En matemáticas , específicamente en topología algebraica , conectado simplemente semilocalmente es una cierta condición de conectividad local que surge en la teoría de la cobertura de espacios . En términos generales , un espacio topológico X es simplemente conexo semilocalmente si hay un límite inferior en los tamaños de los "agujeros" en X. Esta condición es necesaria para la mayor parte de la teoría de la cobertura de espacios, incluida la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois entre los espacios de cobertura y los subgrupos del grupo fundamental .
La mayoría de los espacios "agradables", como las variedades y los complejos CW, están simplemente conectados de forma semilocal, y los espacios topológicos que no satisfacen esta condición se consideran algo patológicos . El ejemplo estándar de un espacio conectado simplemente no semilocalmente es el pendiente hawaiano .
Un espacio X se llama semilocalmente conexo simplemente si cada punto en X tiene una vecindad U con la propiedad de que cada bucle en U puede contraerse a un solo punto dentro de X (es decir, cada bucle en U es homotópico nulo en X ). La vecindad U no necesita ser simplemente conexa : aunque cada bucle en U debe ser contráctil dentro de X , no es necesario que la contracción tenga lugar dentro de U. Por esta razón, un espacio puede estar conectado de manera simple semilocal sin estar conectado de manera simple local .
Equivalente a esta definición, un espacio X es semilocalmente conexo simplemente si cada punto en X tiene una vecindad U para la cual el homomorfismo del grupo fundamental de U al grupo fundamental de X , inducido por el mapa de inclusión de U en X , es trivial.
La mayoría de los principales teoremas sobre la cobertura de espacios , incluida la existencia de una cobertura universal y la correspondencia de Galois, requieren que un espacio esté conectado por caminos , localmente conectado por caminos y semilocalmente simplemente conectado, una condición conocida como unloopable ( délaçable en Francés). [1] En particular, esta condición es necesaria para que un espacio tenga un espacio de cobertura simplemente conectado.
Un ejemplo sencillo de un espacio que no está simplemente conexo semilocalmente es el pendiente hawaiano : la unión de los círculos en el plano euclidiano con centros (1/ n , 0) y radios 1/ n , para n un número natural . Dale a este espacio la topología subespacial . Entonces todas las vecindades del origen contienen círculos que no son nulohomotópicos .
El pendiente hawaiano también se puede utilizar para construir un espacio semilocalmente conectado que no está simplemente conectado localmente . En particular, el cono del pendiente hawaiano es contráctil y, por lo tanto, está conectado de manera simple semilocal, pero claramente no está conectado de manera simple localmente.
En términos de la topología natural del grupo fundamental, un espacio conectado localmente por caminos está conectado simplemente semilocalmente si y sólo si su grupo fundamental cuasitopológico es discreto. [ cita necesaria ]