La desigualdad de Weyl

En álgebra lineal , la desigualdad de Weyl es un teorema sobre los cambios en los valores propios de una matriz hermitiana que está perturbada. Puede utilizarse para estimar los valores propios de una matriz hermitiana perturbada.

La desigualdad de Weyl sobre la perturbación.

Sea hermitiano en el espacio producto interior con dimensión , con espectro ordenado en orden descendente . Tenga en cuenta que estos valores propios se pueden ordenar porque son reales (como valores propios de matrices hermitianas). ^[1] ${\textstyle A}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$

Desigualdad de  Weyl 

$${\displaystyle \lambda _{i+j-1}(A+B)\leq \lambda _{i}(A)+\lambda _{j}(B)\leq \lambda _{i+j-n}(A+B)}$$

Prueba

Por el teorema mínimo-máximo , basta demostrar que cualquier dimensión con dimensión existe un vector unitario tal que . ${\textstyle W\subset V}$ ${\textstyle i+j-1}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle \langle w,(A+B)w\rangle \leq \lambda _{i}(A)+\lambda _{j}(B)}$

Según el principio min-max, existen algunos con codimensión , tales que ${\textstyle W_{A}}$ ${\textstyle (i-1)}$

$${\displaystyle \lambda _{i}(A)=\max _{x\in W_{A};\|x\|=1}\langle x,Ax\rangle }$$

Del mismo modo, existe tal con codimensión . Ahora tiene codimensión , por lo que tiene una intersección no trivial con . Sea , y tenemos el vector deseado. ${\textstyle W_{B}}$ ${\textstyle j-1}$ ${\textstyle W_{A}\cap W_{B}}$ ${\textstyle \leq i+j-2}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle w\in W\cap W_{A}\cap W_{B}}$

La segunda es corolario de la primera, tomando la negativa.

La desigualdad de Weyl establece que el espectro de matrices hermitianas es estable bajo perturbación. Específicamente, tenemos: ^[1]

Corolario (estabilidad espectral)  - 

$${\displaystyle \lambda _{k}(A+B)-\lambda _{k}(A)\in [\lambda _{n}(B),\lambda _{1}(B)]}$$

$${\displaystyle |\lambda _{k}(A+B)-\lambda _{k}(A)|\leq \|B\|_{op}}$$

dónde

$${\displaystyle \|B\|_{op}=\max(|\lambda _{1}(B)|,|\lambda _{n}(B)|)}$$

es la norma del operador.

En jerga, se dice que es continua de Lipschitz en el espacio de matrices hermitianas con norma de operador. ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Desigualdad de Weyl entre valores propios y valores singulares

Tengamos valores singulares y valores propios ordenados de modo que . Entonces ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\geq \cdots \geq \sigma _{n}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle |\lambda _{1}(A)|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}(A)|}$

${\displaystyle |\lambda _{1}(A)\cdots \lambda _{k}(A)|\leq \sigma _{1}(A)\cdots \sigma _{k}(A)}$

Para , con igualdad para . ^[2] ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k=n}$

Aplicaciones

Estimación de perturbaciones del espectro.

Supongamos que es pequeño en el sentido de que su norma espectral satisface para algunos pequeños . Entonces se deduce que todos los valores propios de están acotados en valor absoluto por . Aplicando la desigualdad de Weyl, se deduce que los espectros de las matrices hermitianas M y N son cercanos en el sentido de que ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \|R\|_{2}\leq \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \epsilon \qquad \forall i=1,\ldots ,n.}$

Tenga en cuenta, sin embargo, que este límite de perturbación de valor propio es generalmente falso para matrices no hermitianas (o más exactamente, para matrices no normales). Como contraejemplo, seamos arbitrariamente pequeños y consideremos ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad N=M+R={\begin{bmatrix}0&1\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad R={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

cuyos valores propios y no satisfacen . ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle \nu _{1}=+1/t,\nu _{2}=-1/t}$ ${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \|R\|_{2}=1}$

Desigualdad de Weyl para valores singulares

Sea una matriz con . Sus valores singulares son los valores propios positivos de la matriz aumentada hermitiana. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(M)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p+n)\times (p+n)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&M\\M^{*}&0\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, la desigualdad de perturbación de valores propios de Weyl para matrices hermitianas se extiende naturalmente a la perturbación de valores singulares. ^[1] Este resultado proporciona el límite de la perturbación en los valores singulares de una matriz debido a una perturbación aditiva : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle |\sigma _{k}(M+\Delta )-\sigma _{k}(M)|\leq \sigma _{1}(\Delta )}$

donde notamos que el mayor valor singular coincide con la norma espectral . ${\displaystyle \sigma _{1}(\Delta )}$ ${\displaystyle \|\Delta \|_{2}}$

Notas

1. Tao, Terence (13 de enero de 2010). "254A, Notas 3a: Valores propios y sumas de matrices hermitianas". Blog de Terence Tao . Consultado el 25 de mayo de 2015 .
2. Roger A. Horn y Charles R. Johnson Temas del análisis matricial. Cambridge, primera edición, 1991. p.171
3. Weyl, Hermann. "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer parteller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung)". Mathematische Annalen 71, núm. 4 (1912): 441-479.

Referencias

• Teoría de la matriz , Joel N. Franklin, (Publicaciones de Dover, 1993) ISBN 0-486-41179-6 
• "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer parteller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479