Gráfico de flujo de señales

Un gráfico de flujo de señales o gráfico de flujo de señales ( SFG ), inventado por Claude Shannon , ^[1] pero a menudo llamado gráfico de Mason en honor a Samuel Jefferson Mason , quien acuñó el término, ^[2] es un gráfico de flujo especializado , un gráfico dirigido en el que los nodos representan variables del sistema y las ramas (aristas, arcos o flechas) representan conexiones funcionales entre pares de nodos. Por lo tanto, la teoría de gráficos de flujo de señales se basa en la de los gráficos dirigidos (también llamados dígrafos ), que también incluye la de los grafos orientados . Esta teoría matemática de los dígrafos existe, por supuesto, bastante al margen de sus aplicaciones. ^{[3] [4]}

Los SFG se utilizan con mayor frecuencia para representar el flujo de señales en un sistema físico y sus controladores, formando un sistema ciberfísico . Entre sus otros usos se encuentran la representación del flujo de señales en varias redes electrónicas y amplificadores, filtros digitales , filtros de variables de estado y algunos otros tipos de filtros analógicos. En casi toda la literatura, un gráfico de flujo de señales está asociado con un conjunto de ecuaciones lineales .

Historia

Wai-Kai Chen escribió: "El concepto de gráfico de flujo de señales fue desarrollado originalmente por Shannon [1942] ^[1] al trabajar con computadoras analógicas. El mayor mérito por la formulación de gráficos de flujo de señales se le otorga normalmente a Mason [1953], ^[2] [1956]. ^[5] Él mostró cómo utilizar la técnica del gráfico de flujo de señales para resolver algunos problemas electrónicos difíciles de una manera relativamente simple. El término gráfico de flujo de señales se utilizó debido a su aplicación original a problemas electrónicos y la asociación con señales electrónicas y diagramas de flujo de los sistemas en estudio". ^[6]

Lorens escribió: "Antes del trabajo de Mason , CE Shannon ^[1] elaboró ​​varias de las propiedades de lo que ahora se conoce como gráficos de flujo. Desafortunadamente, el artículo originalmente tenía una clasificación restringida y muy pocas personas tenían acceso al material". ^[7]

"Las reglas para la evaluación del determinante gráfico de un gráfico de Mason fueron dadas y probadas por primera vez por Shannon [1942] mediante inducción matemática. Su trabajo permaneció esencialmente desconocido incluso después de que Mason publicara su trabajo clásico en 1953. Tres años después, Mason [1956] redescubrió las reglas y las demostró considerando el valor de un determinante y cómo cambia a medida que se agregan variables al gráfico. [...]" ^[8]

Dominio de aplicación

Robichaud et al. identifican el dominio de aplicación de los SFG de la siguiente manera: ^[9]

"Todos los sistemas físicos análogos a estas redes [construidas con transformadores ideales, elementos activos y giradores] constituyen el dominio de aplicación de las técnicas desarrolladas [aquí]. Trent ^[10] ha demostrado que todos los sistemas físicos que satisfacen las siguientes condiciones entran en esta categoría.

1. El sistema finito concentrado se compone de un número de partes simples, cada una de las cuales tiene propiedades dinámicas conocidas que pueden definirse mediante ecuaciones que utilizan dos tipos de variables escalares y parámetros del sistema. Las variables del primer tipo representan cantidades que pueden medirse, al menos conceptualmente, conectando un instrumento indicador a dos puntos de conexión del elemento. Las variables del segundo tipo caracterizan cantidades que pueden medirse conectando un medidor en serie con el elemento. Las velocidades y posiciones relativas, los diferenciales de presión y los voltajes son cantidades típicas de la primera clase, mientras que las corrientes eléctricas, las fuerzas y las tasas de flujo de calor son variables del segundo tipo. Firestone ha sido el primero en distinguir estos dos tipos de variables con los nombres de variables transversales y variables transversales .
2. Las variables del primer tipo deben obedecer una ley de malla, análoga a la ley de voltaje de Kirchhoff, mientras que las variables del segundo tipo deben satisfacer una ley de incidencia análoga a la ley de corriente de Kirchhoff.
3. Las dimensiones físicas de los productos apropiados de las variables de los dos tipos deben ser consistentes. Para los sistemas en los que se satisfacen estas condiciones, es posible dibujar un gráfico lineal isomorfo con las propiedades dinámicas del sistema tal como se describen por las variables elegidas. Las técnicas [...] pueden aplicarse directamente a estos gráficos lineales, así como a las redes eléctricas, para obtener un gráfico de flujo de señales del sistema".

Conceptos básicos de los gráficos de flujo

La siguiente ilustración y su significado fueron introducidos por Mason para ilustrar conceptos básicos: ^[2]

(a) Diagrama de flujo simple, (b) Las flechas de (a) incidentes en el nodo 2 (c) Las flechas de (a) incidentes en el nodo 3

En los diagramas de flujo simples de la figura, una dependencia funcional de un nodo se indica mediante una flecha entrante, el nodo que origina esta influencia es el comienzo de esta flecha y, en su forma más general, el diagrama de flujo de señal indica mediante flechas entrantes solo aquellos nodos que influyen en el procesamiento en el nodo receptor y, en cada nodo, i , las variables entrantes se procesan de acuerdo con una función asociada con ese nodo, digamos F _i . El diagrama de flujo en (a) representa un conjunto de relaciones explícitas:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {1} }&={\text{an independent variable}}\\x_{\mathrm {2} }&=F_{2}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {3} })\\x_{\mathrm {3} }&=F_{3}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {2} },x_{\mathrm {3} })\\\end{aligned}}}$

El nodo x ₁ es un nodo aislado porque no llega ninguna flecha; las ecuaciones para x ₂ y x ₃ tienen los gráficos que se muestran en las partes (b) y (c) de la figura.

Estas relaciones definen para cada nodo una función que procesa las señales de entrada que recibe. Cada nodo que no es fuente combina las señales de entrada de alguna manera y transmite una señal resultante a lo largo de cada rama saliente. "Un gráfico de flujo, tal como lo definió originalmente Mason, implica un conjunto de relaciones funcionales, lineales o no". ^[9]

Sin embargo, el gráfico de Mason que se utiliza habitualmente es más restringido, ya que supone que cada nodo simplemente suma sus flechas entrantes y que cada rama involucra solo al nodo iniciador involucrado. Por lo tanto, en este enfoque más restrictivo, el nodo x ₁ no se ve afectado mientras que:

${\displaystyle x_{2}=f_{21}(x_{1})+f_{23}(x_{3})}$

${\displaystyle x_{3}=f_{31}(x_{1})+f_{32}(x_{2})+f_{33}(x_{3})\ ,}$

y ahora las funciones f _ij pueden asociarse con las ramas de flujo de señal ij que unen el par de nodos x _i , x _j , en lugar de tener relaciones generales asociadas con cada nodo. Una contribución de un nodo a sí mismo como f ₃₃ para x ₃ se llama un bucle propio . Con frecuencia, estas funciones son simplemente factores multiplicativos (a menudo llamados transmitancias o ganancias ), por ejemplo, f _ij (x _j )=c _ij x _j , donde c es un escalar, pero posiblemente una función de algún parámetro como la variable de transformada de Laplace s . Los gráficos de flujo de señal se utilizan muy a menudo con señales transformadas por Laplace, porque entonces representan sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . En este caso, la transmitancia, c(s) , a menudo se llama función de transferencia .

