Siete estados de aleatoriedad

Extensiones del concepto de aleatoriedad

Proceso estocástico con incrementos aleatorios a partir de una distribución estable simétrica con  α  = 1,7. Observe los cambios discontinuos.

Proceso estocástico con incrementos aleatorios a partir de una distribución normal estándar .

Los siete estados de aleatoriedad en la teoría de la probabilidad , los fractales y el análisis de riesgo son extensiones del concepto de aleatoriedad modelado por la distribución normal . Estos siete estados fueron introducidos por primera vez por Benoît Mandelbrot en su libro de 1997 Fractals and Scaling in Finance , que aplicó el análisis fractal al estudio del riesgo y la aleatoriedad. ^[1] Esta clasificación se basa en los tres estados principales de aleatoriedad: leve, lenta y salvaje.

La importancia de la clasificación de siete estados de aleatoriedad para las finanzas matemáticas es que métodos como el de la cartera de varianza media de Markowitz y el modelo de Black-Scholes pueden invalidarse a medida que se engordan las colas de la distribución de rendimientos : el primero se basa en una desviación estándar finita ( volatilidad ) y estabilidad de la correlación , mientras que esta última se construye sobre el movimiento browniano .

Historia

Estos siete estados se basan en trabajos anteriores de Mandelbrot de 1963: "Las variaciones de ciertos precios especulativos" ^[2] y "Nuevos métodos en economía estadística" ^[3] en los que sostenía que la mayoría de los modelos estadísticos se acercaban sólo a una primera etapa para tratar con indeterminismo en la ciencia, y que ignoraron muchos aspectos de las turbulencias del mundo real , en particular, la mayoría de los casos de modelos financieros . ^{[4] [5]} Esto fue presentado luego por Mandelbrot en el Congreso Internacional de Lógica (1964) en un discurso titulado "La epistemología del azar en ciertas ciencias más nuevas" ^[6]

Intuitivamente hablando, Mandelbrot argumentó ^[6] que la distribución normal tradicional no captura adecuadamente las distribuciones empíricas y del "mundo real" y que existen otras formas de aleatoriedad que pueden usarse para modelar cambios extremos en el riesgo y la aleatoriedad. Observó que la aleatoriedad puede volverse bastante "salvaje" si se abandonan los requisitos relacionados con la media finita y la varianza . La aleatoriedad salvaje corresponde a situaciones en las que una sola observación o un resultado particular pueden afectar el total de una manera muy desproporcionada.

Se extrae aleatoriamente de una distribución exponencial con media = 1. (Aleatoriedad leve en el límite)

Se extrae aleatoriamente de una distribución lognormal con media = 1. (Aleatoriedad lenta con momentos finitos y localizados)

Sorteos aleatorios de una distribución de Pareto con media = 1 y α  = 1,5 (aleatoriedad salvaje)

La clasificación se introdujo formalmente en su libro de 1997 Fractals and Scaling in Finance , ^[1] como una forma de brindar información sobre los tres estados principales de aleatoriedad: leve, lento y salvaje. Dados N sumandos , el reparto se refiere a la contribución relativa de los sumandos a su suma. Al decir porciones iguales , Mandelbrot quiso decir que los sumandos eran del mismo orden de magnitud ; de lo contrario, consideraba que las porciones estaban concentradas . Dado el momento de orden q de una variable aleatoria , Mandelbrot llamó a la raíz de grado q de dicho momento factor de escala (de orden q ).

Los siete estados son:

