Firma de un nudo

Invariante topológico en la teoría de nudos

La firma de un nudo es un invariante topológico en la teoría de nudos . Puede calcularse a partir de la superficie de Seifert .

Dado un nudo K en la 3-esfera , tiene una superficie Seifert S cuyo límite es K. La forma Seifert de S es el emparejamiento dado al tomar el número de enlace donde y indican las traslaciones de a y b respectivamente en las direcciones positiva y negativa del fibrado normal a S. ${\displaystyle \phi :H_{1}(S)\times H_{1}(S)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {lk} (a^{+},b^{-})}$ ${\displaystyle a,b\in H_{1}(S)}$ ${\displaystyle a^{+},b^{-}}$

Dada una base para (donde g es el género de la superficie), la forma de Seifert se puede representar como una matriz de Seifert de 2g por 2g V , . La firma de la matriz , considerada como una forma bilineal simétrica, es la firma del nudo K . ${\displaystyle b_{1},...,b_{2g}}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle V_{ij}=\phi (b_{i},b_{j})}$ ${\displaystyle V+V^{t}}$

Se sabe que los nudos de corte tienen firma cero.

La formulación del módulo Alexander

Las firmas de nudos también se pueden definir en términos del módulo de Alexander del complemento de nudo. Sea la cubierta abeliana universal del complemento de nudo. Considérese el módulo de Alexander como el primer grupo de homología de la cubierta abeliana universal del complemento de nudo: . Dado un -módulo , sea el -módulo cuyo -módulo subyacente es pero donde actúa por la transformación de recubrimiento inversa. La formulación de Blanchfield de la dualidad de Poincaré para da un isomorfismo canónico donde denota el segundo grupo de cohomología de con soportes compactos y coeficientes en . El teorema del coeficiente universal para da un isomorfismo canónico con (porque el módulo de Alexander es -torsión). Además, al igual que en la formulación de la forma cuadrática de la dualidad de Poincaré , existe un isomorfismo canónico de -módulos , donde denota el campo de fracciones de . Este isomorfismo puede considerarse como un emparejamiento de dualidad sesquilineal donde denota el campo de fracciones de . Esta forma toma valor en los polinomios racionales cuyos denominadores son el polinomio de Alexander del nudo, que como -módulo es isomorfo a . Sea cualquier función lineal que sea invariante bajo la involución , entonces componiéndola con el apareamiento de dualidad sesquilineal da una forma bilineal simétrica en cuya signatura es un invariante del nudo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )\simeq {\overline {H^{2}(X;\mathbb {Q} )}}}$ ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])\simeq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),[\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )\times H_{1}(X;\mathbb {Q} )\to [\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]/\Delta K}$ ${\displaystyle tr:\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]/\Delta K\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle t\longmapsto t^{-1}}$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$

Todas estas firmas son invariantes de concordancia, por lo que todas las firmas de los nudos de corte son cero. El emparejamiento de dualidad sesquilineal respeta la descomposición en potencias primos de —es decir: la descomposición en potencias primos da una descomposición ortogonal de . Cherry Kearton ha demostrado cómo calcular los invariantes de firma de Milnor a partir de este emparejamiento, que son equivalentes al invariante de Tristram-Levine . ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {R} )}$

Véase también

• Concordancia de enlaces

Referencias

• C. Gordon, Algunos aspectos de la teoría clásica de nudos. Springer Lecture Notes in Mathematics 685. Actas Plans-sur-Bex Suiza 1977.
• J. Hillman, Invariantes algebraicos de enlaces. Serie sobre nudos y todo lo demás. Vol 32. World Scientific.
• C. Kearton, Firmas de nudos y cálculo diferencial libre, Quart. J. Math. Oxford (2), 30 (1979).
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• J. Milnor, Recubrimientos cíclicos infinitos, JG Hocking, ed. Conf. sobre la topología de variedades, Prindle, Weber y Schmidt, Boston, Mass, 1968 págs. 115–133.
• K. Murasugi, Sobre un cierto invariante numérico de tipos de vínculos, Trans. Amer. Math. Soc. 117, 387-482 (1965)
• A. Ranicki Sobre las firmas de los nudos Diapositivas de la conferencia dada en Durham el 20 de junio de 2010.
• H. Trotter , Homología de sistemas de grupos con aplicaciones a la teoría de nudos, Ann. of Math. (2) 76, 464-498 (1962)