Elección de las variables

En general, existen varias maneras de elegir las variables de un sistema complejo. En función de cada elección, se puede escribir un sistema de ecuaciones y cada sistema de ecuaciones se puede representar en un gráfico. Esta formulación de las ecuaciones se vuelve directa y automática si se dispone de técnicas que permiten dibujar un gráfico directamente a partir del diagrama esquemático del sistema en estudio. La estructura de los gráficos así obtenidos se relaciona de manera sencilla con la topología del diagrama esquemático y resulta innecesario considerar las ecuaciones , incluso de manera implícita, para obtener el gráfico. En algunos casos, basta con imaginar el gráfico de flujo en el diagrama esquemático y se pueden obtener las respuestas deseadas sin siquiera dibujar el gráfico de flujo.

—  Robichaud ^[11]

No unicidad

Robichaud et al. escribieron: "El gráfico de flujo de señal contiene la misma información que las ecuaciones de las que se deriva; pero no existe una correspondencia uno a uno entre el gráfico y el sistema de ecuaciones. Un sistema dará diferentes gráficos según el orden en que se utilicen las ecuaciones para definir la variable escrita en el lado izquierdo". ^[9] Si todas las ecuaciones relacionan todas las variables dependientes, entonces hay n! posibles SFG para elegir. ^[12]

Gráficos de flujo de señal lineal

Los métodos de gráficos de flujo de señal lineales (SFG) solo se aplican a sistemas lineales invariantes en el tiempo , según se estudia mediante su teoría asociada . Al modelar un sistema de interés, el primer paso suele ser determinar las ecuaciones que representan el funcionamiento del sistema sin asignar causas y efectos (esto se denomina modelado acausal). ^[13] Luego, se deriva un SFG de este sistema de ecuaciones.

Un SFG lineal consta de nodos indicados por puntos y ramas direccionales ponderadas indicadas por flechas. Los nodos son las variables de las ecuaciones y los pesos de las ramas son los coeficientes. Las señales solo pueden atravesar una rama en la dirección indicada por su flecha. Los elementos de un SFG solo pueden representar las operaciones de multiplicación por un coeficiente y adición, que son suficientes para representar las ecuaciones restringidas. Cuando una señal atraviesa una rama en su dirección indicada, la señal se multiplica por el peso de la rama. Cuando dos o más ramas se dirigen al mismo nodo, sus salidas se suman.

En el caso de los sistemas descritos mediante ecuaciones algebraicas lineales o diferenciales, el gráfico de flujo de señales es matemáticamente equivalente al sistema de ecuaciones que describe el sistema, y ​​las ecuaciones que rigen los nodos se descubren para cada nodo sumando las ramas entrantes a ese nodo. Estas ramas entrantes transmiten las contribuciones de los otros nodos, expresadas como el valor del nodo conectado multiplicado por el peso de la rama de conexión, generalmente un número real o una función de algún parámetro (por ejemplo, una variable de transformada de Laplace s ).

Para redes activas lineales, Choma escribe: ^[14] "Por una 'representación de flujo de señal' [o 'gráfico', como se lo denomina comúnmente] nos referimos a un diagrama que, al mostrar las relaciones algebraicas entre las variables de rama relevantes de la red, pinta una imagen inequívoca de la forma en que una señal de entrada aplicada 'fluye' desde los puertos de entrada a los de salida".

Chen describe una motivación para un análisis SFG: ^[15]

"El análisis de un sistema lineal se reduce en última instancia a la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Como alternativa a los métodos algebraicos convencionales de resolución del sistema, es posible obtener una solución considerando las propiedades de ciertos grafos dirigidos asociados con el sistema." [Ver subsección: Resolución de ecuaciones lineales.] "Las incógnitas de las ecuaciones corresponden a los nodos del grafo, mientras que las relaciones lineales entre ellos aparecen en forma de aristas dirigidas que conectan los nodos. ...Los grafos dirigidos asociados en muchos casos se pueden configurar directamente mediante la inspección del sistema físico sin la necesidad de formular primero las →ecuaciones asociadas..."

Componentes básicos

Elementos y construcciones de un gráfico de flujo de señales.

Un gráfico de flujo de señal lineal está relacionado con un sistema de ecuaciones lineales ^[16] de la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }\end{aligned}}}$

donde = transmitancia (o ganancia) de a . ${\displaystyle t_{jk}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

La figura de la derecha muestra varios elementos y construcciones de un gráfico de flujo de señales (SFG). ^[17]

La figura (a) es un nodo. En este caso, el nodo está etiquetado como . Un nodo es un vértice que representa una variable o señal. ${\displaystyle x}$

Un nodo de origen solo tiene ramas salientes (representa una variable independiente). Como caso especial, un nodo de entrada se caracteriza por tener una o más flechas adjuntas que apuntan hacia afuera del nodo y ninguna flecha que apunta hacia adentro del nodo. Cualquier SFG abierto y completo tendrá al menos un nodo de entrada.

Un nodo de salida o receptor solo tiene ramas entrantes (representa una variable dependiente). Aunque cualquier nodo puede ser una salida, a menudo se utilizan nodos de salida explícitos para brindar claridad. Los nodos de salida explícitos se caracterizan por tener una o más flechas adjuntas que apuntan hacia el nodo y ninguna flecha que apunta hacia afuera del nodo. No se requieren nodos de salida explícitos.

Un nodo mixto tiene ramas entrantes y salientes.

La figura (b) es una rama con una ganancia multiplicativa de . Esto significa que la salida, en la punta de la flecha, es multiplicada por la entrada en la cola de la flecha. La ganancia puede ser una constante simple o una función (por ejemplo: una función de alguna variable de transformación como , , o , para relaciones de Laplace, Fourier o transformada Z). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z}$

La figura (c) es una rama con una ganancia multiplicativa de uno. Cuando se omite la ganancia, se supone que es la unidad.

La figura (d) es un nodo de entrada. En este caso, se multiplica por la ganancia . ${\displaystyle V_{in}}$ ${\displaystyle V_{in}}$ ${\displaystyle m}$

La exhibición (e) es un nodo de salida explícito; el borde entrante tiene una ganancia de . ${\displaystyle I_{out}}$ ${\displaystyle m}$

La figura (f) muestra la suma. Cuando dos o más flechas apuntan hacia un nodo, las señales transportadas por los bordes se suman.