1. Aleatoriedad leve adecuada: el reparto a corto plazo es par para N  = 2, por ejemplo, la distribución normal
2. Aleatoriedad leve en el límite: el reparto a corto plazo se concentra para N  = 2, pero eventualmente se vuelve uniforme a medida que N crece, por ejemplo, la distribución exponencial con tasa λ  = 1 (y así con valor esperado 1/ λ  = 1)
3. Aleatoriedad lenta con momentos finitos deslocalizados: el factor de escala aumenta más rápido que q pero no más rápido que , w  < 1 ${\displaystyle {\sqrt[{w}]{q}}}$
4. Aleatoriedad lenta con momentos finitos y localizados: el factor de escala aumenta más rápido que cualquier potencia de q , pero sigue siendo finito, por ejemplo, la distribución lognormal y, lo que es más importante, la distribución uniforme acotada (que, por construcción con escala finita para todo q, no puede ser una aleatoriedad anterior a la salvaje). )
5. Aleatoriedad pre-salvaje: el factor de escala se vuelve infinito para q  > 2, por ejemplo, la distribución de Pareto con α  = 2,5
6. Aleatoriedad salvaje: segundo momento infinito, pero momento finito de algún orden positivo, por ejemplo, la distribución de Pareto con ${\displaystyle \alpha \leq 2}$
7. Aleatoriedad extrema: todos los momentos son infinitos, por ejemplo, la distribución log-Cauchy

La aleatoriedad salvaje tiene aplicaciones fuera de los mercados financieros; por ejemplo, se ha utilizado en el análisis de situaciones turbulentas como incendios forestales . ^[7]

Utilizando elementos de esta distinción, en marzo de 2006, un año antes de la crisis financiera de 2007-2010 , y cuatro años antes del crash repentino de mayo de 2010, durante el cual el Dow Jones Industrial Average tuvo una oscilación intradiaria de 1.000 puntos en cuestión de minutos, ^{[8 ]} Mandelbrot y Nassim Taleb publicaron un artículo en el Financial Times argumentando que las tradicionales "curvas de campana" que se han utilizado durante más de un siglo son inadecuadas para medir el riesgo en los mercados financieros, dado que dichas curvas ignoran la posibilidad de saltos bruscos o discontinuidades. . Al contrastar este enfoque con los enfoques tradicionales basados ​​en paseos aleatorios , afirmaron: ^[9]

Vivimos en un mundo impulsado principalmente por saltos aleatorios, y las herramientas diseñadas para paseos aleatorios abordan el problema equivocado.

Mandelbrot y Taleb señalaron que, si bien se puede suponer que las probabilidades de encontrar una persona de varios kilómetros de altura son extremadamente bajas, no se pueden excluir observaciones excesivas similares en otras áreas de aplicación. Argumentaron que, si bien las curvas de campana tradicionales pueden proporcionar una representación satisfactoria de la altura y el peso de la población, no proporcionan un mecanismo de modelización adecuado para los riesgos o rendimientos del mercado, donde sólo diez días de negociación representan el 63 por ciento de los rendimientos entre 1956 y 2006. [ ^{dudoso – discutir ]​}

Definiciones

Duplicar la convolución

Si se denota la densidad de probabilidad de , entonces se puede obtener mediante la doble convolución . ${\displaystyle U=U'+U''}$ ${\displaystyle p_{2}(u)}$ ${\displaystyle p_{2}(x)=\int p(u)p(x-u)\,du}$

Proporción de porcionado a corto plazo

Cuando se conoce tu , la densidad de probabilidad condicional de u ′ viene dada por la relación de reparto:

${\displaystyle {\frac {p(u')p(u-u')}{p_{2}(u)}}}$

Concentración en modo

En muchos casos importantes, el máximo de ocurre cerca de , o cerca de y . Toma el logaritmo de y escribe: ${\displaystyle p(u')p(u-u')}$ ${\displaystyle u'=u/2}$ ${\displaystyle u'=0}$ ${\displaystyle u'=u}$ ${\displaystyle p(u')p(u-u')}$

${\displaystyle \Delta (u)=2\log p(u/2)-[\log p(0)+\log p(u)]}$

• Si es cap-convex , la proporción de porciones es máxima para ${\displaystyle \log p(u)}$ ${\displaystyle u'=u/2}$
• Si es recto, la proporción de porcionado es constante. ${\displaystyle \log p(u)}$
• Si es cup-convex , la proporción de porciones es mínima para ${\displaystyle \log p(u)}$ ${\displaystyle u'=u/2}$

Concentración en probabilidad

Dividiendo la convolución duplicadora en tres partes se obtiene:

