ${\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

Propiedades básicas

Para y . ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}$

Teorema mínimo-máximo para valores singulares . Aquí hay un subespacio de dimensión . ${\displaystyle U:\dim(U)=i}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}$

La transposición y conjugación de matrices no alteran los valores singulares.

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}$

Para cualquier unitario ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}$

Relación con los valores propios:

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}$

Relación con la traza :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A}$.

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle A^{\top }A}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det A^{\top }A}}}$

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle AA^{\top }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det AA^{\top }}}}$

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\det A|}$

Desigualdades sobre valores singulares

Ver también. ^[1]

Valores singulares de submatrices.

Para ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}$

1. Denotemos con una de sus filas o columnas eliminada. Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
   $${\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$
2. Denotemos con una de sus filas y columnas eliminadas. Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
   $${\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$
3. Denotemos una submatriz de . Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (m-k)\times (n-l)}$ ${\displaystyle A}$
   $${\displaystyle \sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$

Valores singulares de A + B

Para ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

1. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}$$
2. $${\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}$$

Valores singulares de AB

Para ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}$$
2. $${\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$

Para ^2] ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$

Valores singulares y valores propios

Para . ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. Ver ^[3]
   $${\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$
2. Asumir . Entonces para : ${\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$
   1. teorema de weyl
      $${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}$$
   2. Para . ${\displaystyle p>0}$
      $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}$$

Historia

Este concepto fue introducido por Erhard Schmidt en 1907. Schmidt llamó en ese momento a los valores singulares "valores propios". El nombre "valor singular" fue citado por primera vez por Smithies en 1937. En 1957, Allahverdiev demostró la siguiente caracterización del enésimo número singular: ^[4]

${\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}$

Esta formulación permitió extender la noción de valores singulares a los operadores en el espacio de Banach . Tenga en cuenta que existe un concepto más general de números s , que también incluye el ancho de Gelfand y Kolmogorov.

Ver también

• Número de condición
• Teorema de entrelazamiento de Cauchy o teorema de separación de Poincaré
• Teorema de Schur-Horn
• Valor singular de descomposición

Referencias

1. RA Horn y CR Johnson . Temas de análisis matricial. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Cap. 3
2. X. Zhan. Desigualdades matriciales. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 2002. p.28
3. R. Bhatia. Análisis matricial. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. Proposición III.5.1
4. IC Gohberg y MG Kerin . Introducción a la teoría de operadores lineales no autoadjuntos. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 1969. Traducido del ruso por A. Feinstein. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 18.