La figura (g) muestra un bucle simple. La ganancia del bucle es . ${\displaystyle A\times m}$

La figura (h) representa la expresión . ${\displaystyle Z=aX+bY}$

Los términos utilizados en la teoría SFG lineal también incluyen: ^[17]

• Camino. Un camino es un conjunto continuo de ramas recorridas en la dirección indicada por las flechas de rama.
  • Ruta abierta. Si no se vuelve a visitar ningún nodo, la ruta está abierta.
  • Ruta de avance. Ruta desde un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salida (destino) que no vuelve a visitar ningún nodo.
• Ganancia de ruta : el producto de las ganancias de todas las ramas de la ruta.
• Bucle. Camino cerrado. (se origina y termina en el mismo nodo y ningún nodo se toca más de una vez).
• Ganancia de bucle : el producto de las ganancias de todas las ramas del bucle.
• Bucles sin contacto. Los bucles sin contacto no tienen nodos comunes.
• Reducción de gráficos. Eliminación de uno o más nodos de un gráfico mediante transformaciones gráficas.
  • Nodo residual. En cualquier proceso de reducción de grafos que se contemple, los nodos que se conservarán en el nuevo grafo se denominan nodos residuales. ^[2]
• División de un nodo. La división de un nodo corresponde a la división de un nodo en dos medios nodos, uno de los cuales es un sumidero y el otro una fuente. ^[18]
• Índice : El índice de un gráfico es el número mínimo de nodos que deben dividirse para eliminar todos los bucles de un gráfico.
  • Nodo de índice. Los nodos que se dividen para determinar el índice de un gráfico se denominan nodos de índice y, en general, no son únicos.

Reducción sistemática de fuentes y sumideros

Un gráfico de flujo de señales se puede simplificar mediante reglas de transformación de gráficos. ^{[19] [20] [21]} Estas reglas de simplificación también se conocen como álgebra de gráficos de flujo de señales . ^[22] El propósito de esta reducción es relacionar las variables dependientes de interés (nodos residuales, sumideros) con sus variables independientes (fuentes).

La reducción sistemática de un gráfico de flujo de señal lineal es un método gráfico equivalente al método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver ecuaciones lineales. ^[23]

Las reglas que se presentan a continuación pueden aplicarse una y otra vez hasta que el gráfico de flujo de señales se reduzca a su "forma residual mínima". Una reducción adicional puede requerir la eliminación de bucles o el uso de una "fórmula de reducción" con el objetivo de conectar directamente los nodos de destino que representan las variables dependientes con los nodos de origen que representan las variables independientes. De este modo, cualquier gráfico de flujo de señales puede simplificarse eliminando sucesivamente los nodos internos hasta que solo queden los nodos de entrada, salida e índice. ^{[24] [25]} Robichaud describió este proceso de reducción sistemática del gráfico de flujo:

La reducción de un grafo se realiza mediante la eliminación de ciertos nodos para obtener un grafo residual que muestre únicamente las variables de interés. Esta eliminación de nodos se denomina " absorción de nodos ". Este método es similar al conocido proceso de eliminaciones sucesivas de variables no deseadas en un sistema de ecuaciones. Se puede eliminar una variable eliminando el nodo correspondiente en el grafo. Si se reduce el grafo lo suficiente, es posible obtener la solución para cualquier variable y este es el objetivo que se tendrá en cuenta en esta descripción de los diferentes métodos de reducción del grafo. Sin embargo, en la práctica, las técnicas de reducción se utilizarán únicamente para transformar el grafo en un grafo residual que exprese algunas relaciones fundamentales. Las soluciones completas se obtendrán más fácilmente mediante la aplicación de la regla de Mason . ^[26] El propio grafo programa el proceso de reducción. De hecho, una simple inspección del grafo sugiere fácilmente los diferentes pasos de la reducción que se llevan a cabo mediante transformaciones elementales, mediante la eliminación de bucles o mediante el uso de una fórmula de reducción. ^[26]

—  Robichaud, Gráficos de flujo de señales y aplicaciones, 1962

Para reducir digitalmente un gráfico de flujo utilizando un algoritmo, Robichaud extiende la noción de un gráfico de flujo simple a un gráfico de flujo generalizado :

Antes de describir el proceso de reducción... la correspondencia entre el gráfico y un sistema de ecuaciones lineales... debe ser generalizada... Los gráficos generalizados representarán algunas relaciones operacionales entre grupos de variables ... A cada rama del gráfico generalizado se asocia una matriz que da las relaciones entre las variables representadas por los nodos en los extremos de esa rama... ^[27] Las transformaciones elementales [definidas por Robichaud en su Figura 7.2, p. 184] y la reducción de bucle permiten la eliminación de cualquier nodo j del gráfico mediante la fórmula de reducción : [descrita en la Ecuación 7-1 de Robichaud]. Con la fórmula de reducción, siempre es posible reducir un gráfico de cualquier orden... [Después de la reducción] el gráfico final será un gráfico en cascada en el que las variables de los nodos de destino se expresan explícitamente como funciones de las fuentes. Este es el único método para reducir el gráfico generalizado ya que la regla de Mason es obviamente inaplicable. ^[28]

—  Robichaud, Gráficos de flujo de señales y aplicaciones, 1962

La definición de una transformación elemental varía de un autor a otro:

• Algunos autores sólo consideran como transformaciones elementales la suma de las ganancias de los bordes paralelos y la multiplicación de las ganancias de los bordes serie, pero no la eliminación de los bucles propios ^{[23] [29]}
• Otros autores consideran la eliminación de un bucle propio como una transformación elemental ^[30]

Aristas paralelas. Reemplace las aristas paralelas por una arista única que tenga una ganancia igual a la suma de las ganancias originales.

El gráfico de la izquierda tiene bordes paralelos entre los nodos. A la derecha, estos bordes paralelos se han reemplazado por un solo borde que tiene una ganancia igual a la suma de las ganancias en cada borde original.

Las ecuaciones correspondientes a la reducción entre N y el nodo I ₁ son:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {3} }+...\\N&=I_{\mathrm {1} }(f_{\mathrm {1} }+f_{\mathrm {2} }+f_{\mathrm {3} })+...\\\end{aligned}}}$

Bordes salientes. Reemplace los bordes salientes con bordes que fluyan directamente desde las fuentes del nodo.

El gráfico de la izquierda tiene un nodo intermedio N entre los nodos de los que recibe flujos y los nodos hacia los que sale. El gráfico de la derecha muestra flujos directos entre estos conjuntos de nodos, sin transitar por N.

Para simplificar, no se representan N ni sus entradas. Se eliminan las salidas de N.

Las ecuaciones correspondientes a la reducción que relaciona directamente las señales de entrada de N con sus señales de salida son:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }N\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }N\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }N\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {1} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {1} }\\O_{\mathrm {2} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {2} }\\O_{\mathrm {3} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {3} }\\\end{aligned}}}$

Nodos de señal cero.

Eliminar los bordes salientes de un nodo que se ha determinado que tiene un valor de cero.

Si el valor de un nodo es cero, se pueden eliminar sus bordes salientes.