${\displaystyle p_{2}(x)=\int _{0}^{x}p(u)p(x-u)\,du=\left\{\int _{0}^{\tilde {x}}+\int _{\tilde {x}}^{x-{\tilde {x}}}+\int _{x-{\tilde {x}}}^{x}\right\}p(u)p(x-u)\,du=I_{L}+I_{0}+I_{R}}$

p ( u ) está concentrado en probabilidad a corto plazo si es posible seleccionar de modo que el intervalo medio de ( ) tenga las dos propiedades siguientes cuando u→∞: ${\displaystyle {\tilde {u}}(u)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}},u-{\tilde {u}}}$

• Yo ₀ / p ₂ ( tu ) → 0
• ${\displaystyle (u-2{\tilde {u}})u}$no → 0

Momentos localizados y deslocalizados

Considere la fórmula , si p ( u ) es la distribución de escala, el integrando es máximo en 0 y ∞; en otros casos, el integrando puede tener un máximo global pronunciado para algún valor definido por la siguiente ecuación: ${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]=\int _{0}^{\infty }u^{q}p(u)\,du}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}_{q}}$

${\displaystyle 0={\frac {d}{du}}(q\log u+\log p(u))={\frac {q}{u}}-\left|{\frac {d\log p(u)}{du}}\right|}$

También hay que conocer en el barrio de . La función suele admitir una aproximación "gaussiana" dada por: ${\displaystyle u^{q}p(u)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}_{q}}$ ${\displaystyle u^{q}p(u)}$

${\displaystyle \log[u^{q}p(u)]=\log p(u)+qu={\text{constant}}-(u-{\tilde {u}}_{q})^{2}{\tilde {\sigma }}_{q}^{-2/2}}$

Cuando está bien aproximado por una densidad gaussiana, la mayor parte de se origina en el " intervalo q " definido como . Los intervalos gaussianos q se superponen en gran medida para todos los valores de . Los momentos gaussianos se denominan deslocalizados . Los intervalos q del lognormal están espaciados uniformemente y su ancho es independiente de q ; por lo tanto, si el log-normal es suficientemente sesgado, el intervalo q y el intervalo ( q  + 1) no se superponen. Los momentos lognormales se denominan uniformemente localizados . En otros casos, los intervalos q vecinos dejan de superponerse para q suficientemente alto ; tales momentos se denominan asintóticamente localizados . ${\displaystyle u^{q}p(u)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]}$ ${\displaystyle [{\tilde {u}}_{q}-{\tilde {\sigma }}_{q},{\tilde {u}}_{q}+{\tilde {\sigma }}_{q}]}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ver también

• Historia de la aleatoriedad
• Secuencia aleatoria
• Distribución de cola gruesa
• Distribución de cola pesada
• Wavelet de Daubechies para un sistema basado en momentos infinitos (ondas caóticas)

Referencias

1. Mandelbrot, Benoit B. (18 de septiembre de 1997). Fractales y escalamiento en finanzas: discontinuidad, concentración, riesgo. Selecta Volumen E. Springer Nueva York. ISBN 978-0-387-98363-9.
2. B. Mandelbrot, La variación de ciertos precios especulativos, The Journal of Business 1963 [1]
3. Mandelbrot, Benoit (1963). "Nuevos métodos en economía estadística". Revista de Economía Política . 71 (5): 421–440. doi :10.1086/258792. ISSN  0022-3808. JSTOR  1829014.
4. Benoit Mandelbrot, FJ Damerau, M. Frame y K. McCamy (2001) Autoafinidad gaussiana y fractales ISBN 0-387-98993-5 página 20 
5. Philip Mirowski (2004) ¿La economía de la ciencia sin esfuerzo? ISBN 0-8223-3322-8 página 255 
6. B. Mandelbrot, Hacia una segunda etapa de indeterminismo en la ciencia, Interdisciplinary Science Reviews 1987 [2]
7. La economía de las perturbaciones forestales: incendios forestales, tormentas y especies invasoras por Thomas P. Holmes, Jeffrey P. Prestemon y Karen L. Abt. 2008. Springer: Dordrecht, Países Bajos. 422p. ISBN 978-1-4020-4369-7 
8. Wall Street Journal 11 de mayo de 2010
9. Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb (23 de marzo de 2006), "Un enfoque en las excepciones que confirman la regla", Financial Times .