Nodos sin salidas.

Eliminar un nodo sin salidas.

En este caso, N no es una variable de interés y no tiene aristas salientes; por lo tanto, N y sus aristas entrantes pueden eliminarse.

Borde con bucle automático. Reemplace los bordes con bucle ajustando las ganancias en los bordes entrantes.

El gráfico de la izquierda tiene un borde en bucle en el nodo N , con una ganancia de g . A la derecha, se ha eliminado el borde en bucle y todos los bordes entrantes tienen su ganancia dividida por (1-g) .

Las ecuaciones correspondientes a la reducción entre N y todas sus señales de entrada son:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }+Ng\\N-Ng&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N(1-g)&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N&=(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\div (1-g)\\N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }\div (1-g)+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }\div (1-g)+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\div (1-g)\\\end{aligned}}}$

Implementaciones

El procedimiento anterior para construir el SFG a partir de un sistema acausal de ecuaciones y para resolver las ganancias del SFG se ha implementado ^[31] como un complemento de MATHLAB 68 , ^[32] un sistema en línea que proporciona ayuda de máquina para los procesos simbólicos mecánicos encontrados en el análisis .

Resolver ecuaciones lineales

Los gráficos de flujo de señales se pueden utilizar para resolver conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas. ^[33] El conjunto de ecuaciones debe ser consistente y todas las ecuaciones deben ser linealmente independientes.

Poniendo las ecuaciones en "forma estándar"

Diagrama de flujo para tres ecuaciones simultáneas. Los bordes que inciden en cada nodo están coloreados de forma diferente solo para enfatizarlos. Al rotar la figura 120°, simplemente se permutan los índices. ${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$ ${\displaystyle x_{2}=c_{21}x_{1}+\left(c_{22}+1\right)x_{2}+c_{23}x_{3}-y_{2}\ ,}$ ${\displaystyle x_{3}=c_{31}x_{1}+c_{32}x_{2}+\left(c_{33}+1\right)x_{3}-y_{3}\ .}$

Para M ecuaciones con N incógnitas donde cada y _j es un valor conocido y cada x _j es un valor desconocido, existe una ecuación para cada valor conocido de la siguiente forma.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }&=y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$ ; la forma habitual para ecuaciones lineales simultáneas con 1 ≤ j ≤ M

Aunque es factible, particularmente para casos simples, establecer un gráfico de flujo de señal utilizando las ecuaciones en esta forma, cierta reorganización permite un procedimiento general que funciona fácilmente para cualquier conjunto de ecuaciones, como se presenta ahora. Para continuar, primero se reescriben las ecuaciones como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=0\end{aligned}}}$

y reescrito posteriormente como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }+x_{\mathrm {j} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

y finalmente reescrito como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }(c_{\mathrm {jk} }+\delta _{\mathrm {jk} })x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$  ;forma adecuada para ser expresada como un gráfico de flujo de señal.

donde δ _kj = delta de Kronecker

El gráfico de flujo de señal se organiza ahora seleccionando una de estas ecuaciones y direccionando el nodo del lado derecho. Este es el nodo para el cual el nodo se conecta a sí mismo con la rama de peso que incluye un '+1', formando un bucle propio en el gráfico de flujo. Los otros términos en esa ecuación conectan este nodo primero con la fuente en esta ecuación y luego con todas las otras ramas incidentes en este nodo. Cada ecuación se trata de esta manera y luego cada rama incidente se une a su respectivo nodo emanante. Por ejemplo, el caso de tres variables se muestra en la figura y la primera ecuación es:

${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$

donde el lado derecho de esta ecuación es la suma de las flechas ponderadas incidentes en el nodo x ₁ .

Como existe una simetría básica en el tratamiento de cada nodo, un punto de partida simple es una disposición de nodos con cada nodo en un vértice de un polígono regular. Cuando se expresa utilizando los coeficientes generales { c _in }, el entorno de cada nodo es entonces igual que el resto, salvo por una permutación de índices. Una implementación de este tipo para un conjunto de tres ecuaciones simultáneas se ve en la figura. ^[34]

A menudo, los valores conocidos, y _j, se toman como causas primarias y los valores desconocidos, x _j, como efectos, pero independientemente de esta interpretación, la última forma del conjunto de ecuaciones se puede representar como un gráfico de flujo de señales. Este punto se analiza con más detalle en la subsección Interpretación de la "causalidad".

Aplicación de la fórmula de ganancia de Mason

En el caso más general, los valores de todas las variables x _k se pueden calcular calculando la fórmula de ganancia de Mason para la ruta desde cada y _j hasta cada x _k y usando superposición.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {k} }&=\sum _{\mathrm {j} =1}^{\mathrm {M} }(G_{\mathrm {kj} })y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

donde G _kj = la suma de la fórmula de ganancia de Mason calculada para todas las rutas desde la entrada y _j hasta la variable x _k .

En general, hay N-1 caminos desde y _j hasta la variable x _k , por lo que el esfuerzo computacional para calcular G _kj es proporcional a N-1. Como hay M valores de y _j , G _kj debe calcularse M veces para un único valor de x _k . El esfuerzo computacional para calcular una única variable x _k es proporcional a (N-1)(M). El esfuerzo para calcular todas las variables x _k es proporcional a (N)(N-1)(M). Si hay N ecuaciones y N incógnitas, entonces el esfuerzo computacional es del orden de N ³ .

Relación con los diagramas de bloques

Ejemplo: Diagrama de bloques y dos representaciones gráficas de flujo de señales equivalentes.

Para algunos autores, un gráfico de flujo de señal lineal está más restringido que un diagrama de bloques , ^[35] ya que el SFG describe rigurosamente ecuaciones algebraicas lineales representadas por un gráfico dirigido.

Para otros autores, los diagramas de bloques lineales y los gráficos de flujo de señales lineales son formas equivalentes de representar un sistema, y ​​cualquiera de ellos puede usarse para resolver la ganancia. ^[36]

^{Bakshi y Bakshi [37]} proporcionan una tabulación de la comparación entre diagramas de bloques y gráficos de flujo de señales, y Kumar ^[38] proporciona otra tabulación. Según Barker et al.: [ ^39]

"El gráfico de flujo de señales es el método más conveniente para representar un sistema dinámico. La topología del gráfico es compacta y las reglas para manipularlo son más fáciles de programar que las reglas correspondientes que se aplican a los diagramas de bloques".

En la figura se muestra un diagrama de bloques simple para un sistema de retroalimentación con dos posibles interpretaciones como un gráfico de flujo de señal. La entrada R(s) es la señal de entrada transformada por Laplace; se muestra como un nodo fuente en el gráfico de flujo de señal (un nodo fuente no tiene aristas de entrada). La señal de salida C(s) es la variable de salida transformada por Laplace. Se representa como un nodo sumidero en el diagrama de flujo (un sumidero no tiene aristas de salida). G(s) y H(s) son funciones de transferencia, donde H(s) sirve para realimentar una versión modificada de la salida a la entrada, B(s) . Las dos representaciones del gráfico de flujo son equivalentes.

Interpretando la 'causalidad'

Mason aplicó el término "causa y efecto" a los SFG: ^[2]

"El proceso de construcción de un gráfico consiste en trazar una sucesión de causas y efectos a través del sistema físico. Una variable se expresa como un efecto explícito debido a ciertas causas; éstas, a su vez, se reconocen como efectos debidos a otras causas".

— SJ Mason: Sección IV: Aplicaciones ilustrativas de la técnica del gráfico de flujo

y ha sido repetido por muchos autores posteriores: ^[40]

"El gráfico de flujo de señales es otra herramienta visual para representar relaciones causales entre los componentes del sistema. Es una versión simplificada de un diagrama de bloques introducido por SJ Mason como una representación de causa y efecto de los sistemas lineales".

— Arthur GO Mutambara: Diseño y análisis de sistemas de control , p.238

Sin embargo, el trabajo de Mason se preocupa de mostrar con gran detalle cómo un conjunto de ecuaciones está conectado a una SFG, un énfasis que no está relacionado con las nociones intuitivas de "causa y efecto". Las intuiciones pueden ser útiles para llegar a una SFG o para obtener información a partir de una SFG, pero no son esenciales para la SFG. La conexión esencial de la SFG es con su propio conjunto de ecuaciones, como lo describe, por ejemplo, Ogata: ^[41]

"Un gráfico de flujo de señales es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas. Al aplicar el método del gráfico de flujo de señales al análisis de sistemas de control, primero debemos transformar ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en [la variable de la transformada de Laplace ] s .."

— Katsuhiko Ogata: Ingeniería de control moderna , p. 104

Aquí no hay ninguna referencia a "causa y efecto", y como dice Barutsky: ^[42]

"Al igual que los diagramas de bloques, los gráficos de flujo de señales representan la estructura computacional, no la física, de un sistema".

— Wolfgang Borutzky, Metodología de gráficos de enlaces , pág. 10

El término "causa y efecto" puede ser malinterpretado en su aplicación al SFG y tomado incorrectamente como una visión sistémica de la causalidad, ^[43] en lugar de un significado basado en cálculos . Para mantener la discusión clara, puede ser aconsejable utilizar el término "causalidad computacional", como se sugiere para los gráficos de enlaces : ^[44]

"La literatura sobre gráficos de enlaces utiliza el término causalidad computacional, que indica el orden de cálculo en una simulación, para evitar cualquier interpretación en el sentido de causalidad intuitiva".

El término "causalidad computacional" se explica utilizando el ejemplo de corriente y voltaje en una resistencia: ^[45]

"Por lo tanto, la causalidad computacional de las leyes físicas no puede predeterminarse, sino que depende del uso particular de esa ley. No podemos concluir si es la corriente que fluye a través de una resistencia la que causa una caída de voltaje, o si es la diferencia de potenciales en los dos extremos de la resistencia la que hace que fluya la corriente. Físicamente, estos son simplemente dos aspectos concurrentes de un mismo fenómeno físico. Computacionalmente, podemos tener que asumir a veces una posición, y otras veces la otra".

— François Cellier y Ernesto Kofman: §1.5 El software de simulación hoy y mañana , p. 15

Se puede organizar un programa informático o un algoritmo para resolver un conjunto de ecuaciones utilizando diversas estrategias. Se diferencian en la forma en que priorizan la búsqueda de algunas de las variables en función de las demás, y estas decisiones algorítmicas, que simplemente se refieren a la estrategia de solución, establecen que las variables expresadas como variables dependientes anteriormente en la solución sean "efectos", determinados por las variables restantes que ahora son "causas", en el sentido de "causalidad computacional".

Si se utiliza esta terminología, lo que resulta relevante para la SFG es la causalidad computacional , no la causalidad sistémica . Existe un amplio debate filosófico, no relacionado específicamente con la SFG, sobre las conexiones entre la causalidad computacional y la causalidad sistémica. ^[46]

Gráficos de flujo de señales para análisis y diseño

Los gráficos de flujo de señales se pueden utilizar para el análisis, es decir, para comprender un modelo de un sistema existente, o para la síntesis, es decir, para determinar las propiedades de una alternativa de diseño.

Gráficos de flujo de señales para el análisis de sistemas dinámicos

Al construir un modelo de un sistema dinámico, Dorf y Bishop proporcionan una lista de pasos: ^[47]

• Definir el sistema y sus componentes.
• Formule el modelo matemático y enumere los supuestos necesarios.
• Escribe las ecuaciones diferenciales que describen el modelo.
• Resuelva las ecuaciones para las variables de salida deseadas.
• Examinar las soluciones y los supuestos.
• Si es necesario, vuelva a analizar o rediseñar el sistema.

—RC Dorf y RH Bishop, Sistemas de control modernos , Capítulo 2, pág. 2

En este flujo de trabajo, se utilizan las ecuaciones del modelo matemático del sistema físico para derivar las ecuaciones del gráfico de flujo de señales.

Gráficos de flujo de señales para la síntesis de diseño

Los gráficos de flujo de señal se han utilizado en la exploración del espacio de diseño (DSE, por sus siglas en inglés) como una representación intermedia hacia una implementación física. El proceso DSE busca una solución adecuada entre diferentes alternativas. En contraste con el flujo de trabajo de análisis típico, donde un sistema de interés se modela primero con las ecuaciones físicas de sus componentes, la especificación para sintetizar un diseño podría ser una función de transferencia deseada. Por ejemplo, diferentes estrategias crearían diferentes gráficos de flujo de señal, de los cuales se derivan las implementaciones. ^[48] Otro ejemplo utiliza un SFG anotado como una expresión del comportamiento en tiempo continuo, como entrada a un generador de arquitectura ^[49]

Fórmulas de Shannon y Shannon-Happ

La fórmula de Shannon es una expresión analítica para calcular la ganancia de un conjunto interconectado de amplificadores en una computadora analógica. Durante la Segunda Guerra Mundial, mientras investigaba el funcionamiento de una computadora analógica, Claude Shannon desarrolló su fórmula. Debido a las restricciones de la guerra, el trabajo de Shannon no se publicó en ese momento y, en 1952, Mason redescubrió la misma fórmula.

William W. Happ generalizó la fórmula de Shannon para sistemas topológicamente cerrados. ^[50] La fórmula de Shannon-Happ se puede utilizar para derivar funciones de transferencia, sensibilidades y funciones de error. ^[51]

Para un conjunto consistente de relaciones unilaterales lineales, la fórmula de Shannon-Happ expresa la solución mediante sustitución directa (no iterativa). ^{[51] [52]}

El software de circuitos eléctricos de la NASA, NASAP, se basa en la fórmula de Shannon-Happ. ^{[51] [52]}

Ejemplos de gráficos de flujo de señal lineal

Amplificador de voltaje simple

Figura 1: SFG de un amplificador simple

La amplificación de una señal V ₁ por un amplificador con ganancia a ₁₂ se describe matemáticamente mediante

${\displaystyle V_{2}=a_{12}V_{1}\,.}$

Esta relación representada por el gráfico de flujo de señal de la Figura 1 es que V ₂ depende de V ₁ pero no implica ninguna dependencia de V ₁ con respecto a V ₂ . Véase Kou página 57. ^[53]

Amplificador ideal de retroalimentación negativa

Figura 3: Un posible gráfico de flujo de señal para el modelo de ganancia asintótica

Figura 4: Un gráfico de flujo de señal diferente para el modelo de ganancia asintótica

Diagrama de flujo de señal para un amplificador de retroalimentación negativa no ideal basado en una variable de control P que relaciona dos variables internas: x _j = Px _i . Basado en el modelo de D. Amico et al. ^[54]

En la Figura 3 se muestra una posible SFG para el modelo de ganancia asintótica para un amplificador de retroalimentación negativa , y conduce a la ecuación para la ganancia de este amplificador como

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .}$

La interpretación de los parámetros es la siguiente: T = relación de retorno , G _∞ = ganancia del amplificador directo, G ₀ = retroalimentación (que indica la posible naturaleza bilateral de la retroalimentación, posiblemente deliberada como en el caso de la compensación de retroalimentación ). La figura 3 tiene el aspecto interesante de que se parece a la figura 2 para la red de dos puertos con la adición de la relación de retroalimentación adicional x ₂ = T y ₁ .

De esta expresión de ganancia se desprende una interpretación de los parámetros G ₀ y G _∞ , a saber:

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .}$

Existen muchos SFG posibles asociados con cualquier relación de ganancia particular. La Figura 4 muestra otro SFG para el modelo de ganancia asintótica que puede ser más fácil de interpretar en términos de un circuito. En este gráfico, el parámetro β se interpreta como un factor de retroalimentación y A como un "parámetro de control", posiblemente relacionado con una fuente dependiente en el circuito. Usando este gráfico, la ganancia es

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .}$

Para conectarse al modelo de ganancia asintótica, los parámetros A y β no pueden ser parámetros de circuito arbitrarios, sino que deben relacionarse con la relación de retorno T mediante:

${\displaystyle T=-\beta A\ ,}$

y a la ganancia asintótica como:

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .}$

Sustituyendo estos resultados en la expresión de ganancia,

${\displaystyle G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,}$

cual es la fórmula del modelo de ganancia asintótica.

Circuito eléctrico que contiene una red de dos puertos

Diagrama de flujo de señal de un circuito que contiene dos puertos. La ruta directa desde la entrada hasta la salida se muestra en un color diferente. El rectángulo de línea de puntos encierra la parte del SFG que constituye los dos puertos.

La figura de la derecha muestra un circuito que contiene una red de dos puertos con parámetro y . V _in es la entrada del circuito y V ₂ es la salida. Las ecuaciones de dos puertos imponen un conjunto de restricciones lineales entre los voltajes y corrientes de sus puertos. Las ecuaciones terminales imponen otras restricciones. Todas estas restricciones están representadas en el SFG (gráfico de flujo de señal) debajo del circuito. Solo hay una ruta desde la entrada hasta la salida que se muestra en un color diferente y tiene una ganancia (de voltaje) de -R _L y ₂₁ . También hay tres bucles: -R _in y ₁₁ , -R _L y ₂₂ , R _in y ₂₁ R _L y ₁₂ . A veces, un bucle indica retroalimentación intencional, pero también puede indicar una restricción en la relación de dos variables. Por ejemplo, la ecuación que describe una resistencia dice que la relación entre el voltaje a través de la resistencia y la corriente a través de la resistencia es una constante que se llama resistencia. Esto se puede interpretar como que el voltaje es la entrada y la corriente es la salida, o que la corriente es la entrada y el voltaje es la salida, o simplemente que el voltaje y la corriente tienen una relación lineal. Prácticamente todos los dispositivos pasivos de dos terminales en un circuito aparecerán en el SFG como un bucle.

El SFG y el esquema representan el mismo circuito, pero el esquema también sugiere el propósito del circuito. Comparado con el esquema, el SFG es complicado, pero tiene la ventaja de que la ganancia de entrada a salida se puede escribir mediante inspección utilizando la regla de Mason .

Mecatrónica: Servomotor de posición con retroalimentación multilazo

Servo de posición angular y gráfico de flujo de señal. θ _C = comando de ángulo deseado, θ _L = ángulo de carga real, K _P = ganancia de bucle de posición, V _ωC = comando de velocidad, V _ωM = voltaje de detección de velocidad del motor, K _V = ganancia de bucle de velocidad, V _IC = comando de corriente, V _IM = voltaje de detección de corriente, K _C = ganancia de bucle de corriente, V _A = voltaje de salida del amplificador de potencia, L _M = inductancia del motor, V _M = voltaje a través de la inductancia del motor, I _M = corriente del motor, R _M = resistencia del motor, R _S = resistencia de detección de corriente, K _M = constante de torque del motor (Nm/amp), T = torque, M = momento de inercia de todos los componentes giratorios α = aceleración angular, ω = velocidad angular, β = amortiguamiento mecánico, G _M = constante de fuerza contraelectromotriz del motor, G _T = constante de ganancia de conversión del tacómetro. Hay una ruta de avance (mostrada en un color diferente) y seis bucles de retroalimentación. Se supone que el eje de transmisión es lo suficientemente rígido como para no tratarlo como un resorte. Las constantes se muestran en negro y las variables en violeta.

Este ejemplo es representativo de un SFG (gráfico de flujo de señal) utilizado para representar un sistema de control servo e ilustra varias características de los SFG. Algunos de los bucles (bucle 3, bucle 4 y bucle 5) son bucles de retroalimentación diseñados intencionalmente y extrínsecos. Estos se muestran con líneas de puntos. También hay bucles intrínsecos (bucle 0, bucle 1, bucle 2) que no son bucles de retroalimentación intencionales, aunque se pueden analizar como si lo fueran. Estos bucles se muestran con líneas continuas. El bucle 3 y el bucle 4 también se conocen como bucles menores porque están dentro de un bucle más grande.

• El camino hacia adelante comienza con θ _C , el comando de posición deseado. Esto se multiplica por K _P que podría ser una constante o una función de la frecuencia. K _P incorpora la ganancia de conversión del DAC y cualquier filtrado en la salida del DAC. La salida de K _P es el comando de velocidad V _ωC que se multiplica por K _V que puede ser una constante o una función de la frecuencia. La salida de K _V es el comando de corriente, V _IC que se multiplica por K _C que puede ser una constante o una función de la frecuencia. La salida de K _C es el voltaje de salida del amplificador, V _A . La corriente, I _M , a través del devanado del motor es la integral del voltaje aplicado a la inductancia. El motor produce un par, T , proporcional a I _M . Los motores de imán permanente tienden a tener una función de corriente a par lineal. La constante de conversión de corriente a par es K _M . El par, T , dividido por el momento de inercia de la carga, M, es la aceleración, α , que se integra para dar la velocidad de carga ω, que se integra para producir la posición de carga, θ _LC .
• La ruta de avance del bucle 0 afirma que la aceleración es proporcional al par y que la velocidad es la integral temporal de la aceleración. La ruta de retroceso dice que a medida que aumenta la velocidad hay una fricción o resistencia que contrarresta el par. El par en la carga disminuye proporcionalmente a la velocidad de la carga hasta que se llega al punto en que todo el par se utiliza para superar la fricción y la aceleración cae a cero. El bucle 0 es intrínseco.
• Loop1 representa la interacción de la corriente de un inductor con su resistencia en serie interna y externa. La corriente a través de una inductancia es la integral temporal del voltaje a través de la inductancia. Cuando se aplica un voltaje por primera vez, todo aparece a través del inductor. Esto se muestra mediante la ruta directa a través de . A medida que aumenta la corriente, el voltaje cae a través de la resistencia interna del inductor R _M y la resistencia externa R _S . Esto reduce el voltaje a través del inductor y se representa mediante la ruta de retroalimentación -(R _M + R _S ). La corriente continúa aumentando pero a una tasa decreciente constante hasta que la corriente alcanza el punto en el que todo el voltaje cae a través de (R _M + R _S ). Loop1 es intrínseco. ${\displaystyle {\frac {1}{s\mathrm {L} _{\mathrm {M} }}}\,}$
• El bucle 2 expresa el efecto de la fuerza contraelectromotriz del motor. Siempre que un motor de imán permanente gira, actúa como un generador y produce un voltaje en sus bobinados. No importa si la rotación es causada por un par aplicado al eje de transmisión o por la corriente aplicada a los bobinados. Este voltaje se conoce como fuerza contraelectromotriz. La ganancia de conversión de la velocidad de rotación a fuerza contraelectromotriz es G _M . La polaridad de la fuerza contraelectromotriz es tal que disminuye el voltaje a través de la inductancia del bobinado. El bucle 2 es intrínseco.
• El bucle 3 es extrínseco. La corriente en el devanado del motor pasa a través de una resistencia de detección. El voltaje, V _IM , desarrollado a través de la resistencia de detección se retroalimenta al terminal negativo del amplificador de potencia K _C . Esta retroalimentación hace que el amplificador de voltaje actúe como una fuente de corriente controlada por voltaje. Dado que el par motor es proporcional a la corriente del motor, el subsistema V _IC al par de salida actúa como una fuente de par controlada por voltaje. Este subsistema puede denominarse "bucle de corriente" o "bucle de par". El bucle 3 disminuye de manera efectiva los efectos del bucle 1 y el bucle 2.
• El bucle 4 es extrínseco. Un tacómetro (en realidad, un generador de CC de baja potencia) produce un voltaje de salida V _ωM que es proporcional a su velocidad angular. Este voltaje se aplica a la entrada negativa de K _V . Esta retroalimentación hace que el subsistema de V _ωC a la velocidad angular de la carga actúe como una fuente de voltaje a velocidad. Este subsistema puede denominarse "bucle de velocidad". El bucle 4 disminuye eficazmente los efectos del bucle 0 y del bucle 3.
• El bucle 5 es extrínseco. Se trata del bucle de retroalimentación de posición general. La retroalimentación proviene de un codificador de ángulo que produce una salida digital. La posición de salida se resta de la posición deseada mediante hardware digital que controla un DAC que controla K _P . En el SFG, la ganancia de conversión del DAC se incorpora a K _P .

Consulte la regla de Mason para el desarrollo de la fórmula de ganancia de Mason para este ejemplo.

Terminología y clasificación de los gráficos de flujo de señales

Existe cierta confusión en la literatura sobre lo que es un gráfico de flujo de señales; Henry Paynter , inventor de los gráficos de enlaces , escribe: "Pero gran parte del declive de los gráficos de flujo de señales [...] se debe en parte a la noción errónea de que las ramas deben ser lineales y los nodos deben ser sumativos. ¡Mason no adoptó ninguna de estas suposiciones!" ^[55]

Normas que cubren los gráficos de flujo de señales

• IEEE Std 155-1960, Estándares IEEE sobre circuitos: Definiciones de términos para gráficos de flujo de señales lineales, 1960.

Esta norma IEEE define un gráfico de flujo de señales como una red de ramas dirigidas que representan señales dependientes e independientes como nodos . Las ramas entrantes llevan señales de rama a las señales del nodo dependiente. Una señal de nodo dependiente es la suma algebraica de las señales de rama entrantes en ese nodo, es decir, los nodos son sumativos.

Gráfico de flujo de señales de transición de estado

Gráfico de flujo de señales de transición de estado. Cada condición inicial se considera una fuente (mostrada en azul).

Un diagrama de transición de estado SFG o diagrama de estados es un diagrama de simulación para un sistema de ecuaciones, incluidas las condiciones iniciales de los estados. ^[56]

Diagrama de flujo cerrado

Un sistema RC simple y su diagrama de flujo cerrado. Se introduce una transmitancia "ficticia" Z(s) para cerrar el sistema. ^[50]

Los diagramas de flujo cerrados describen sistemas cerrados y se han utilizado para proporcionar una base teórica rigurosa para las técnicas topológicas de análisis de circuitos. ^[50]

• La terminología para la teoría del flujograma cerrado incluye:
  • Nodo contributivo. Punto de suma de dos o más señales entrantes que dan como resultado una sola señal saliente.
  • Nodo distributivo. Punto de muestreo para dos o más señales salientes resultantes de una sola señal entrante.
  • Nodo compuesto. Contracción de un nodo contributivo y un nodo distributivo.
  • Nodo estrictamente dependiente y estrictamente independiente. Un nodo estrictamente independiente representa una fuente independiente; un nodo estrictamente dependiente representa un medidor.
  • Diagramas de flujo abiertos y cerrados. Un diagrama de flujo abierto contiene nodos estrictamente dependientes o estrictamente independientes; de lo contrario, es un diagrama de flujo cerrado.

Gráficos de flujo no lineal

Mason introdujo tanto los gráficos de flujo lineales como los no lineales. Para aclarar este punto, Mason escribió: "Un gráfico de flujo lineal es aquel cuyas ecuaciones asociadas son lineales". ^[2]

Ejemplos de funciones de ramificación no lineales

Si denotamos por x _j la señal en el nodo j , los siguientes son ejemplos de funciones de nodo que no pertenecen a un sistema lineal invariante en el tiempo :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {k} }\times x_{\mathrm {l} }\\x_{\mathrm {k} }&=abs(x_{\mathrm {j} })\\x_{\mathrm {l} }&=\log(x_{\mathrm {k} })\\x_{\mathrm {m} }&=t\times x_{\mathrm {j} }{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}}$

Ejemplos de modelos de gráficos de flujo de señales no lineales

• Aunque generalmente no se pueden transformar entre representaciones del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia para el análisis de la teoría de control clásica, se pueden encontrar gráficos de flujo de señales no lineales en la literatura de ingeniería eléctrica. ^{[57] [58]}
• También se pueden encontrar gráficos de flujo de señales no lineales en las ciencias de la vida, por ejemplo, el modelo del sistema cardiovascular del Dr. Arthur Guyton . ^[59]

Aplicaciones de las técnicas SFG en diversos campos de la ciencia

• Circuitos electrónicos
  • Caracterización de circuitos secuenciales del tipo Moore y Mealy , obtención de expresiones regulares a partir de diagramas de estados . ^[60]
  • Síntesis de convertidores de datos no lineales ^[58]
  • Teoría de control y redes
  • Procesamiento de señales estocásticas. ^[61]
  • Fiabilidad de los sistemas electrónicos ^[62]
• Fisiología y biofísica
  • Regulación del gasto cardíaco ^[63]
• Simulación
  • Simulación en computadoras analógicas ^[64]
• Neurociencia y combinatoria
  • Estudio de la policronía ^{[65] [66]}

Véase también

• Modelo de ganancia asintótica
• Gráficas de enlaces
• Gráfico de Coates
• Sistemas de control/Diagramas de flujo de señales en el Wikilibro de sistemas de control
• Diagrama de flujo (matemáticas)
• Filtro Leapfrog para un ejemplo de diseño de filtro utilizando un gráfico de flujo de señal
• Fórmula de ganancia de Mason
• Retroalimentación de bucle menor
• Gráfico de flujo de señal no conmutativo

Notas

1. CE Shannon (enero de 1942). "La teoría y el diseño de máquinas de ecuaciones diferenciales lineales". Control de fuego del Comité de Investigación de Defensa Nacional de los Estados Unidos: Informe 411, Sección D-2. {{cite journal}}: Para citar la revista se requiere |journal=( ayuda ) Reimpreso en NJA Sloane; Aaron D. Wyner, eds. (1993). Claude E. Shannon: Collected Papers. Wiley IEEE Press. p. 514. ISBN 978-0-7803-0434-5.
2. Mason, Samuel J. (septiembre de 1953). "Teoría de retroalimentación: algunas propiedades de los gráficos de flujo de señales" (PDF) . Actas del IRE . 41 (9): 1144–1156. doi :10.1109/jrproc.1953.274449. S2CID  17565263. El gráfico de flujo puede interpretarse como un sistema de transmisión de señales en el que cada nodo es una pequeña estación repetidora. La estación recibe señales a través de las ramas entrantes, combina la información de alguna manera y luego transmite los resultados a lo largo de cada rama saliente.
3. Jørgen Bang-Jensen; Gregorio Z. Gutin (2008). Digrafos. Saltador. ISBN 9781848009981.
4. Bela Bollobas (1998). Teoría de grafos moderna. Springer Science & Business Media. pág. 8. ISBN 9781461206194.i
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15. Wai-Kai Chen (1971). "Capítulo 3: Soluciones gráficas dirigidas de ecuaciones algebraicas lineales". Teoría de grafos aplicada . North-Holland Pub. Co. p. 140. ISBN 978-0444101051.Parcialmente accesible mediante la función mirar dentro de Amazon.
16. Véase, por ejemplo, Katsuhiko Ogata (2004). "Capítulo 3-9: Representación gráfica del flujo de señales de sistemas lineales". Modern Control Engineering (4ª ed.). Prentice Hall. pp. 106 y siguientes . ISBN 978-0130609076.Sin embargo, no existe una correspondencia uno a uno: Narsingh Deo (2004). Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 418. ISBN 9788120301450.
17. Kuo, Benjamin C. (1967). Sistemas de control automático (2.ª ed.). Prentice-Hall. págs. 59–60.
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20. Isaac M. Horowitz (2013). "Reducción de gráficos de flujo de señales". Síntesis de sistemas de realimentación . Elsevier. pp. 18 y siguientes . ISBN 9781483267708.
21. (Ogata 2002, págs. 68, 106)
22. (Ogata 2002, págs. 105, 106)
23. (Henley 1973, pág. 12) harv error: no target: CITEREFHenley1973 (help)
24. (Phang 2001, pág. 37) harv error: no target: CITEREFPhang2001 (help)
25. Se pueden encontrar ejemplos de reducción de gráficos de flujo de señales en (Robichaud 1962, p. 186, Sec. 7-3 Reducción algebraica de gráficos de flujo de señales) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
26. (Robichaud 1962, pp. 9-10, Sec. 1-5: Reducción del diagrama de flujo) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
27. (Robichaud 1962, pp. 182, 183 Sec. 7-1, 7-2 del Capítulo 7: Reducción algebraica de gráficos de flujo de señales utilizando una computadora digital) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
28. (Robichaud 1962, p. 185, Sec. 7-2: Generalización de los gráficos de flujo) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
29. (Robichaud 1962, págs. 9, sec. 1–5 REDUCCIÓN DEL GRÁFICO DE FLUJO) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
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Referencias

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Lectura adicional

• Wai-Kai Chen (1976). Teoría de grafos aplicada . North Holland Publishing Company. ISBN 978-0720423624.El capítulo 3 contiene lo esencial, pero las aplicaciones están dispersas por todo el libro.
• Wai-Kai Chen (mayo de 1964). "Algunas aplicaciones de gráficos lineales". Contrato DA-28-043-AMC-00073 (E) . Laboratorio de Ciencias Coordinadas, Universidad de Illinois, Urbana. Archivado desde el original el 10 de enero de 2015.
• K. Thulasiraman y MNS Swamy (1992). Gráficos: teoría y algoritmos . John Wiley & Sons. 6.10-6.11 para la idea matemática esencial. ISBN 978-0-471-51356-8.
• Shu-Park Chan (2006). "Teoría de grafos". En Richard C. Dorf (ed.). Circuitos, señales y procesamiento de voz e imágenes (3.ª ed.). CRC Press. § 3.6. ISBN 978-1-4200-0308-6.Compara los enfoques de gráficos de Mason y Coates con el enfoque de árbol k de Maxwell.
• RF Hoskins (2014). "Análisis de flujogramas y flujogramas de señales de sistemas lineales". En SR Deards (ed.). Desarrollos recientes en teoría de redes: actas del simposio celebrado en la Facultad de Aeronáutica, Cranfield, septiembre de 1961. Elsevier. ISBN 9781483223568.Una comparación de la utilidad del gráfico de flujo de Coates y el gráfico de flujo de Mason.

Enlaces externos

• ML Edwards: parámetros S, gráficos de flujo de señales y otras representaciones matriciales Todos los derechos reservados
• H Schmid: Gráficos de flujo de señales en 12 lecciones breves
• Sistemas de control/Diagramas de flujo de señales en Wikilibros
• Medios relacionados con Gráficos de flujo de señales en Wikimedia Commons